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9.极值问题


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(8-09):极值问题(171)

489

极值问题 [母题]Ⅰ(8-09):(2012 年陕西高考试题)设函数 f(x)= 2 +lnx,则( x
(A)x=

/>1 为 f(x)的极大值点 2

) (D)x=2 为 f(x)的极小值点 2 0 1+ln2 (2,+∞) + ↗

(B)x=

1 为 f(x)的极小值点 2

(C)x=2 为 f(x)的极大值点 x
f ? (x)

[解析]:由 f(x)= 2 +lnx(x>0) ?
x

f ? (x)=-

2 x
2

+

1 1 = (x-2),列表如下: x x2

(0,2) ↘

由表知,x=2 为 f(x)的极小值点.故选(D).

f(x)

[点评]:极值问题在函数研究中占有十分重要的地位,高考客观中常见
的极值问题可分为三类:①求已知函数的极值;②己知极值,求参数;③极值存在的条件.

[子题](1): (2007 年清华大学自主招生数学试题)求 f(x)= e 的单调区间与极值.
x

x

[解析]:由 f(x)= e

x

x

? f ? (x)=

xe x ? e x x
2

=

ex x2

(x-1),列表如下:

x
f ? (x)

(-∞,0)∪(0,1) ↘

1 0 e

(1,+∞) + ↗

由表知,f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,1),单调递增区 间为(1,+∞);f(x)的极小值=f(1)=e,无极大值.

f(x)

注:求已知函数极值的程序是:①求导函数,关键是对导函数进行整理:先提出恒正 (或恒负)的式子,再把余下的式子 分解因式;②由导函数列表;③由表写出结果.

[子题](2): (2006 年湖北高考试题)设 x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点,则 a 与 b 的关系式是 (用
a 表示 b).

[解析]:由 f(x)=(x2+ax+b)e3-x ?
3-x

f ? (x)=(2x+a)e -(x +ax+b)e =-[x +(a-2)x+b-a]e ;由 f ? (3)=0 ? b=-2a-3 ? f ? (x)
3-x 2 3-x 2 3-x

=-(x-3)(x+a+1)e ;令 f ? (x)=0 ? x1=3,x2=-a-1,由于 x=3 是极值点 ? -a-1≠3 ? a≠-4.故 b=-2a-3(a≠-4). 注:己知函数的极值,求参数的基本方法是:利用极值必要性定理;要特别注意:所求的参数值或参数关系式,要确保 x0 是函数 f(x)的极值点.下面的定理可解决这个问题:定理:如果 f ? (x)=(x-x0) g(x),且 g(x0)≠0,则 x0 是函数 f(x)的极值点
n

? n 是奇数.

[子题](3): (2013 年湖北高考试题)(理)已知 a 为常数,函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),则(
(A)f(x1)>0,f(x2)>1 2

)

(B)f(x1)<0,f(x2)<-

1 2

(C)f(x1)>0,f(x2)<-

1 2

(D)f(x1)<0,f(x2)>-

1 2

[解析]:由 f(x)=x(lnx-ax) ?

f ? (x)=lnx+1-2ax;则 f(x)有两个极值点 x1,x2 ?

f ? (x)=lnx+1-2ax=0 ? lnx=2ax-1 有两根 x1,x2;过点 A(0,-1)作 y=lnx 的切线,相

切于 P(t,lnt),则

ln t ? 1 1 = ? t=1 ? kAP=1;作 y=2ax-1 与 y=lnx 的图像知,0<2a< t t

1,0<x1<1<x2;因当 x∈(x1,x2)时,lnx>2ax-1 ? f ? (x)>0 ? f(x)在(x1,x2)内递增 ? f(x1)<f(1)<f(x2) ? f(x1)<-a<f(x2),而-a∈(1 1 ,0) ? f(x1)<0,f(x2)>- .故选(D). 2 2

注:探讨极值存在的条件是高考的热点,也是难点问题,解决该类问题的基本方法是转化为导函数的零点(导函数在零 点处穿过 x 轴)问题.

