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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题二 平面向量与复数课件 理


核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

专题二 平面向量与复数

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第2讲

平面向量与复数

核 心 知 识 聚 焦

→ ⊥AB → ,|OA → |=3,则 1.[2015· 湖北卷] 已知向量OA →· → =________. O

A OB

[答案]

9

→ ⊥AB →, → |=3, →· → =OA →· →+ [解析] 因为OA |OA 所以OA OB (OA → )=|OA → |2+OA →· → =|OA → |2=9. AB AB

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第2讲

平面向量与复数

核 心 知 识 聚 焦

→ 2. [2015· 北京卷] 在△ABC 中, 点 M, N 满足AM →, → =NC → .若MN → =xAB → +yAC →, =2MC BN 则 x=________, y=________.
1 1 [答案] 2 -6

1→ 1→ 1→ 1 → → → [解析] 由条件得MN=MC+CN=3AC+2CB=3AC+2 1→ 1→ 1 → → → → (AB-AC)=2AB-6AC=xAB+yAC,所以 x=2,y 1 =-6.
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第2讲

平面向量与复数

核 心 知 识 聚 焦

3.[2015· 江苏卷] 已知向量 a=(2,1),b=(1,-2), 若 ma + nb = (9 ,- 8)(m , n ∈ R) ,则 m - n 的值为 ________.
[答案] -3

[解析] 因为 ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8) ,
? ? ?2m+n=9, ?m=2, 所以? 解得? 故 ? ? ?m-2n=-8, ?n=5,

m-n=-3.

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第2讲

平面向量与复数

核 心 知 识 聚 焦

4.[2014· 新课标全国卷Ⅱ改编] 设向量 a,b 满足|a+b| = 10,|a-b|= 6,则 a· b=________.
[答案] 1

由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得 4a· b=4, 所以 a· b=1.

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第2讲

平面向量与复数

核 心 知 识 聚 焦

1 → → → → |=t.若点 5.[2015· 福建卷改编] 已知AB⊥AC,|AB|= t ,|AC → → AB 4AC → →· → P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP= → + → ,则PB PC |AB| |AC| 的最大值等于________.

[答案]

13

[解析] 令 b=xe1+ye2(x,y∈R),b· e1=xe1·e1+ye2·e1=x 1 1 2 +2y=1,b· e2=xe1·e2+ye2·e2=2x+y=1,解得 x=y=3, 2 4 4 2 4 2 2 2 则 b=3(e1+e2), 所以 b =9(e1+e2) =9(e1+2e1· e2+e2)=3, 2 3 故|b|= . 3
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第2讲

平面向量与复数

→ ,AC → 的方向分别为 x 轴,y 轴的 [解析] 以点 A 为原点,AB
核 心 知 识 聚 焦

1 → → ? 正方向建立如图所示的平面直角坐标系,则AB= t ,0?,AC
? ?

?

?

1 → → → → ? =(0,t) ,AP=(1,4) ,所以PB=AB-AP= t -1,-4?,
? ?

?

?

1 → → → → → ? PC=AC-AP=(-1,t-4) ,所以PB· PC=- t -1?-4(t
? ? ?1 ? -4) =-? t +4t?+17≤-2 ? ?

?

?

1 1 4t+17=13, 当且仅当 t=2时 t·

取等号.

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第2讲

平面向量与复数

核 心 知 识 聚 焦

1+z 6 . [2015· 全国卷Ⅰ改编 ] 复数 z 满足 = i ,则 |z| = 1-z ________.
[答案] 1

i-1 (i-1)2 [解析] 由题意知 z= = =i,所以|z| i+1 (i+1)(i-1) =1.

