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10-6随机抽样


高考调研

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第6课时

随机抽样

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2013?考纲下载
1.理解随机抽样的必要性和重要性. 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.

3.了解分层抽样和系统抽样方法.

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请注意!
1.本节主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模 型、收集数据等能力方法,是统计学中最基础的知识. 2.本部分在高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现,题 目多为中低档题,重在考查抽样方法的应用.

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1.简单随机抽样 (1)定义:设一个总体含有N个个体,从中 逐个 抽取n个 个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会 相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法 和 随机数表法.

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2.系 统 抽 样 的 步 骤 假 设 要 从 容 量 为 1 ( ) 先 将 总 体 的 N的 总 体 中 抽 取 容 量 为 N个 个 体

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n的 样 本 . . N ,当 n 是整数时,

编号

(2)确定 分段间隔k ,对编号进行 分段 N 取k= n . (3)在第1段中用 l(l≤k).

简单随机抽样

确定第一个个体编号

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4 ( ) 按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第 2个个体编号 l+k ,再加k得到第3个个体编号 l+2k ,依次进 行下去,直到获取整个样本.

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3.分 层 抽 样 1 ( ) 定 义 : 在 抽 样 时 , 将 总 体 照

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分成互不交叉

的 层 , 然 后 按

所占比例

, 从 各 层 独 立 地 抽 取 一 定 数 量 的 个 体 , 将 各 层

取 出 的 个 体 合 在 一 起 作 为 样 本 , 这 种 抽 样 方 法 是 一 种 分 层 抽 样 . 2 ( ) 分 层 抽 样 的 应 用 范 围 : 当 总 体 是 由

差异明显的几部分组 成 时 , 往 往 选 用 分 层 抽 样 .

4.三种抽样方法的共同点 每个个体被抽到的概率相同.

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1.(教材改编)2013年1月6日~8日衡水重点中学在毕业班 进行了一次模拟考试,为了了解全年级1 0 0 0 名学生的考试成

绩,从中随机抽取了100名学生的成绩单,下面说法正确的是 ( A.1 000名学生是总体 B.每个学生是个体 C.1 000名学生的成绩是一个个体 D.样本的容量是100
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)

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答案

D

解析

1

000名学生的成绩是统计中的总体,每个学生的

成绩是个体,被抽取的100名学生的成绩是一个样本,其样本 的容量是100.

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2.老师在班级50名学生中,依次抽取学号为 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方 法是 A.随机抽样 C.系统抽样
答案 C

( B.分层抽样 D.以上都不是

)

解析 由已知抽取的学号成等差数列,即属于等距离抽 样,是系统抽样的特点.

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3.总体容量为524,若采用系统抽样法抽样,当抽样间隔 为多少时不需要剔除个体 A.3 C.5 答案 B
解析

( B.4 D.6

)

显然524能被4整除,不能被3,5,6整除.

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4.2 ( 0 1 2 ·

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江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数

之比是3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名 学生.
答案 15

解析 由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的 3 3 10 ,利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50× 10 =15 名学生.
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5.一个总体分为A,B两层,用分层抽样的方法从总体中 抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率 1 都为12,则总体的个体数为________.
答案 120

解析

依题意,总体中每个个体被抽到的概率是相同的,

1 10 1 均为 ,设总体中的个体数量为n,则 = ,n=120. 12 n 12

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例1

有一批机器,编号为1,2,3,?,112,为调查机器的

质量问题,打算抽取10台入样,问此样本若采用简单随机抽样 方法将如何获得?

【思路】 简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法,因 为样本的容量为10,因此,两种方法均可以.

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【解析】 方法一 首先,把机器都编上号码 001,002,003,?,112,如用抽签法,则把112个形状,大小相 同的号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时,每次从 中抽出1个号签,连续抽取10次,就得到一个容量为10的样 本. 方法二 第一步,将原来的编号调整为001,002,003,…, 112. 第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作 为读数方向.比如:选第9行第7个数“3”,向右读.

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第三步,从“3”开始,向右读,每次读取三位,凡不在 001~112中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过不读,依 次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092. 第四步,对应原来编号74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的 机器便是要抽取的对象.

