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Duncan-Chang模型 第四章 本构模型


第四章

本构模型
( 1) 2) (

第一节 邓肯-张(Duncan—Chang)模型

复合地基的数值解法主要以有限元方法为主,因为有限元法可以较方便地模拟桩土之间的相互 ( ) 作用, 较灵活的处理复杂边界条件, 而且还比较容易与其他方法相耦合, 因此受到学术界的青睐。3 ( 4) 复合地基有限元方法大

致可以分为两类,一类是采用增强体单元+界面单元+土体单元进行计 算,另一类是采用增强体复合单元+土体单元进行计算。前一类又可称为“群桩”有限元,后一类 ( ) ) ( ) ) ( ( ( 又可称为复合模量分析法 5 6 7 8 9 在“群桩”分析方法中,一般对桩土分别采用不同的计算模型计算,桩通常采用线弹性模型, 桩间土采用非线弹性模型或弹塑性模型。采用这种方法,可较好的考虑桩土之间的相互作用和桩土 之间的相对滑移,能够较好地分析桩土之间的荷载传递规律,以及桩土之间的相互影响。但由于剖 分单元较多,所以计算工作量较大。采用复合模量法进行有限元分析与一般平面有限元分析没有什 么区别。在分析中,将加固区视为由桩和土组成的均匀各向异性的复合材料,通过恰当的方式建立 ( ) 反应复合地基特性的本构方程,然后进行有限元计算。复合本构有限元法 10 的优点在于将桩均匀 的“弥散”于整个加固区当中,不用单独剖分单元,计算工作量较小。其缺点是无法分析桩-土之 间的相互作用,此方法无法分析承载机理。 邓肯-张模型提出于 1970 年, 属于非线性次弹性模型中的变模量模型。 由于它假设应力-应变 关系为双曲线, 故又称为双曲线模型。 其中切线杨氏模量 E t 和 Poisson 比 vt 随应力水平的变化而变 化。 只要通过试验和计算合理的确定出不同应力水平的 E t 和 vt , 就可以按照增量广义虎克定律进行 应力-应变的分析和计算。

4.1.1 切线弹性模量 点绘 (σ 1 ? σ 3 ) ~ ε a 曲线, 如图 4-1 所示, Kondner 等人发现, 可以用双曲线来拟和这些曲线。 对某一 σ 3 , (σ 1 ? σ 3 ) ~ ε a 关系可表示成:

σ1 ?σ 3 =

εa
a + bε a

(4-1)

(σ1-σ3)u

Ei Et

σ3=常量

εa/(σ1-σ3)u

渐近线

σ1-σ3

b

0

图 4-1

(σ 1 ? σ 3 ) ~ ε a 关系曲线
εa

εa

0

a

图 4-2

ε a / (σ 1 ? σ 3 ) ? ε a 关系曲线

εa

式中: a 和 b 为试验常数。上式也可以写成:

= a + bε a (4-2) σ1 ?σ 3 以 ε a / (σ 1 ? σ 3 ) 为纵坐标, ε a 为横坐标,构成新的坐标系,则双曲线转换成直线。见图 4-2。

其斜率为 b ,截距为 a 。 有增量广义虎克定律,如果只沿某一方向,譬如 Z 方向,给土体施加应力增量Δ σ Z ,而保持其 他方向的应力不变,可得:



Δσ z E Δσ z Δε x = ? v E Δσ z E= Δε x Δε x v=? Δε z Δε x =

(4-3) (4-4) (4-5) (4-6)

邓肯和张利用上述关系推导出弹性模量公式。由式(4-5)得:

E=

Δσ 1

由此可见虎克定律中所用的弹性模量实际上是常规三轴试验 (σ 1 ? σ 3 ) ~ ε a 曲线的切线斜率。 这样的模量叫做切线弹性模量,可用 E t 表示,见图 4-1。将式(4-1)代入式(3-7) ,得到:

ε1

=

Δ(σ 1 ? σ 3 ) ? (σ 1 ? σ 3 ) = Δε a ?ε a

(4-7)

Et =
由式(4-2)可得:

(a + bε a )2
a 1 ?b σ1 ?σ 3

a

(4-8)

εa =

(4-9)

式(4-9)代入式(4-8) ,得:

Et =

由式(4-2)可得:当 ε a → 0 时

1 [1 ? b(σ 1 ? σ 3 )]2 a

(4-10)

? εa ? a=? ?σ ?σ ? ? 3 ? ε a →0 ? 1
而双曲线的初始切线模量 E i 为:

(4-11)

?σ ?σ 3 ? ? Ei = ? 1 ? ε ? a ? ? ε a →0
见图 4-1。 因此:

(4-12)

a=

1 Ei
?

(4-13)

这里表示 a 是初始切线模量的倒数。在双对数纸上点绘 lg? ? 的为一直线,如图 4-3 所示。这里 Pa 为大气压力。于是有:

Ei

? 和 lg? σ 3 ? 的关系,则近似 ? P ? Pa ? a? ? ?