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第2讲

平面向量与复数

核 心 知 识 聚 焦

(1+i)3 7.[2014· 新课标全国卷Ⅰ改编] =________. (1-i)2

[答案] -1-i

(1+i)3 (1+i)2(1+i) 2i(1+i) [解析] = =-1-i. 2= 2 (1-i) (1-i) -2i

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第2讲

平面向量与复数

核 心 知 识 聚 焦

2i 8.[2015· 安徽卷改编] 设 i 是虚数单位,则复数 在复 1-i 平面内所对应的点位于第________象限.
[答案] 二

2i(1+i) 2i+2i2 2i [解析] 因为 = = 2 =-1+i, 1-i (1-i)(1+i) 2i 所以 在复平面内所对应的点为(-1,1) ,位于第二 1-i 象限.
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第2讲

平面向量与复数

—— 教师知识必备 ——
知识必备 平面向量
向量 零向量 平行向量 向量夹角 投影 既有大小又有方向的量, 表示向量的有向线 段长度叫作该向量的模 长度为 0, 方向任意的向量(0 与任一非零向 量共线) 方向相同或者相反的非零向量叫作平行向 量,也叫共线向量 起点放在一点的两非零向量所成的角, 范围 是[0,π ],a,b 的夹角记为〈a,b〉 〈a,b〉=θ,|b|cosθ 叫 b 在 a 方向上的投 影(注意:投影是数量)
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平 重 面 要 向 概 量 念

第2讲

平面向量与复数

—— 教师知识必备 ——

e1,e2 不共线,存在唯一的实数对(λ,μ),使 a=λe1 基本定理 重 平 要 面 法 向 则 量 定 理 共线条件 a, b(b≠0)共线?存在唯 一实数 λ,使 a=λb a⊥b?a· b=0 一般表示 坐标表示 ( 向量坐标上下文 理解) (x1, y1)=λ(x2, y2)?x1y2=x2y1 +μe2.若 e1,e2 分别为 x 轴、y 轴上的单位正交向量, 则(λ,μ)就是向量 a 的坐标

垂直条件

x1x2+y1y2=0

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第2讲

平面向量与复数

—— 教师知识必备 ——
法则 加法 运算 平 各 面 种 减法 向 运 运算 量 算 数乘 运算 运算律 概念 算律 法则 分解 a+b 的平行四边形法则、三 角形法则 a+b=(x1+x2,y1+y2)

a+b=b+a,(a+b)+c=a+ 与加法运算有同样的坐 (b+c) a-b 的三角形法则 → =ON → -OM → MN λa 为向量,λ>0 与 a 方向相 同, λ <0 与 a 方向相反, |λa| =|λ||a| μa,λ (a+b)=λa+λb 标表示 a-b=(x1-x2,y1-y2) → =(xN-xM,yN-yM) MN 若 a=(x, y), 则 λa=(λx, λy)

λ(μa) =(λμ)a, (λ+μ)a =λa + 与数乘运算有同样的坐 标表示

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第2讲

平面向量与复数

—— 教师知识必备 ——

概念 a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉 数 量 积 运 算 运算 律 a· b=b· a,(a+b)· c= a· c+b· c, (λa)· b=a· (λb)=λ(a· b) 主要 性质 a· a=|a|2,|a· b|≤|a|· |b|

a· b=x1x2+y1y2 |a|= x2+y2 |x1x2+y1y2|≤
2 2 2 x2 1+y1· x2+y2

平 面 向 量

各 种 运 算

与数量积、数乘等具有同样 的坐标表示

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第2讲

平面向量与复数

—— 教师知识必备 ——
知识必备 复数
虚数 单位 规定 i2=-1,实数可以与它进行四则运算,并且运 算时原有的加法、乘法运算律仍成立.i4k=1,i4k+1 =i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k∈Z) 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,a 叫作复数的实 复 数 概 复数 部,b 叫作复数的虚部.b≠0 时叫虚数,a=0,b≠0 时叫纯虚数 念 复数 相等 a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?a=c,b=d

共轭 实部相等,虚部互为相反数,即 z=a+bi,则- z =a 复数 -bi
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第2讲

