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等比数列前n项和教案


2.5 等比数列的前 n 项和(1)
教学目标
重点:使学生掌握等比数列的前 n 项和公式,用等比数列的前 n 项和公 式解决实际问题. 难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式. 知识点:等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点. 能力点:通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、 比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻 辑思维能力和逆向思维的能力. 教育点:通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗 透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 自主探究点:如何利用相应方法推导出等比数列前 n 项和公式以及在此 基础上应用公式解决与之有关的问题. 考试点:等比数列前 n 项和公式以及在此基础上应用公式解决与之有关 的问题. 易错易混点:对于 q ? 1 这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在 后面使用的过程中容易出错. 拓展点:公式推导所使用的“错位相减法”蕴含的数学思想.

教具准备:多媒体课件 课堂模式:学案导学 一、引入新课
图片引入:

话说高老庄集团总裁八戒想开一个公司,但苦于资金有限,于是准备去 找悟空帮忙投资,悟空一口答应:“行,从今天开始我连续 30 天往你的公 司注入资金, 第一天投资 10000 元, 第二天投资 20000 元, 第三天投资 30000 元,总之以后每天都比上一天多投资 10000 元,但作为回报,在投资的第一 天起你必须返还我 1 元钱, 第二天返还我 2 元钱??即后一天返还的钱数为
1

前一天的两倍,30 天后我们两清.”问:八戒会吃亏么? 【师生活动】教师引导学生分析八戒与悟空提出的两种方案:这在 30 天
' 内悟空投资与八戒向悟空返还的钱数分别记为 S30 , S30 ,则每天投资的钱数

构成等差数列且一月的投资总额为
' S 30 ? 30 ? 10000 ?

30 ? 29 ? 10000 ? 4650000 2

而每天返还的钱数则构成了一个等比数列且一月的返还总额为

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? 229 ? ?
那么如何求这个和呢?从而引出课题《等比数列的前 n 项和》. 【设计意图】】设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣, 调动学习的积极性. 故事内容紧扣本节课的主题与重点, 也和实际生活有一 定联系. 【设计说明】 此处应结合思路板书上述两个求和的式子, 方便学生下一步 思考.

二、探究新知
师: 同学们, 你们知道 30 天后是悟空还是八戒亏本吗?带着这样的问题, 学生会动手算了起来, 他们想到用计算器依次算出各项的值, 然后再求和. 这 时我对他们的这种思路给予肯定. 【设计意图】 :在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让 学生去做所谓的“无用功” ,急急忙忙地抛出“错位相减法” ,这样做有悖学 生的认知规律:求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么 不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来, 因而在教学中 应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍.同时,形成 繁难的情境激起了学生的求知欲, 迫使学生急于寻求解决问题的新方法, 为 后面的教学埋下伏笔. 在肯定他们的思路后,教师提问学生: 1,2,2 ,2 ,??,2 是什么数列? 有何特征? 应归结为什么数学问题呢? 探究一:把 S30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ?? ? 2 29 记为(1)式,注意观察 每一项的特征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探究二: 如果把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,(1)式两边同 乘以 2 则有 2S30 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? 230 记为(2)式.比较(1)(2) 两式,你有什么发现? 生:经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把 两式相减,相同的项就消去了. 师:这就是错位相减法. 【设计意图】 :留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导 关键是变“加”为“减” ,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来 却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生
2
2 3 29

的辩证思维能力的良好契机. 学生在经过繁难的计算之苦后, 突然发现上述 解法的简洁,更让学生感到数学方法的魅力. 师:同学们请反思,为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 此 时 顺 势 引 导 学 生 将 结 论 一 般 化 , 公 比 为 q , 如 何 求 前 n 项 和 Sn ? 这里,让学生自主完成,学生得到公式 S n ?

a1 ? a1q n ,教师在巡视过程 1? q

中对个别学生进行指导,然后投影学生习作,加以点评. 【设计意图】 :在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步 步深入,让学生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感. 在学生推导完成后,教师继续提问 师:由 (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n 得到 S n ? 有什么要求? 生: 此时q ? 1 . 师:那等比数列中的公比能不能为 1? q ? 1 时是什么数列?此时 S n ? ? (这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式, 同时为后面的例题教学打下 基础.) 生: q ? 1 时为常数列,此时 S n ? na1 师:结合等比数列的通项公式 an ? a1q n?1 ,如何把 S n 用 a1 , an , q 表示出 来?(引导学生得出公式的另一形式) 生: S n ?

a1 ? a1q n 对不对?这里对 q 有没 1? q

a1 ? a n q 1? q

【设计意图】 :通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识 结构,另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而 进一步提高分析、类比和综合的能力.

三、理解新知
? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? ; (q ? 1) 学生总结,教师板书 S n ? ? 1 ? q 1? q ? na1 ; (q ? 1) ?
【设计意图】 :为准确地运用新知,做必要铺垫.

