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高级中学高中数学必修2:2.2.2 面面平行的判定与性质(课件)


复习回顾:
1. 判断直线与平面平行的方法是什么? (1)定义法; (2)直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行.
a

?

b

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
线线平行
线面平行

/>
复习回顾:
2. 平面与平面有几种位置关系?分别是什么? (1)平行 (2)相交

α∥β

? ?? ? a

判断平面与平面平行可以转化 成什么问题达到呢?

两个平面平行的问题,可以转化为一个 平面内的直线与另一个平面平行的问题。
面面平行
转化

?

线面平行

二、新知探究
?探究: 问题1 平面α内有一条直线 a 平行平面β, 则α∥ β 吗? 请举例说明。 问题2 平面α内有两条直线 a , b 平行平面 β, 则α∥ β 吗? 请举例说明。

模型2

a // β b// β a // b
β

α
a b

问题

平面α内有两条相交直线 a , b 平行平 面 β, 则 α ∥ β吗 ? 直观 感受

问题

平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面β, 则α∥ β吗?
C B

?

A

当三角板ABC的两条边BC、 AB都平行桌面?时,ABC所 在的平面是否平行桌面??

问题

平面α内有两条相交直线 a , b 平行平 面 β, 则 α ∥ β吗 ?

模型 验证

面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 相交 直线分别 平行 于另一个平面,那么这两个平面平行。 a ?? , b?? a?b=P a // ? b // ?
符号语言

线不在多 贵在相交 ?// ?

?

? P

a b

?

图形语言

面面平行

转化

线面平行

转化

线线平行?

变式探究 面面平行的判定定理 1.线面平行是否可用其它条件代替?
如果一个平面内有两条 相交 直线分别 平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 a ?? , b?? a?b=P a // ? b // ?

?// ?

?

?

a b
a'

?

可用什么 条件代替?

线面平行

转化

线线平行?

例题解析
例 : 判断下列结论是否正确:

1.若m?α, n?α, m∥β, n∥β, 则α∥β
2.若α内有无数条直线平行于β, 则α∥β 3.若α内任意直线都平行于β, 则α∥β 4.若m // n,m//α,m //β,n//α,n//β,则 α//β 5.若α//γ,β//γ,则α//β

例二

已知 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , 求证:平面B1AD1//平面BC1D
分析: 在四边形ABC1D1中, AB∥C1D1且AB=C1D1故四边 形ABC1D1为平行四边形。
C B

D1 A 1 B1 D A

C1

即AD1∥BC1

证明: ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴D1C1//A1B1, D1C1=A1B1, AB//A1B1, AB=A1B1, ∴D1C1//AB, D1C1=AB, (平行线的传递性) ∴D1C1BA为平行四边形, ∴ D1A//C1B, 又D1A ?平面C1BD, C1B ?平面C1BD, ∴D1A//平面C1BD。

D1 A1 D A B B1

C1

C

同理D1B1//平面C1BD, A1 又D1A ?D1B1=D1, D1A ? 平面AB1D1 , D1B1? 平面AB1D1, ∴平面AB1D1//平面C1BD。
A

D1

C1

B1
D

C

B

变式 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P、Q、R分 别为A1A、AB、AD的中点 .求证:平面PQR∥ 平面CB1D1。 证明:连结A1B,BD。
∵PQ∥

A1B且A1B ∥CD1。

∴PQ∥CD1

又PQ P
R Q
CD1
∴PQ

?平面CB1D1 ? 平面CB1D1

∥ 平面CB1D1

同理可得,RQ// 平面CB1D1 。 又PQ∩RQ=Q
∴平面PQR∥平面CB1D1。

正方体中面与面的平行关系有还有这些:
D1

C1 B1
A1

D1

C1 B1
A1
E

F

D1
E

C1 B1
N

A1

Q

P

D

F

C

D

C

D

A
D1
N

B
C1 B1
M

A
D1

B
C1

A
D1

B

M

C

C1
E F

E

A1

A1

A1

B1

B1

F

D
E
B

C
A

D

D
C

C

A

B

F

A

B

小结
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行。

定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行

平面与平面平行的性质

如果两个平面平行,那么一平面中的 直线与另一平面有什么位置关系?

D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

由于平面A'C'平行于平面AC,不可能有交点, 所以直线A'C'与平面AC平行。

如果两个平面平行,那么一个平面内的直 线与另一个平面的直线具有什么位置关系?

D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

由于平面A'C'平行于平面AC,不可能有交点, 所以直线A'C'与平面AC内直线的位置关系只可能 是平行或异面.如A'C'与AC平行,与AB或BC异面。

如何找到在平面AC中与直线A'C'平行的直线?
D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

只要与直线A'C'在一个平面内即可.过直线 A'C'做一个平面与平面AC相交,则交线与直线A'C' 平行。

例五 如图,已知平面α,β,γ,满足α//β,α∩γ=a, β∩γ=b,求证:a//b。 γ β α 证明:

b

α γ ? a, β γ ? b, ? a ? α,b ? β。 α / /β,
所以a,b没有公共点

a

a, b ? γ, ? a / /b。

平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行 符号表示:

α//β ? ? α ? γ ? a ? ? a//b ? β ? γ ? b?
面面平行→线线平行

由两个平面平行可以得到哪些结论呢?
1. 若两个平面互相平行,则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面; 2. 平行于同一平面的两平面平行;

3. 过平面外一点有且只有一个平面与这个平 面平行; 4. 夹在两平行平面间的平行线段相等。

例六 已知:如图α//β,AB//CD,且 求证:AB=CD
A ? α, C ? α, B ? β, D ? β

证明:因为AB//CD,所以过 AB,CD可作平面γ,且平面γ与平面 α和β分别相交AC和BD 因为α//β, 所以BD//AC 因此,四边形ABCD是平行四边形 所以AB=CD

A

C

B

D

小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面,那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于

推论:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行

面面平行性质定理: 面面平行

线线平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行。


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