平面向量与复数

—— 教师知识必备 ——
加减 法 运 算 复 数 几 何 复数 z=a+bi 意 义 复平面内的点 Z(a, b) →, 向量OZ → 的模叫作复数 z 的模,|z|= a2+b2 向量OZ 除法 ac+bd bc-da (a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(c+di≠0, a, b, c, d∈R) c +d2 c2+d2 乘法

(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i(a,b,c,d∈R) (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i(a,b,c,d∈R)

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第2讲

平面向量与复数

? 考点一 平面向量的概念及线性运算 平面向量的概念——1.概念的理解和应用;2.零向量和单位 向量;3.向量的投影 平面向量的线性——1.向量的线性运算;2.共线向量定理的 运算 应用 题型:选择、填空 分值:5分 难度:中等 热点:线性运算中的参数求值或者参数取值范围

考 点 考 向 探 究

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第2讲

平面向量与复数

例1

(1)已知△ABC中,D是BC边的中点,过点D的

→ =λ AB → , AF → =μ 直线分别交直线AB,AC于点E,F.若 AE → ,其中λ>0,μ>0,则λμ的最小值是( AC ) 1 1 1 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设D,E,F分别为△ABC → +FC → =( 的三边BC,CA,AB的中点,则EB → A.AD 1→ C.2BC 1→ B.2AD → D.BC )

考 点 考 向 探 究

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第2讲

平面向量与复数

考 点 考 向 探 究

(2)A → =1(AB → +AC → )= 1 AE → + 1 AF → ,且 [解析] (1)因为AD 2 2λ 2μ 1 1 D,E,F 三点共线,所以 + =1,所以 2λ 2μ 1 1 1≥2 · ,即λ μ ≥1,当且仅当 λ=μ=1 时等号 2λ 2μ 成立,故 λμ 的最小值是 1. 1→ 1→ → → → → → → → (2)EB+FC=EC+CB+FB+BC=2AC+2AB=AD.

[答案] (1)A

[小结]进行向量运算时,要尽可能将其转化到三 角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向 量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量 表示出来.
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第2讲

平面向量与复数

变式题如图21,AB是圆O的直径,点C,D在圆O → =xOA → +yBC → ,则x 上,∠CBA=60° ,∠ABD=45° , CD +y的值为( ) 3 A.- 3 2 C.3 1 B. 3 D.- 3 图21 → + OB → +2 OC → =0, (2)四点O,A,B,C共面,若 OA 则△AOC的面积与△ABC的面积之比为( ) 1 2 1 1 A. B. C. D. 3 3 2 4
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考 点 考 向 探 究

第2讲

平面向量与复数

[答案] (1)A

(2)D

考 点 考 向 探 究

[解析] (1) 以O为原点,AB为x轴,建立直角坐标系, ?1 3? ? 设圆的半径为1,得A(-1,0),B(1,0),C ? ,- ? ? , 2 2 ? ? ? 1 3? ? → → → D(0,1).由 CD =x OA +y BC 得 ?- ,1+ ? ? = 2 2 ? ? 1 ? x=1+ , ? ? ? 3 3 1 3 ? ? ? 因此x+y=- , ?-x-2y,- 2 y? ,解得 3 2 ? ? ?y=-1- . 3 ? 选A.

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第2讲

平面向量与复数

(2)如图所示,以OA,OB为邻边作平行四边形 → + OB → = OD → .由 OA →+ OADB,E为OD与AB的交点,则 OA → +2OC → =0,可知OD → =-2OC → ,所以C,O,E,D四点 OB 1 共线,且|OC|=|OE|,所以S△AOC=S△AOE=4S△ABC,故选D.
考 点 考 向 探 究

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第2讲

平面向量与复数
? 考点二 平面向量的数量积

数量积的 ——1.利用概念计算数量积;2.求两向量的夹角 概念

考 点 考 向 探 究

数量积的 ——1.利用概念和坐标运算求解数量积或者数量积 运算 的最值;2.根据数量积求参数值或者参数范 围;3.两向量垂直的充要条件的应用 题型:选择、填空 分值:5分 难度:中等 热点:数量积中的参数求值或者参数取值范围,向量垂直的 条件的应用

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第2讲

平面向量与复数

例2 (1)[2014· 全国卷] b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( A.2 C.1

若向量a,b满足|a|=1,(a+ ) B. 2 D.

