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上海市普陀区2015届高三数学二模试卷(含答案)


上海市普陀区 2015 届高三数学二模试卷(含答案) 2015.4
一、填空题(每小题 4 分,共 56 分)
x 1. 已知集合 A ? ?? 1,0, a?, B ? x 1 ? 2 ? 2 , 若A

?

?

B ? ?, 则实数 a 的取值范围是 (0,1) .

2.

函数 y ? cos ( x ?

?

?

) ? sin ? ( x ? ) 的最小正周期为 ? ?

?

?

. 42 . . (用 ? 的

3.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 ? 4.若 tan ? ? ?2 ,? 是直线 y ? kx ? b 的倾斜角,则 ? = 反正切表示) 5.设 (1 ? 2i) z ? 3 ? 4i (i 为虚数单位) ,则 | z |?

? ?a r c t a n 2

5



6.直角坐标系 xoy 内有点 A(2,1) ,B(0,2) ,将线段 AB 绕直线 y ? 1 旋转一周,所得

到几何体的体积为

2? 3



, b ?3 , a? b ??6 7.已知平面向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 若 a ?2

, 则

x1 ? y1 ? x2 ? y2

?

2 . 3

ax
8.设 a ? 0, a ? 1 ,行列式 D ? 2

1 0

3

2

1 中第 3 行第 2 列的代数余子式记作 y ,函数 4 ?3


y ? f ?x ?的反函数经过点 ?2,1? ,则 a ? 4
概率依次为

9.某学生参加 3 门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的

4 3 2 , , ,且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合 5 5 5 37 125


格的概率为

10.已知 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F1 , F2 为椭圆的 a 2 b2
2 a

?

开始 输入 n n≤5 Y Tn←-n2+9n 输出 Tn N

左、右焦点,则

1 1 ? 的最小值为 PF1 PF2

11.已知 {an } 是等差数列,设 Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an (n ? N ) .某 学生设计了一个求 Tn 的算法框图 (如图) , 图中空白处理框中是用 n 的

1

结束 (第 11 题图)

表达式对 Tn 赋值,则空白处理框中应填入: Tn ←__ n ? 9n ? 40 __________.
2

12. 不等式 x ?

1 则实数 a 的范围为 ? a ? 2 ? sin y 对一切非零实数 x , y 均成立, x

. ?1,3?

13.平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点.定义 P ( x1, y1 )、 Q( x2 , y2 ) 两点之间的“直角 距 离 ” 为 d (P, Q) = x1 - x2 + y1 - y2 , 已 知 点 B (1,0) , 点 M 是 直 线

kx - y + k + 3 = 0 (k

1) 上的动点, d ( B, M ) 的最小值为

2?

3 k

(k ? 1) .
,设

14 .当 n 为正 整数时, 用 N ( n) 表 示 n 的最大 奇因数, 如 N (3) ? 3, N (10) ? 5,

Sn ? N (1)? N (2) ? N (3) ? N (4) ? ?N

n

(2 ? ? 1) N

n

, 则数列 (2 ) ?Sn ? Sn?1? (n ? 2) 的前

n 项和的表达式为

4n ?1 ? 4 3



二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15.已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,以下命题正确的是( C (A) 若 l ? ? , l ? m , 则 m )

?;

(B)若 l // ? , m

? , 则 l // m ;

(C)若 l ? ? , m // ? , 则 l ? m ; (D) 若 l ? ? , l ? m , 则 m // ? ; 16.以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是( D ) (A)笛卡儿—解析几何; (B)帕斯卡—概率论; (C)康托尔—集合论; (D)祖暅之—复数论; 17.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? (an , an?1 ) , bn ? (n, n ?1) , n ? N * . 下列 命题中真命题是( A )

(A) 若 n ? N * 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 (B) 若 n ? N * 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 (C) 若 n ? N * 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 (D) 若 n ? N * 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 18.方程 sin x ? x cos x ? 0 的正根从小到大地依次排列为 a1 , a2 , 为( B ) (A) 0 ? an ?1 ? a n ?