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探 究1 1 ( ) 一 个 抽 样 试 验 能 否 用 抽 签 法 , 关 键 看 两 点 : 一 是 制 签 是 否 方 便 ; 二 是 号 签 是 否 易 搅 匀 , 一 般 地 , 当 总 体 容 量

和 样 本 容 量 都 较 小 时 可 用 抽 签 法 . 2 ( ) 随 机 数 表 中 共 随 机 出 现 2 1 0 , ,?,9十 个 数 字 , 也 就 是

说 , 在 表 中 的 每 个 位 臵 上 出 现 各 个 数 字 的 机 会 都 是 相 等 的 . 在 使 用 随 机 数 表 时 , 如 遇 到 三 位 数 或 四 位 数 时 , 可 从 选 择 的 随 机 数 表 中 的 某 行 某 列 的 数 字 计 起 , 每 三 个 或 每 四 个 作 为 一 个 单 位 , 自 左 向 右 选 取 , 有 超 过 总 体 号 码 或 出 现 重 复 号 码 的 数 字 舍 去 .
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思考题1 (1)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个 容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的 1 概率为3,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 ( 1 A.4 5 C.14 1 B.3 10 D.27 )

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【解析】

9 1 根据题意, = ,解得n=28.故每个个体 n-1 3

10 5 被抽到的概率为 = . 28 14
【答案】 C

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2 ( ) 2 ( 0 1 0 ·

安 徽 文 )某 地 有 居 民 10 0 0

1 0 00 0

0户 , 其 中 普 通 家 庭

9 9

0 0 0 户 , 高 收 入 家 庭

户 . 从 普 通 家 庭 中 以 简 单 随 机 抽 样 方 1 0 0 户

式 抽 取 9 9 0 户 , 从 高 收 入 家 庭 中 以 简 单 随 机 抽 样 方 式 抽 取 进 行 调 查 , 发 现 共 有 普 通 家 庭 1 2 0 户 家 庭 拥 有 3套 或 3套 以 上 住 房 , 其 中

5 0户 , 高 收 入 家 庭

7 0户 . 依 据 这 些 数 据 并 结 合 所 掌 握 3套 或 3套 以 上 住 房 的 家 庭 所 占 比 .

的 统 计 知 识 , 你 认 为 该 地 拥 有 例 的 合 理 估 计 是 _ _ _ _ _ _ _ _

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【解析】

所抽取的990户普通家庭中有50户拥有3套或3

套以上住房,所抽取的100户高收入家庭中有70户拥有3套或3 套以上住房,那么9 9 0 0 0 套以上住房,10 0 0 户普通家庭中就有5 0 0 0 户拥有3套或3

户高收入家庭中就有700户拥有3套或3套以

上住房.那么该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例为 5 000+700 5 700 5 % .. 100 000 =100 000=7
【答案】 5.7%

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例2 2 ( 0 1 2 ·

山东理)采用系统抽样方法从960人中抽取32人

做问卷调查,首先将他们随机编号为1,2,?,960,分组后在 第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人 中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750] 的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的 人数为 A.7 C.10
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( B.9 D.15
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)

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【解析】

从960人中用系统抽样方法抽取32人,则每30

人抽取一人,因为第一组抽到的号码为9,则第二组抽到的号 码为39,第n组抽到的号码为an=9+30(n-1)=30n-21,由 236 257 451≤30n-21≤750,得 ≤n≤ ,所以n=16,17,?, 15 10 25,共有25-16+1=10人,选C.
【答案】 C

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探究2

当总体容量不能被样本容量整除时,可以先从总

体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本 容量整除.

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思考题2

(1)(2013· 皖南八校联考)某班级有50名学生,

现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这 50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组 6~10号,?,第十组46~50号,若在第三组中抽得号码为12 的学生,则在第八组中抽得号码为________的学生.
【解析】 【答案】 组距为5,∴(8-3)×5+12=37. 37

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2 ( ) 一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,?,99, 依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,?,10.现用 系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随 机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+ k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽的号码是______.
【解析】 由题设知,若m=6,则在第7组中抽取的号码

个位数字与13的个位数字相同,而第7组中数字编号顺次为 60,61,62,63,?,69,故在第7组中抽取的号码是63.
【答案】 63
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例3 1 ( ) 2 ( 0 1 2 ·

福建文)一支田径队有男女运动员98人,其

中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运 动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动人数是 ________.

98-56 【解析】 应抽取女运动员的人数为 98 ×28=12. 【答案】 12

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2 ( ) 2 ( 0 1 2 ·

湖北文)一支田径运动队有男运动员56人,女运动

员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员 有8人,则抽取的女运动员有________.
【解析】 分层抽样的特点是按照各层占总体的比抽取样

x 42 本.设抽取的女运动员有x人,则 = ,解得x=6. 8 56 【答案】 6

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探究3 分层抽样的操作步骤及特点: (1)操作步骤 ①将总体按一定标准进行分层; ②计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数占总体 数的比确定各层应抽取的样本容量; ③在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).

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2 ( ) 特点 ①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况; ②更充分地反映了总体的情况; n ③等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都是N.

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思考题3 (1)某校对全校1 600名男女学生的视力状况进 行调查,现用分层抽样的方法抽取一个容量为200的样本,已 知女生比男生少抽10人,则该校的女生人数应该为________.