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四、运用新知
1 1 1 1 , , , , ?? 前 8 项和; 2 4 8 16 1 1 解:由已知可得,此数列是首项为 , 公比为 的等比数列,其前 8 项和为 2 2 1 1 (1 ? 8 ) 2 ? 1? 1 S8 ? 2 1 28 1? 2 63 变式一:此数列的前多少项和是 ? 64
例 1 求等比数列 变式二:求此数列第 5 项到第 10 项的和. 师生活动:首先,学生独立思考,自主解题,再投影他们的解答,其它同学 进行评价,然后师生共同进行总结. 【设计意图】 :采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通 过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促 进学生新的数学认知结构的形成.通过以上形式,让全体学生都参与教学, 以此培养学生的参与意识和竞争意识. 例 2 求和 1 ? a ? a ? a ? ?? ? a
2 3 n ?1

2 3 n ?1 ?n 解:当 a ? 1 时, 1 ? a ? a ? a ? ?? ? a

2 3 n ?1 ? 当 a ? 1 时, 1 ? a ? a ? a ? ?? ? a

1? an 1? a

【设计意图】解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,该题有意培养 学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想.

师:最后回到初始的引入问题,可以计算出 S30 ? ?1 ? 230 ,显然灰太狼比
较吃亏. 师:再来思考, 多少天以内八戒才不吃亏? 生:我们可以算出 S n ? n ? 10000 ?
'

n ? (n ? 1) ? 10000 ? 5000 (n 2 ? n) , 2

Sn ?

(1 ? 2 n ) ? 2 n ? 1 ,只要 2 n ? 1 ? 5000 (n 2 ? n) 求出 n 的值就可以了. 1? 2

【设计意图】把引入课题时的悬念给予释疑,并对此引例加以变式,有助于
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学生克服疲倦、继续积极思维.

五、课堂小结
以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答. 本节课我们学习了哪些公式?涉及到哪些数学思想方法?学生作答:

? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? ; (q ? 1) 1、 知识点: S n ? ? 1 ? q 1? q ? na1 ; (q ? 1) ?
2、 思想:分类讨论的思想 3、 方法:错位相减法 教师总结: 公式的证明用到了一个新的方法——错位相减法, 而错位相减法 也是数列求和的一种重要方法.提醒学生, “知新”时,也要“温故” ,在应 用中加强对公式的理解,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. 教师用多媒体展示: 数学就像人类的一部特制的精密的大型望远镜或显微镜 一样, 它大大延伸了人们洞察自然地能力, 看到了不掌握数学的人无法看到 的那个世界,能使人看到那些不懂数学的人无法看到的东西. ---张楚廷《数学文化》 【设计意图】以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力.同时加强对学 生学法指导与数学文化修养的指导.

六、布置作业
必做:人教 A 版课本 61 页 A 组 1、4(1) 选作:1、 “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头 几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少? 2、求和: 1 ? 2 x ? 3x ? ? ? nx
2 n ?1

【设计意图】 出选作题的目的是注意分层教学和因材施教, 让学有余力的学 生有思考的空间,也为下节课做准备.

七、教后反思
1.本教案的亮点是引例问题与课堂设计.引例来源于生活,能吸引学生在解 决问题的过程中掌握知识点与方法;而本堂课的设计采用“问题――探究” 的教学模式,自然流畅,符合学生认知规律,而且利用多媒体及学案辅助教 学,使学生思维活动得以充分展开,从而优化了教学过程,大大提高了课堂 教学效率. 2.本节课弱项是课堂时间有限,没有充分进行训练,这就要求学生在课下多 多训练,以完成对知识和方法的巩固提高. 3.由于学情不同,建议教师使用本案是灵活掌握.

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八、板书设计
2.4.1 等比数列前 n 项和

1 1 1 1 , , , , ?? 前 8 项和; 30 ? 29 ? 10000 2 4 8 16 ' S 30 ? 30 ? 10000 ? ? 4650000 1 1 2 解:由已知可得,此数列是首项为 , 公比为 的等 2 2 S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? 229 ? ? 1 1 (1 ? 8 ) 2 ? 1? 1 探究一: S30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ?? ? 2 29 比数列,其前 8 项和为 S 8 ? 2 1 28 1? 2 2S30 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? 230 2 3 n ?1 例 2 求和 1 ? a ? a ? a ? ?? ? a
引例: 例 1 求等比数列 以上两式有何特点? 探究二:等比数列前 n 项和公式
2 3 n ?1 ?n 解:当 a ? 1 时, 1 ? a ? a ? a ? ?? ? a

? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? ; (q ? 1) Sn ? ? 1 ? q 1? q ? na1 ; (q ? 1) ?

2 3 n ?1 ? 当 a ? 1 时,1 ? a ? a ? a ? ?? ? a

1? an 1? a

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