考 点 考 向 探 究

2 2 (2)[2014· 天津卷]已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD= 120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC. 2 → → → → 若AE·AF=1,CE·CF=-3,则λ+μ=( ) 1 2 5 7 A.2 B.3 C.6 D.12

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第2讲

平面向量与复数

[答案] (1)B

(2)C

考 点 考 向 探 究

[解析] (1)因为(a+b)⊥a,所以(a+b)· a=0,即|a|2+b· a=0.因为 (2a+b)⊥b,所以(2a+b)· b=0,即2a· b+|b|2=0,与|a|2+b· a=0联 立,可得2|a|2-|b|2=0,所以|b|= 2|a|= 2. (2)建立如图所示的坐标系,则A(-1,0),B(0,- 3 ),C(1,0), D(0, 3).设E(x1,y1),F(x2,y2).由BE=λBC得(x1,y1+ 3)=λ(1, ? ?x1=λ, 3 ),解得 ? 即点E(λ, 3 (λ ? y = 3 ( λ - 1 ), ? 1 → =μ DC → 得(x2,y2- 3 )=μ(1,- -1)).由 DF ? ?x2=μ, 3 ),解得 ? 即点F(μ, 3 (1 ? y = 3 ( 1 - μ ), ? 2 -μ)).又∵AE· AF=(λ+1, 3(λ-1))· (μ+1, 3(1-μ))=1,①

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第2讲

平面向量与复数
2 3(1-μ))=-3,②

→ ·CF → =(λ-1, CE

3(λ-1))· (μ-1,

5 ∴①-②得λ+μ=6.

考 点 考 向 探 究

[小结]根据平面向量基本定理,在选定了基向量 后,平面内任意向量均可使用基向量表达.当试题中 涉及多个向量时可以将这些向量用基向量表达出来, 然后再进行相关的运算与推理.

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第2讲

平面向量与复数

变式题 (1)设平面向量a,b,c均为非零向量,则 “a· (b-c)=0”是“b=c”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
考 点 考 向 探 究
? ? ? = a + b (2)已知非零向量a,b的夹角为θ, ? ? ? ? ? ? ?=1,则θ的取值范围是( a-b? ?

3 ,

)

π A.0≤θ≤ 3 π π C. ≤θ< 6 2

π π B. ≤θ≤ 3 2 2π D.0<θ< 3
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第2讲

平面向量与复数

[答案] (1)B

(2)A

[解析] (1)当a· (b-c)=0时,有a⊥(b-c),此时b-c 不一定为零向量,故条件是不充分的;反之,若b=c, 则b-c=0,此时一定有a· (b-c)=0,故条件是必要 的.所以“a· (b-c)=0”是“b=c”的必要不充分条件.
考 点 考 向 探 究

(2)由|a+b|= 3 ,|a-b|=1,得a2+2a· b+b2=3,a2 1 -2a· b+b2=1,两式相减得a· b= ,两式相加得a2+b2= 2 a· b 1 2≥2|a|· |b|,即|a|· |b|≤1,所以cos θ= ≥ .又0≤θ≤π,所 |a|· |b| 2 π 以0≤θ≤ . 3
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第2讲

平面向量与复数

? 考点三 复数的概念及运算 复数的概念——1.复数概念的应用;2.根据复数概念求参数值 复数的运算——1.复数代数形式的四则运算;2.复数相等的充要 条件 复数的几何——1.复数的模;2.复数对应的点所在的象限 意义 题型:选择、填空 难度:中等 分值:5分 热点:复数代数形式的四则运算