试验破坏时的偏应力为 (σ 1 ? σ 3 ) f ,则:

?σ ? E i = KPa ? 3 ? ?P ? ? a? 由式(4-2)还可见,当 ε a → ∞ 时 1 1 b= = (σ 1 ? σ 3 )ε a →∞ (σ 1 ? σ 3 )u

n

(4-14)

(4-15)

Rf =
R f 叫破坏比

(σ 1 ? σ 3 ) f (σ 1 ? σ 3 )u
2

(4-16)

将式(4-13) ,式(4-15) ,式(4-16)代入式(4-10)得:

? σ ?σ3 ? Et = ?1 ? R f 1 ? E (σ 1 ? σ 3 ) f ? i ? ? ?
令S =

(4-17)

σ1 ?σ 3 , S 叫做应力水平,式(3-17)也可写成: (σ 1 ? σ 3 ) f
E t = (1 ? R f S ) Ei
2

(4-18)

lg(Ei/pa)

γ

n α
lgk c

0

lg(σ3/pa)

0

(σ1-σ3)f

σ

图 4-3 lg? ?

?

Ei

? ? lg? σ 3 ? 关系曲线 ? P ? Pa ? a? ? ?

图 4-4 极限莫尔圆

破坏偏应力 (σ 1 ? σ 3 ) f 与固结压力 σ 3 有关,由图 4-4 中的几何关系不难推出:

(σ 1 ? σ 3 ) f

=

2C cos ? + 2σ 3 sin ? 1 ? sin ?
2 n

(4-19)

将式(4-14)和式(4-19)代入式(4-17) ,得:

? ?σ3 ? (1 ? sin ? )(σ 1 ? σ 3 ) ? E t = ?1 ? R f ? KPa ? ? ?P ? 2C cos ? + 2σ 3 sin ? ? ? ? a?

(4-20)

4.1.2 切线泊松比 Kulhawy 和邓肯认为常规三轴试验测得的 ε a 与 (? ε r ) 关系也可用双曲线来拟和,如图 4-5 所 示,点绘 ? ε r / ε a 与 ? ε r 关系,为一直线,如图 4-6 所示,其截距为 f ,斜率为 D ,于是有:

εa 1/ν i

1/D

σ 3=

常量

-εr/εa

D

0

-ε r

0

f

-ε r

图 4-5

ε a ? ε r 关系曲线
? εr = f + D(? ε r ) fε a 1 ? Dε a

图 4-6

ε r / ε a ? ε r 关系曲线

εa

(4-21)

?εr =

(4-22)

由于侧压力为零,可由式(4-6)求泊松比:

v=

?△ε r ? (? ε r ) = △ε a ?ε a

(4-23)

可见, (? ε r ) ? ε a 曲线的切线斜率具有增量泊松比的物理意义,称为切线泊松比,以 vt 表示。 将式(3-22)代入式(3-23) ,并利用式(3-9)把所含 ε a 用应力代替,可得:

其中

A=

KPa ? ? ?1 ? ? ?P ? 2C cos α + 2σ 3 sin α ? ? a? ? 由式(4-21) ,当 ? ε r → ∞ 时, D = 1 ,可见 D 是 ε a 渐进值的倒数。当 ? ε r → 0 时,

(1 ? A)2 D(σ 1 ? σ 3 ) n ? σ 3 ? ? R f (1 ? sin α )(σ 1 ? σ 3 ) ?
εa

v=

f

(4-24) (4-25)

??ε f =? r ? ε ? a

? ? = vi ? ? ε r →0

(4-26)

式中 vi 为初始切线泊松比。 对于不同的 σ 3 有不同的 vi 值, 在半对数纸上点绘 vi 与 lg? ?

?

σ3

?关 Pa ? ?