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【解析】

设该校的女生人数为x,则男生人数为1 600-

200 1 x,按照分层抽样的原理,各层的抽样比为 = ,所以女 1 600 8 1 600-x x x 生应抽取 人,男生应抽取 人,所以 +10= 8 8 8 1 600-x ,解得x=760. 8
【答案】 760

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2 ( ) 某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品共3 000件,且它们 的数量成等比数列,现用分层抽样的方法从中抽取150件进行 质量检测,其中从乙、丁两类产品中抽取的总数为100件,则 甲类产品有 A.100件 C.300件 B.200件 D.400件 ( )

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【解析】

设从甲、乙、丙、丁四类产品中分别抽取a1、

a2,a3,a4件进行检测,由于四类产品的数量成等比数列且是 分层抽样,所以a1,a2,a3,a4也成等比数列,设此等比数列 的公比为q,由
? ?a1=10, ? ? ?q=2. ? ?a1+a3=50, ? ? ?a2+a4=100,



? ?a1+a3=50, ? 2 ? a q ? 1 + q ?=100, ? 1

解得

即从甲类产品中抽取10件,则甲类产品的数量为
【答案】 B

10 =200(件),故选B. 150 3 000
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1.本节重点是理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 的概念,并且是常用的从总体中抽取样本的方法,难点是如何 利用这些方法从总体中抽取样本. 2.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础,是一种 等概率的抽样,由定义应抓住以下特点:①它要求总体个数较 少;②它是从总体中逐个抽取的;③它是一种不放回抽样.

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3.系统抽样又称等距抽样,号码序列一确定,样本即确 定了,但要求总体中不能含有一定的周期性,否则其样本的代 表性是不可靠的,甚至会导致明显的偏向. 4.抽样方法经常交叉使用,比如系统抽样中的第一均衡 部分,可采用简单随机抽样,分层抽样中,若每层中个体数量 仍很大时,则可辅之以系统抽样.

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1. 问 题 : 户 , 中 等 收 入 家 庭 ①某 社 区 有

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5 0 0 个 家 庭 , 其 中 高 收 入 家 庭 9 5户 , 为 了 了 解 社 会 购 1 0 0 的 样 本 ;

1 2 5

2 8 0 户 , 低 收 入 家 庭

买 力 的 某 项 指 标 , 要 从 中 抽 出 一 个 容 量 为 名 学 生 中 抽 出 方 法 一 : 法 . 问 题 与 方 法 配 对 正 确 的 是 A.①Ⅲ,②Ⅰ C.①Ⅱ,②Ⅲ
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②从1 0

3个 参 加 座 谈 会 . Ⅰ简 单 随 机 抽 样 法 ; Ⅱ系 统 抽 样 法 ; Ⅲ分 层 抽 样

( B.①Ⅰ,②Ⅱ D.①Ⅲ,②Ⅱ
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)

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答案

A

解析

①因为社会购买力与家庭收入有关,因此要采用分

层抽样法;②从10名学生中抽取3名,样本和总体都比较少, 适合采用简单随机抽样法.

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2.某校进行数学竞赛,将考生的成绩分成90分以下、 90~120分、120~150分三种情况进行统计,发现三个成绩段 的人数之比依次5∶3∶1,现用分层抽样的方法抽出一个容量 为m的样本,其中分数在90~120分的人数是45,则此样本的 容量m=________.
答案 135

个体容量 各层个体容量 解析 ∵ = , 样本容量 各层样本容量 45 3 ∴m= ,即m=135. 5+3+1
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3.2 ( 0 1 3 ·

浙江五校第一次联考)某报社做了一次关于“什

么是新时代的雷锋精神”的调查,在A、B、C、D四个单位回 收的问卷数依次成等差数列,且共回收1 000份,因报道需

要,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本,若 在B单位抽30份,则在D单位抽取的问卷是________份.
答案 60

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解析 由题意依次设在A、B、C、D四个单位回收的问卷 30 150 数分别为a1、a2、a3、a4,则 = ,∴a2=200,又a1+a2 a2 1 000 +a3+a4=1 000,即3a2+a4=1 000,∴a4=400,设在D单位 n 150 抽取的问卷数为n,∴400=1 000,解得n=60.

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4.2 ( 0 1 0 ·

北京)从某小学随机抽取100名学生,将他们的身

高(单位: 厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图),由图中数 据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140), [140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一 项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 ________.