, an ,

,则正确的结论

?
2

(B) 2an?1 ? an?2 ? an?1 (D) 2an?1 ? an?2 ? an?1

(C) 2an?1 ? an?2 ? an?1

2

三、解答题(12+14+14+16+18,共 74 分) 函数 f ?x? ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 . (1)求实数 a 的值; ( 2 )把函数 y ? f ?x ? 的图象向右平移

19.已知向量 a ? ?1 ? coswx,1?, b ? 1, a ? 3 sin wx ( w 为常数且 w ? 0 ) ,

?

?

? 个单位,可得函数 y ? g ?x ? 的图象,若 6w

? ?? y ? g ?x ? 在 ?0, ? 上为增函数,求 w 的最大值. ? 4?
解: (1)

f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ? ) ? a ? 1 6 因为函数 f ( x ) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1

?

? ?? ?? ? ? 把函数 f ?x ? ? 2 sin? wx ? ? 的图象向右平移 ?, 6w 6? 6? ? ? 个单位,可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x
(2) 由 (1) 知: f ?x ? ? 2 sin? wx ?

2? ? ?? ? ? 即0 ? w ? 2 y ? g ( x) 在 ?0, ? 上为增函数,? g ( x) 的周期 T ? w ? 4? 所以 w 的最大值为 2
又 20 . 已 知 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 的 侧 棱 与 底 面 垂 直 ,

A1
P

AA1 ? AB ? AC ? 1, AB ? AC, M 是 CC1 的 中 点 , N 是
BC 的中点,点 P 在 A1B1 上,且满足 A1P ? ? A1B1
(1)证明: PN ? AM ; (2)当 ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最 大?并求该角的最大值的正切值。 B N 解 : (1) 以 AB, AC, AA1 分 别 为 x, y , z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A ? x y z 则

C1 B1
A M



1 1 1? 1 1 1 ? PN ? ( ? ? , , ?1), AM ? ? 0,1, ? .PN ? AM ? ( ? ? ) ? 0 ? ?1 ? 1? ? 0,? PN ? AM . 2 2 2? 2 2 2 ?
(2)显然平面 ABC 的一个法向量为 n ? (0,0,1) 则 sin ? ? cos ? PN , n ? ?

PN ? n PN n

?

1 (*) 1 2 5 (? ? ) ? 2 4
3

于是问题转化为二次函数求最值,而 ? ? ?0,

? ?? ,当 ? 最大时, sin ? 最大,即 tan ? 最大 ? 2? ?

(? ?

?
2

除外) ,由(*)式: ? ?

1 2 5 时, (sin ? )max ? , (tan ? )max ? 2 2 5

21.近年来玉制小挂件备受人们的青睐,某玉制品厂去年的年产量为 10 万件,每件小挂件 的销售价格平均为 100 元,生产成本为 80 元。从今年起工厂投入 100 万元科技成本,并计 划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本, 预计产量每年递增 1 万件。 设第 n 年每件小 挂件的生产成本 g (n) ? 年为第 1 年) (1)求利润的表达式 f ( n) ; (2)问从今年算起第几年的利润最高?最高利润为多少万元? 解: (1) f (n) ? (10 ? n) ?100 ? (10 ? n) ?

80 元, 若玉制产品的销售价格不变, 第 n 年的年利润为万元 (今 n ?1

80 80(n ? 10) ? 100n ? 1000 ? n ?1 n ?1 n? 1 ? 9 ) ,当 n ? 8 时, f (n) n ?1

(2) f (n) ? 1000 ?

80(n ? 10) ,故 y ? 1000 ?80( n ?1

最大,最高利润为 520 万元。 22.存在对称中心的曲线叫做有心曲线.显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线.若有心曲线 上两点的连线段过中心,则该线段叫做有心曲线的直径.

x2 7 ? 1? ? y 2 ? 1 的直径 AB 所在的直线 (1)已知点 P ?1, ? ,求使 ?PAB 面积为 时,椭圆 3 2 ? 2?
方程; (2)若过椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的中心作斜率为 k 的直线交椭圆于 M , N 两点,且椭圆的左、右 3

焦点分别为 F1 , F2 ,若以 M 为圆心, MF2 长度为半径作⊙ M ,问是否存在定圆⊙ R ,使 得⊙ M 恒与⊙ R 相切?若存在,求出⊙ R 的方程。若不存在,请说明理由。 (3)定理:若过圆 x ? y ? 1的一条直径的两个端点与圆上任意一点(不同于直径两端点)
2 2

的连线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ?1 .请对上述定理进行推广. 说明:第(3)题将根据结论的一般性程度给与不同的评分.

