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2016届 数学 (理科)一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第4讲 二次函数与幂函数


第4讲

二次函数与幂函数
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、填空题 1.二次函数 y=-x2+4x+t 图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是________. 解析 =-4. 答案 -4 二次函数图象的顶点在 x 轴上,所以 Δ=42-4×(-1)×t=0,解得 t

2.二次函数的图象过点(0

,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式是 ________. 答案 1 y=2(x-2)2-1

3.若 a<0,则 0.5a,5a,5-a 的大小关系是________(按从小到大). 解析 1 ?1? 5-a=?5?a,因为 a<0 时,函数 y=xa 单调递减,且5<0.5<5,所以 5a ? ?

<0.5a<5-a. 答案 5a<0.5a<5-a

4.(2015· 蚌埠模拟)若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)= ________. 解析 b b ∵f(x1)=f(x2)且 f(x)的图象关于 x=-2a对称,∴x1+x2=-a.

b2 b ? b? ∴f(x1+x2)=f?-a?=a· 2-b·+c=c. a a ? ? 答案 c

5. (2014· 山东师大附中调研)“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2, +∞) 上为增函数”的 ________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充 要”、“既不充分也不必要”). 解析 函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数,则满足对称轴

-4a - 2 =2a≤2, 即 a≤1, 所以“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,
1

+∞)上为增函数”的充分不必要条件. 答案 充分不必要

6.(2014· 南京、盐城模拟)若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 2,一根 小于 1,则 m 的取值范围是________. 解析 令函数 f(x)=x2-2mx+4,由题意可知 5 即 m>2.

5 ? ?m> , ?f?1?<0, ?1-2m+4<0, 2 ? 即? 所以? ?f?2?<0, ?4-4m+4<0, ? ?m>2, 答案 ?5 ? ?2,+∞? ? ?
? ?

? ? 1 7.当 α∈?-1,2,1,3?时,幂函数 y=xα 的图象不可能经过第________象限.

解析

1 当 α=-1、1、3 时,y=xα 的图象经过第一、三象限;当 α=2时,y

=xα 的图象经过第一象限. 答案 二、四

8. (2014· 江苏卷)已知函数 f(x)=x2+mx-1, 若对于任意 x∈[m, m+1], 都有 f(x) <0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析 作出二次函数 f(x)的图象,对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0,则

?f?m?<0, 有? ?f?m+1?<0,

2 2 ?m +m -1<0, ? 即 2 ??m+1? +m?m+1?-1<0,

2 解得- 2 <m<0. 答案 ? 2 ? ?- ,0? ? 2 ?

二、解答题 9.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].

2

(1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数. 解 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6],

∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6] 上是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. 10.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解 函数 f(x)=-x2+2ax+1-a

=-(x-a)2+a2-a+1, 对称轴为 x=a. (1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a, ∴1-a=2,∴a=-1. (2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1, ∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,∴a= 1± 5 (舍). 2

(3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 1.(2014· 苏州检测)已知函数 f(x)=x2+2x+b(b∈R)的值域为[4,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<8 的解集为(m,m+4),则实数 m 的值为________. 解析 由函数 f(x)=x2+2x+b 的值域为[4,+∞)得 b=5,由 f(x)<8 得-3

<x<1,所以 m=-3. 答案 -3

2.(2014· 武汉模拟)已知函数 f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且 x1<x2,x1+x2=1 -a,则下列说法正确的是________(填序号). ①f(x1)<f(x2);②f(x1)>f(x2);③f(x1)=f(x2);④f(x1)与 f(x2)的大小关系不能确 定.
3

解析

f(x)的对称轴为 x=-1,因为 1<a<3,

则-2<1-a<0,若 x1<x2≤-1,则 x1+x2<-2, 不满足 x1+x2=1-a 且-2<1-a<0;若 x1<-1, x2≥-1 时, |x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1=x1+x2+2=3-a>0(1<a<3), 此时 x2 到对称轴的距离大,所以 f(x2)>f(x1); 若-1≤x1<x2,则此时 x1+x2>-2,又因为 f(x)在[-1,+∞)上为增函数, 所以 f(x1)<f(x2). 答案 ①

3.(2015· 江门、佛山模拟)已知幂函数 f(x)=xα,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的取值范围是________. 解析 当 x>1 时,恒有 f(x)<x,即当 x>1 时,函数 f(x)=xα 的图象在 y=x

的图象的下方,作出幂函数 f(x)=xα 在第一象限的图象,由图象可知 α<1 时 满足题意. 答案 (-∞,1)

4.(2014· 辽宁五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x) =x2+2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解 (1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.

(2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x) =x2+2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),

4

2 ?x -2x?x>0?, ? ∴f(x)= 2 ?x +2x?x≤0?.

(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值; 当 a+1>2,即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值. 2a ?a≤0?, ?1-2 综上,g(x)min=?-a -2a+1 ?0<a≤1?, ?2-4a ?a>1?.

5


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