系曲线,近似为一直线,如图 4-7 所示。于是有

vi G F

?σ ? vi = G ? F lg? 3 ? ?P ? ? a?
切线泊松比公式为:

(4-27)

0

lg(σ3/pa)

?σ ? G ? F lg? 3 ? ?P ? ? a? vt = (1 ? A)2
种较简单 图 4-7

(4-28)

由式(3-24)和式(4-25)可以看出, vt 是随应力水平而增加的。于是 Daniel 提出了一

vi ? lg(σ 3 Pa ) 关系曲线
vt = vi + (vtf ? vi )

的确定 vt 随应力水平直线变化公式:

σ1 ?σ 3 (σ 1 ? σ 3 ) f

(4-29)

式中 vi 为初始切线泊松比,按式(4-27)计算。 vtf 为破坏时的切线泊松比,可按实验结果建 立类似于式(3-27)的公式,作为近似处理,也可取为 0.49。 后来在实际应用中发现,采用 ε a 与 ? ε r 双曲线关系计算出来的 vt 值常常偏大。因此(Duncan) 邓肯有采用切线体积模量 K t 作为计算参数代替 vt ,其表达式为:

?σ ? (4-30) K t = K b Pa ? 3 ? ?P ? ? a? 由于 v 只能在 0~0.49 之间变化, K t 须限制在 0.33E t ~ 17 E t 之间。 则 确定 K t 只需要 K b 和 m
两个参数。 4.1.3 对邓肯-张模型的评价 按照岩土类材料对本构特性,试验与计算等方面的要求,对邓肯-张模型进行评价。 1) 模型数字上比较简单,概念清楚。可以通过常规三轴试验求出试验常数。弹性切线模量矩 阵对称。有利于实现数值计算;因此,在我国水利水电,交通,建筑工程等部门的岩土工程中应用 广泛,积累了丰富的经验与资料。 2) 模型反应了岩土材料的非线性弹性以及一定程度上的路径相关特性( σ 3 为常数时) 。但考 虑卸载时,还考虑了岩土材料的非弹性变形性质。模型适用于正常固结以及弱超固结粘土以及砂石 料等应变硬化型材料,不适于严重超固结粘土,密实砂以及应变软化特性的岩土类材料;而且当应 力水平接近破坏水平时,计算不易稳定,偏差较大。 3) 模型没有反映岩土类材料的剪胀性与压硬性。 4) 由于采用了修正的各向同性广义虎克定律,本构关系是增量线性的和各向同性的。因此, 应力与应变增量的主方向相同。这对于低应力水平来说,还是比较符合实际的;但是,但应力水平 较高或是接近破坏时,就不够真实了。 5) 由于模型采用了莫尔-库仑破化条件及 σ 2 = σ 3 的常规三轴试验方法,因此,没有涉及中 主应力 σ 2 对强度与变形的影响。

m

第二节 Drucker——Prager 模型

(1)(11)

Drucker—Prager 模型是考虑静水压力的 Drucker—Prager 屈服准则的基础上建立起来的理想 弹塑性模型。 4.2.1 模型的本构方程 由 Drucker——Prager 屈服准则有:

f (I 1 , J 2 ) = ?αI 1 + ( J 2 )
按照相关联流动法则,塑性应变增量为:

1

2

?R=0

(4-31)

1 ? ?f ?I ?(J 2 ) 2 ?f ?f 1 dε = dλ = dλ ? + ? ?I 1 ?σ ij ? ( J ) 12 ?σ ij ?σ ij 2 ? p ij

? ? ? ?

? ? 1 ? = dλ ? ? αδ ij + ? 2 J 2 S ij ? ? ?
因为 S ij = 0 ,故由式(4-32)可得:

(4-32)

dε vp = dε iip = ?3αdλ
弹性应变分量采用增量广义虎克定律,如下式:
e dε ij =

(4-33)

式(4-34)为 K ? G 型式的弹性本构关系。 故完整的弹塑性本构关系为:
e dε ij = dε ij + dε ijp =

dI 1 dS ij + 1 δ ij 2G 9K

(4-34)

? ? dI 1 1 1 δ ij + dS ij + dλ ? ? αδ ij + S ij ? ? ? 9K 2G 2 J2 ? ?

(4-35)

写成以应变增量表示应力增量的公式:

? ? G dσ ij = kdε v δ ij + 2Geij ? dλ ? ? 3Kαδ ij + S ij ? ? ? J2 ? ?
式(4-36)中: K -弹性体积模量; G -弹性剪切模量; eij -偏应变;

(4-36)

δ ij -Kronecker Delta(单位张量);
S ij -应力偏张量; dλ -塑性标量因子; J 2 -应力偏张量第二不变量;

α -Drucker-Prager 准则材料常数; dε v -体应变增量。
这就是 Drucker-Prager 模型本构关系的张量下标表示式。 4.2.2 弹塑性矩阵的推导 式(4-36)的增量弹塑性关系表达式为:

dσ = Dep dε
式中 Dep -弹塑性矩阵 岩土材料的屈服条件通常表示为:

(4-37)

f σ ij , K = 0
式中: K 表示塑性应变的函数。 对式(4-38)微分:

(

)

(4-38)

? ?f ? ? ?f ? df = ? ? dσ + ? ?d K = 0 ? ?σ ? ??K ?
T

? ?f ? = ? ? dσ ? Adλ = 0 ? ?σ ?
T

(4-39)

式中: A = ?

