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专题五第3讲 直线与圆锥曲线


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2013 年高考数学能力加强集训:

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专题五第 3 讲 直线与圆锥曲线
一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 5 1.设椭圆 C1 的离心率为13,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的 点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 x2 y2 A.42-32=1 x2 y2 C.32-42=1 解析 x2 y2 B.132-52=1 x2 y2 D.132-122=1

对于椭圆 C1,a=13,c=5,曲线 C2 为双曲线,c=5,a=4,b=3,

x2 y2 故标准方程为 2- 2=1.故选 A. 4 3 答案 A

x2 y2 2.设双曲线a2-b2=1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点, 则双曲线的离心率为 5 A.4 5 C. 2 解析 B.5 D. 5 ? b ?y= x, x2 y2 b 双曲线a2-b2=1 的一条渐近线为 y=ax, 由方程组? a ?y=x2+1 ?

消去 y,

b ?b? 得 x2-ax+1=0 有唯一解,所以 Δ=?a?2-4=0, ? ? a2+b2 b c 所以a=2,e=a= a = 故选 D. 答案 D ?b? 1+?a?2= 5, ? ?

y2 3.(2012· 惠州模拟)已知双曲线 x - 2 =1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线
2

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→ → 上,且MF1· 2=0,则点 M 到 x 轴的距离为 MF A. 3 4 C.3 解析 2 3 B. 3 5 D.3 ?m2+n2=|F→ |2=12 ? 1F2 → → 设|MF1|=m,|MF2|=n,由? ,得 m· n=4, ? ?|m-n|=2

1 1 2 3 由 S△F1MF2=2m· 2|F1F2|· n= d,解得 d= 3 .故选 B. 答案 B

4. 已知抛物线 C: 2=4x 的焦点为 F, y 直线 y=2x-4 与 C 交于 A, 两点. B 则 cos ∠AFB= 4 A.5 3 C.-5 解析 设点 A(x1,y1),B(x2,y2). 3 B.5 4 D.-5

2 ?y =4x, 由题意, 得点 F(1,0), ? 由 消去 y, x2-5x+4=0, 得 x=1 或 x=4, ?y=2x-4

→ → 因为点 A(1,-2)、B(4,4),FA=(0,-2),FB=(3,4), → FB 0×3+?-2?×4 → FA· 4 cos ∠AFB= = =-5,故选 D. → → 2×5 |FA||FB| 答案 D

x2 y2 5.(2012· 课标全国卷)设 F1, 2 是椭圆 E: 2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点, F a 3a P 为直线 x= 2 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 A.2 3 C.4 2 B.3 4 D.5

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解析

利用椭圆的离心率概念结合图形求解.

由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30° ,∴∠PF2x=60° . ?3 ? ∴|PF2|=2×?2a-c?=3a-2c.∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c, ? ? c 3 ∴e=a=4. 答案 C

1 6.在△ABC 中,已知 A(-4,0),B(4,0),且 sin A-sin B=2sin C,则 C 的轨 迹方程是 x2 y2 A. 4 +12=1 x2 y2 C.12- 4 =1 解析 在△ABC 中,由正弦定理可得: x2 y2 B. 4 -12=1(x<-2) x2 y2 D.12-14=1(y≠1)

1 1 sin A-sin B=2sin C?a-b=2c, 即|CB|-|CA|=4,故 C 点的轨迹为双曲线的一支, 由 A(-4,0),B(4,0)为焦点,2a=4 可得 x2 y2 其方程为 4 -12=1(x<-2). 答案 B

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) x2 y2 7.(2012· 武汉模拟)已知 F1、F2 是双曲线16- 9 =1 的焦点,PQ 是过焦点 F1 的弦,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值是________. 解析 x2 y2 因为双曲线方程为16- 9 =1,所以 2a=8.

由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=8,① |QF2|-|QF1|=2a=8,② ①+②,得 |PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=16.
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所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=16. 答案 16

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8.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________. 解析 由已知, 得抛物线方程为 y2=4x.直线 l 的斜率不存在时,根据抛物线

的对称性,点(2,2)不可能是 AB 的中点,故直线 l 的斜率存在,设其为 k,则直 ?y-2 ? 线 l 的方程是 y-2=k(x-2)且 k≠0, 与抛物线方程联立, 消掉 x, y2-4? 则 +2? ? k ? y1+y2 4 8 4 =0,即 y2- ky+k-8=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=k,又 2 =2, 2 即k=2,解得 k=1,故所求的直线方程是 y-2=x-2,即 y=x. 答案 y=x

9.已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂 → QF → FQ → → 线,垂足为点 Q,且QP· =FP· ,则动点 P 的轨迹 C 的方程是________. 解析 设点 P(x,y),则 Q(-1,y),

→ QF → FQ → → 由QP· =FP· ,得 (x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y), 化简,得 y2=4x.故填 y2=4x. 答案 y2=4x

三、解答题(每小题 12 分,共 36 分) x2 y2 10.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上, |PF1| ∠F1PF2=60° ,设|PF |=λ.
2

(1)当 λ=2 时,求椭圆离心率; 16 (2)当椭圆离心率最小时,PQ 为过椭圆右焦点 F2 的弦,且|PQ|= 5 ,求椭圆 的方程.