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答案

0.030

3

解 析 1, 所 以 有 0 3 .0 . 0 2 .0

因 为 频 率 分 布 直 方 图 中 的 各 个 矩 形 的 面 积 之 和 为 1 0 ×0 0 ( .5 +0 3 .5 +a+0 2 .0 +0 1 .0 ) =1, 解 得 a= + 1 0

由 直 方 图 可 知 三 组 内 的 学 生 总 数 为 +0 1 .0 ) =6 0人 . 其 中 身 高 在 1 [ 4 1 0 5 ,0 ] 1 [ 4 1 0 5 ,0 ]

1 0 0 ×1 0 ×0 3 ( .0 内 的 学 生 人 数 为

人 , 所 以 从 身 高 在 3 .

范 围 内 抽 取 的 学 生 人 数 为

1 8 0= 6 0 ×1

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5.某单位最近组织了一次健身活动,参加活动的职工分 为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其中一组.在参加 活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占 1 10%.登山组的职工占参加活动总人数的 4 ,且该组中青年人占 50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组中不同年龄 层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参 加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定 (1)游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
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思路 (1)根据登山组和游泳组中青年人、中年人和老年人 的人数之和的百分比分别等于参加活动的三类职工的比例列方 程组解决; (2)先计算出游泳组的总人数,再根据游泳组中青年人、中 年人和老年人的比例进行计算.

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解析 (1)解法一:设登山组人数为x,游泳组中青年人、 x· 40%+3xb 中年人、老年人所占比例分别为a,b,c,则有 = 4x x· 10%+3xc 47.5%, =10%,解得b=50%,c=10%.故a=100% 4x -50%-10%=40%,即游泳组中青年人、中年人、老年人所 占比例分别为40%,50%,10%.

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解 法 二 : 设 参 加 活 动 的 总 人 数 为 年 人 、 老 年 人 所 占 比 例 分 别 为

x, 游 泳 组 中 青 年 人 、 中 a,b,c, 则 “参 加 登 山 组 的 青

年 人 人 数 加 上 参 加 游 泳 组 的 青 年 人 人 数 等 于 参 加 活 动 的 青 年 人 1 人 数 ”, 即 4x5 0 · % =5 0 % ,c=1 0 % . 例 分 别 为 4 0 % 5 0 ,% 1 0 ,% . 3 + 4x· a=x4 5 2 · % . , 解 得 a=4 0 . =4 0 % , 同 理 b

即 游 泳 组 中 青 年 人 、 中 年 人 、 老 年 人 所 占 比

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3 2 ( ) 游泳组中,抽取的青年人人数为200× ×40%=60;抽 4 3 取的中年人人数为200× ×50%=75;抽取的老年人人数为 4 3 200×4×10%=15.

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用系统抽样法, 将全体职工 随机按 1~200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组(1~ 5 号,6~10 号?,196~200 号) .若第 5 组抽出的号码 为 22,则第...
高中-数学-随机抽样及习题
高中-数学-随机抽样及习题_数学_高中教育_教育专区。统计——随机抽样 1、简单...用系统抽样 方法确定所抽的编号为( ) A.5,10,15,20 B.2,6,10,14 C....
简单随机抽样(答案)
5. 简单随机抽样在抽样技术中的地位; 6. 简单随机抽样中样本量确定的原则及...某养牛场购进 120 头肉牛,购进时平均体重为 100 公斤,先从中抽取 10 头, ,...
【高三总复习】2013高中数学技能特训:10-1 随机抽样(人...
【高三总复习】2013高中数学技能特训:10-1 随机抽样(人教B版) 含解析 Word版...(x3,x4),共 6 种情况. 6 2 所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为21=7...
第十章第1讲随机抽样
2016 高考导航 知识点 随机抽样 考纲下载 1.理解随机抽样的必要性和重要性. 2...(10+20)×=6. 5 4 (2)根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为 ×300...
2014届高三人教A版数学一轮复习精练 10.1 随机抽样 Wor...
2014届高三人教A版数学一轮复习精练 10.1 随机抽样 Word版含解析]_高中教育_...11.某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些 人中抽取一...
...(10)第十章-概率与统计(含答案)3-第三节 随机抽样
2018课标版文数一轮(10)第十章-概率与统计(含答案)3-第三节 随机抽样_数学...(2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为 A';B1,B2,B3;C1,C2, ...
统计学课后习题参考答案.
第四、五、章复习思考题与练习题一、思考题(10 个左右) 1、什么是抽样...现随机抽取 5 只,测得直径为(毫米) :22.3、 21.5、22、21.8、21.4。...
第六章抽样调查练习及答案
并知道过去三年的成活率分别为 89.15%,89.50%,90.10%,根据以上 资料确定这次调查至少要抽选多少棵进行调查? 第 六章 抽样调查 一、填空题 1.随机、均等 2...
《统计学》抽样调查习题和答案
x 4、 从某年级学生中按简单随机抽样方式抽取 50 名学生,对邓小平理论课的考试成绩进行检查,得知其平 均分数为 75.6 分,样本标准差 10 分,试以 95.45%(...
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