1 ?F d k ,则: dλ ? K

? ?f ? ? ? dσ = Adλ ? ?σ ?
令α = ?

T

(4-40)

? ?f ? ? 称 α 为流动矢量 ? ?σ ?

则式(4-40)为:

α T dσ = Adλ
又由

(4-41) (4-42)

dε = dε e + dε p = D ?1dσ + dλ
由式(4-41)和式(4-42)可以推得:

?f = D ?1 dσ + αdλ ?σ

dλ =
因此式(4-42)可写成:

1 A + α T Dα

α T Ddε

(4-43)

dε = D ?1 dσ +
将式(4-44)代入式(4-37) ,得到:

αα T D dε A + α T Dα

(4-44)

Dαα T D Dep = D ? A + α T Dα
式(4-45)就是弹塑性矩阵的表达式。 对于 Drucker—Prager 模型

(4-45)

f = ?αI 1 + ( J 2 )
又α = ?

1

2

?R=0

(4-46)

? ?f ? ? ,则由式(4-45)有可写成为: ? ?σ ?

? ?f ?? ?f ? D ? ?? ? D ?σ ?σ Dep = D ? ? ??T ? ? ?f ? ? ?f ? A + ? ? D? ? ? ?σ ? ? ?σ ?
T

(4-47)

对 f 求微分得:

? ?f ? ? ?σ ? ? x? ? ?f ? ?? 1? ? ?σ y ? ?? 1? ? ?f ? ? ? ? ? ?? 1? 1 ? ? ? ?f ? ? ?σ z ? ? ? = ? ?f ? = α ? ? + ? ?σ ? ? ? ? 0 ? 2 J2 ?τ yz ? ? ?0? ? ?f ? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ?τ zx ? ? ?f ? ? ?τ ? ? xy ?
式中: σ x , σ y , σ z ,τ yz ,τ zx ,τ xy -六个应力分量;

?σ x ? σ m ? ?σ ? σ ? m? ? y ?σ z ? σ m ? ? ? ? ? ? 2τ yz ? ? 2τ zx ? ? ? ? 2τxy ? ? ?

(4-48)

σm =

α=

1 (σ x + σ y + σ z ) -一点的平均应力; 3 2 sin ?

3 (3 ? sin ? )



J 2 :为应力偏张量的第二不变量。
4.2.3 材料参数的确定 Drucker-Prager 模型共有 K , G , α , k 四个材料参数。 K , G 为弹性常数,可由 E, v 换算出来。弹 性参数 α , k 由 Mohr-Coulomb 准则的材料参数 ? , C 换算出来。

4.2.4 对 Drucker-Prager 模型的评价 Drucker-Prager 模型是于 1952 年提出的适用于岩土类材料的弹塑性本构模型,它的最大优点 是采用简单方法考虑静水压力 p 对屈服和强度的影响,而且模型参数较少,计算也比较简单。同时 也考虑了岩土材料的剪胀性和扩容性,以后的许多岩土类材料的登向与非等向塑性模型,都是在它 的基础上经过修正与扩充而发展起来的。但是,它没有反映材料三轴拉,压强度不同及单纯的静水 压力可以引起岩土材料的屈服与破坏以及应力 Lode 角 θ σ 对塑性流动的影响。

参考文献 1. 张学言,岩土塑性力学,人民交通出版社,1993。 2. 钱家欢,殷宗泽,土工数值分析,中国铁道出版社,1991。 3. 李云鹏,罗桂红等,旋喷桩加固路基的数值模拟,岩土工程师,1999,11(4) ;14~18。 4. 王旭东,魏道垛等,群桩-土承台结构共同作用的数值分析,岩土工程学报,1996,18(4) ; 27~33。 5. 杨敏,L.G.Tham Y.K.Cheng,分层土中的群桩分析,同济大学学报,1993,21(2) ;211~218。 6. 秦建设,孟杰武,考虑土的非线性的水泥土桩复合地基特性分析,岩土力学,1998,19(3) ; 54~58。 7. Chow Y K,Analysis of Vertically Loaded Pile Groups,International for Numerical and Analytical Meyhods in Geomechanics,1986,10;59~72。 8. Kraft L M,Ray R P,Kagawa T,Theoretical t-z Curves,Journal of the Geotechnical Engineering Division,ASCE,1978,104(GT12);1465~1488。

9. H.Peribe,Estimation Settlement in a Graval Column Consolidated Soil,Die Bautechnik,1976,160~162。 10.合地基沉降计算理论及反分析的应用,河海大学博士学位论文,1998。 11.潘昌实,隧道力学数值方法,中国铁道出版社,1995。


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