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解析
2

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|PF1| (1)∵|PF |=2,∴|PF1|=2|PF2|,

4 2 又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|=3a,|PF2|=3a, ?|PF1|+|PF2|?2-|F1F2|2-2|PF1||PF2| 1 cos ∠F1PF2= =2, 2|PF ||PF |
1 2



4a2-4c2 3 c2 1 3 =2,∴a2=3,∴e= 3 . 8 2·a2 9 λ ?|PF1|=1+λ· 2a ? ?? 1 2a ?|PF2|=1+λ· ?

?|PF1|=λ|PF2| (2)依题意得,? ?|PF1|+|PF2|=2a



?|PF1|+|PF2|?2-|F1F2|2-2|PF1||PF2| 1 cos ∠F1PF2= =2, 2|PF ||PF |
1 2

4a2-4c2 3λ ∴ 4a2λ =3,∴1-e2= , ?1+λ?2 ?1+λ?2 ∴e2=1- 3λ 3 3 1 ≥1-4=4, 2=1- 1 1+2λ+λ +2+λ λ 1 · 2a=a, 1+λ

当 λ=1 时,上式取等号,|PF2|= ∴P(0,b),

(或 P(0,-b),由对称性可知仅研究其一即可) 1 b ∴当 e=2时,PQ 所在直线的斜率 k=- c=- 3, ∴PQ 所在直线的方程是 y=- 3(x-c). 设 Q(x1,y1),
2 y2 ?x ? 2+ 2=1 由?4c 3c ?y=- 3?x-c? ?

?5x2-8cx=0,

8c 3 3c ∴x1= 5 ,y1=- 5 , |PQ|=
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?8c?2 ? 3 3c?2 16 ? 5 ? +?b+ ?= , 5 ? ? ? 5 ?

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x2 y2 ∴c=1,∴所求椭圆方程为 4 + 3 =1. 11.(2012· 福州模拟)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,一个顶 6 点为 A(0,-1),离心率为 3 . (1)求椭圆 G 的方程. (2)设直线 y=kx+m 与椭圆相交于不同的两点 M,N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范围.

解析

x2 c 6 (1)依题意可设椭圆方程为a2+y2=1,则离心率 e=a= 3 ,

c2 2 故a2=3,而 b2=1,解得 a2=3, x2 故所求椭圆的方程为 3 +y2=1. (2)设 P(xP,yP)、M(xM,yM)、N(xN,yN), P 为弦 MN 的中点, ?y=kx+m ? 由?x2 2 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, ? 3 +y =1 ? ∵直线与椭圆相交, ∴Δ=(6mk)2-4(3k2+1)×3(m2-1)>0 ?m2<3k2+1,① ∴xP= xM+xN 3mk m =- 2 ,从而 yP=kxP+m= 2 , 2 3k +1 3k +1

yP+1 m+3k2+1 当 k≠0 时,∴kAP= x =- 3mk (m=0 不满足题目条件) P ∵|AM|=|AN|, ∴AP⊥MN,则- m+3k2+1 1 =- k, 3mk

即 2m=3k2+1,② 把②代入①得 m2<2m,解得 0<m<2, 由②得 k2=
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2m-1 1 3 >0,解得 m>2.

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1 故2<m<2.

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当 k=0 时,∵直线 y=m 是平行于 x 轴的一条直线, ∴-1<m<1,综上,求得 m 的取值范围是-1<m<2. x2 y2 5 12.(2012· 西城一模)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,定点 M(2,0),椭圆短轴的端点是 B1,B2,且 MB1⊥MB2. (1)求椭圆 C 的方程. (2)设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点.试问 x 轴上是否 存在定点 P,使 PM 平分∠APB?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理 由. 解析 a2-b2 5 b2 b 2 (1)由9=e2= a2 =1-a2,得a=3.

依题意△MB1B2 是等腰直角三角形,从而 b=2, 故 a=3. x2 y2 所以椭圆 C 的方程是 9 + 4 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 x=my+2. 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 x 得(4m2+9)y2+16my-20= 0. -16m -20 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . 4m +9 4m +9 若 PF 平分∠APB,则直线 PA,PB 的倾斜角互补,所以 kPA+kPB=0. 设 P(a,0),则有 y1 y2 + =0. x1-a x2-a

将 x1=my1+2,x2=my2+2 代入上式, 整理得 2my1y2+?2-a??y1+y2? =0, ?my1+2-a??my2+2-a?

所以 2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0. -16m -20 将 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 代入上式, 4m +9 4m +9 整理得(-2a+9)· m=0.由于上式对任意实数 m 都成立,

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9 所以 a=2.

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?9 ? 综上,存在定点 P?2,0?,使 PM 平分∠APB. ? ?

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