4

解: (1)设直线 AB 的方程为 y ? kx ,代入椭圆方程得 x 2 ?

1 1 k ? 3
2



k?


d?

1 2

1? k 2

, AB ? 2

1? k 2 1 k2 ? 3

k?
解S ?
2

1 2

1 k ? 3

?

k2 ? k ?

1 4 ? 7 得k ? ? 2 1 3 2 k2 ? 3
2 x 3

故直线 AB 的方程为 y ? ?

(2)存在⊙ R : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 12 与⊙ M 恒相切,圆心 N 为椭圆的左焦点 F1 . 由椭圆的定义知, MF1 ? MF2 ? 2a ? 2 3

? MF1 ? 2 3 ? MF2 . ? 两圆相内切。
(3)根据结论的一般性程度给与不同的评分. (问题 1-4 层) 过圆 x ? y ? r
2 2 2

? r ? 0? 的一条直径的两个端点与圆上任意一点(不同于直径两端点)的连
2

线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ?1 .
2 ②若过圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? 的一条直径的两个端点与圆上任意一点 (不同于直 2

径两端点)的连线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ?1 .

x2 y 2 ③过椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条直径的两个端点与椭圆任意一点(不同于直径两 a b
端点)的连线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ?
2 2

b2 . a2

④过有心圆锥曲线 mx ? ny ? 1(mn ? 0) 的一条直径的两个端点与曲线上任意一点(不同 于直径两端点)的连线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ? 证明:设曲线上任一直径 AB, P 为异于 A, B 的曲线上任一点。 设 A ? x1 , y1 ? , B ? ? x1 , ? y1 ? , P ? x, y ? , k AP ?

m . n

y ? y1 y ? y1 , k BP ? ,因为 A, P 在曲线上,所以 x ? x1 x ? x1

5

k AP ? kBP ?

y 2 ? y12 ? x 2 ? x12

??

m n

23.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 0 , an ?1 ?

3 ? an (n ? N * ) 2

(1)试求 a1 的值,使数列 ?an ? 是一个常数列; (2)试求 a1 的取值范围,使得数列 ?an ? 是单调增数列; (3)若 ?an ? 不为常数列,设 bn ? an?1 ? an (n ? N * ) , Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,请你写 出 a1 的一个值, 使得 S n ?

1 恒成立,并说明理由。 2

解: (1)由 an ? an ?1 ?

3 ? an 3 及 an ? 0, 得 an ? . 2 2

? a1 ?

3 时, ?an ? 为常数数列。 2

(2) an?1 ? an =

3 ? an 3 ? an ?1 an ? an?1 ? ? . 2 2 ? 3 ? an 3 ? an ?1 ? 2? ? ? 2 2 ? ?

? 3 ? an 3 ? an ?1 ? 2? ? ? ? 0, 2 2 ? ?

? an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。
要使 an?1 ? an 对任意正整数 n 都成立,只须 a2 ? a1 ? 0, 即

3 3 ? a1 ? a1 , 解得 0 ? a1 ? . 2 2

? 当 0 ? a1 ?

3 时, an?1 ? an 对任何正整数 n 成立。 2

(3)选择 a1 ? 2 时,由(2)的结论知 an?1 ? an ? 0.

? Sn ? b1 ? b2 ?

? bn ? an ?1 ? an ? ? an ?1 ? an ?

? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? a1 ? an ?1 ? 2 ? an ?1.
又 an ? 2 ?

? ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ?

3 ? an?1 3 3 1 ? an?1, 解得 an ?1 ? . 故 Sn ? 2 ? an ?1 ? 2 ? ? 2 2 2 2
6

7


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