490
[子题系列]:
3 2

[母题]Ⅰ(8-09):极值问题(171)

1.(2011 年广东高考试题)函数 f(x)=x -3x +1 在 x=____________处取得极小值. 2.(2012 年陕西高考试题)设函数 f(x)=xe ,则( (A)x=1 为 f(x)的极大值点 (A)2
3 2 x

) (C)x=-1 为 f(x)的极大值点 (C)4 (D)x=-1 为 f(x)的极小值点 ) (D)5 . )

(B)x=1 为 f(x)的极小值点 (B)3
2

3.(2005 年全国Ⅰ高考试题)函数 f(x)=x +ax +3x-9,己知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a=(

4.(2009 年辽宁高考试题)若函数 f(x)=

x ?a 在 x=1 处取极值,则 a= x ?1
3 2

5.(2011 年福建高考试题)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( (A)2 (A)a>0 (B)3
3

(C)6 ) (C)a<0
3

(D)9 (D)a≤0 .

6.(2004 年湖北高考试题)函数 f(x)=ax +x+1 有极值的充要条件是( (B)a≥0
x

7.(2006年全国高中数学吉林初赛联赛试题)若函数f(x)=x -6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是 8.(2008 年广东高考试题)(文)函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则( (A)a<-1 (B)a>-1
ax

)
1 e

(C)a>-

(D)a<-

1 e

9.(2008 年广东高考试题)(理)函数 y=e +3x,x∈R 有大于零的极值点,则( (A)a>-3 (B)a<-3 (C)a>-

)
1 3

(D)a<)

1 3

10.(2013 年湖北高考试题)(文)已知函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( (A)(-∞,0) (B)(0,
1 ) 2

(C)(0,1)

(D)(0,+ ∞)

[子题详解]:
1.解:由 f ? (x)=3x(x-2) ? 极小值点 x=2. 3.解:由 f ? (x)=3x +2ax+3 ? f ? (-3)=30-6a=0 ? a=5.故选(D).
2 x 2.解:由 f ? (x)=(x+1)e .故选(D).

4.解:由 f ? (x)=

x 2 ? 2x ? a ( x ? 1) 2
3

? f ? (1)=

3?a =0 ? a=3. 4
a?b 2 ) =9,当且仅当 a=b=3 时,等号成立;此时 f ? (x) 2

5.解:由 f ? (x)=12x -2ax-2b ? f ? (1)=12-2a-2b=0 ? a+b=6;由 ab≤(

=6(x-1)(2x+1) ? x=1 是 f(x)的一个极值点 ? ab 可取到最大值 9.故选(D). 6.解:由 f(x)有极值 ? f ? (x)=3ax +1 有穿过 x 轴的零点 ? a<0.故选(C).
2

7.解:由 f ? (x)=3x -6b 在(0,1)内递增,所以 f(x)在(0,1)内有极小值 ? f ? (x)在(0,1)内有递增零点 ? f ? (0)=-6b<0,
2

f ? (1)=3-6b>0 ? b∈(0,
x

1 ). 2
x

8.解:由函数 y=e +ax 有大于零的极值点 ? y ? =e +a 有正的穿过 x 轴的零点 ? x=ln(-a)>0 ? -a>1 ? a<-1.故选(A). 9.解:由函数 y=e +3x 有大于零的极值点 ? y ? =ae +3 有正的穿过 x 轴
ax ax

的零点 ? x=

1 3 3 3 ln(- )>0 ? ln(- )<0 ? 0<- <1 ? a<-3.故选(B). a a a a

10.解:由 f(x)=x(lnx-ax) ? f ? (x)=lnx+1-2ax;则 f(x)有两个极值点 x1,x2 ? f ? (x) =lnx +1-2ax=0 ? lnx=2ax-1 有两根 x1,x2;过点 A(0,-1)作 y=lnx 的切线,相切于 P(t,lnt),则
ln t ? 1 1 = ? t=1 ? kAP=1;作 y=2ax-1 与 y=lnx 的图像知,0<2a<1.故选(B). t t


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