考 点 考 向 探 究

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第2讲

平面向量与复数

例3

(1)[2014· 安徽卷] 设 i 是虚数单位,- z 表示复 )

z 数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 i +i·- z =( A.-2 B.-2i C.2 D.2i
考 点 考 向 探 究

2 (2)[2015· 四川卷 ] 设 i 是虚数单位,则复数 i - = i
3

( ) A.-i

B.-3i

C.i

D.3i

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第2讲

平面向量与复数

[答案] (1)C

(2)C

z [解析] (1)因为 z=1+i,所以 +i·- z =(-i+1)+i+1=2. i 2 3 (2)i - =-i+2i=i. i

考 点 考 向 探 究

[小结]复数的核心考点是代数形式的四则运算,解题 时只要按照法则进行即可,在除法运算中,把分子分母同 时乘分母的共轭复数后转化为乘法运算.复数的一般形式 是z=a+bi(a,b∈R),在含有复数的方程中,只要设出复 数的一般形式,再根据复数相等的充要条件,就把问题转 化为关于实数的方程组问题,即把复数问题实数化.

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第2讲

平面向量与复数

变式题 (1)若复数(m-1)+(m-2)i(m∈R)是纯虚 数,则实数m等于( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2
考 点 考 向 探 究

1+ai (2)已知a∈R,若 为实数,则a=( 2-i A.2 1 C.- 2 B.-2 1 D. 2

)

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第2讲

平面向量与复数

[答案] (1)B

(2)C

[解析]
考 点 考 向 探 究

? ?m-1=0, (1)由题意知,? 所以 ? m - 2 ≠ 0 , ?

m=1.

1+ai (1+ai)(2+i) 2-a+(2a+1)i (2) = = ∈ 5 2-i (2-i)(2+i) 1 R,所以 2a+1=0,得 a=- . 2

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第2讲

平面向量与复数

—— 教师备用例题 ——
例 1 【配例 1 使用】如图所示,四边形 ABCD 是正方 形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发, → 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,且满足AP → +μAE → ,则下列判断正确的是( =λAB .. ) A.满足 λ+μ=2 的点 P 必为 BC 的中点 B.满足 λ+μ=1 的点 P 有且只有一个 C.λ+μ 的最大值为 3 D.λ+μ 的最小值不存在

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第2讲

平面向量与复数

[答案] C

[解析] 由题意可知,λ≥0.μ≥0.当λ=μ=0时,λ+ μ的最小值为0,此时P点与A点重合,故D错误.当λ= 1,μ=1时,P点也可以在D点处,故A错误.当λ=1, μ=0,λ+μ=1时,P点在B点处,当P点在线段AD的中 1 点时,λ=μ=2,也有λ+μ=1,故B错误.

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第2讲

平面向量与复数
例2 【配例2使用】若等边三角形ABC的边长为2 3 ,平面

→ =1CB → +2CA → ,则MA → ·MB → =( 内一点M满足CM 6 3 A.-1 B.-2 C.2 D.3

)

[答案] B

→ · MB → [解析] 如图所示, MA → - CM → )· → - CM → )= =( CA ( CB
?1 1→? → ? CA- CB? 6 ? ?3
? ? ? ? ? ?

·

?5 2→? → ? CB- CA? 3 ? ?6

2 =- 9

5 →2 7 → → 8 → CA - 36 | CB | + 18 CA · CB =- 3 5 7 -3+3=-2.
2

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第2讲

平面向量与复数

例3 【配例3使用】下面是关于复数z= 题:

2 的四个命 -1+i

①|z|=2;②z2=2i;③z的共轭复数为1+i;④z的虚部为 -1. 其中所有真命题的序号是________.

[答案] ②④
2(-1-i) 2 2 [解析] z= = =- 1 - i. 故 | z | = 2 ; z =2i; 2 -1+i - z =-1+i;z 的虚部为-1.故命题②④正确.

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