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2.2求导法则及运算


医用高等数学

02-02-01

第二节

求导法则

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02-02-02

一、函数四则运算的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、隐函数的求导法 四、对数求导法 五、初等函数的导数 六、高阶导数

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法则1(函数代数和的导数) 若函数 u(x) 及 v(x) 在点 x 具有 导数 u?(x) 及 v?(x),则 u(x)?v(x) 在 x 点处可导,且

[u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x)
推广 可推广至任意有限个可导函 数代数和的情形。

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02-02-04

法则2(函数乘积的导数) 若函数 u(x) 及 v(x) 在点 x 具有 导数 u?(x) 及 v?(x),则 u(x)?v(x) 在 x 点处可导,且

[u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v( x) ? u ( x) ? v?( x)
推广 可推广至任意有限个可导函 数积的情形。 特别地 [Cv( x)]? ? Cv?( x)

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法则3(函数商的导数) 若函数 u(x) 及 v(x) 在点 x 具有 u ( x) 导数 u?(x) 及 v?(x),且v(x)?0 则 v( x) 在 x 点处可导,且
? u?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) ? u ( x) ? ? v( x) ? ? 2 v ( x) ? ? ? ? 1 ? v?( x) 特别地 ? v( x) ? ? ? v 2 ( x) ? ?

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例 求下列函数的导数。
y ? lg x ? 2 ? cos x ? e
x 2

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例 求下列函数的导数。
y ? x sin x
n

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例 求下列函数的导数及在 的导数值。
y ? e (sin x ? cos x)
x

π x? 2



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02-02-09

例 求 tanx 与 cotx 的导数。

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例 求 secx 与 cscx 的导数。

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02-02-11

例 求下列函数的导数。
1 ? ln x y? 1 ? ln x

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02-02-12

课堂讨论题 求下列函数的导数。 x ?1 ? ln 2 x (1) y ? sin x ? x (2) y ? x ln x ? x

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02-02-13

法则4(复合函数求导法则) 设函数 u=?(x) 在点 x 处可导, 而函数 y=f(u) 在相应的点 u (u=?(x)) 处可导,则复合函数 y=f[?(x)] 在点 x 处也可导,且其导数为
dy dy du ? ? dx du dx



? x y? ? yu ? u? x

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02-02-14

推广 设函数 y=f(u),u=?(v), v=?(x),则复合函数 y=f{?[?(x)]} 的 导数为
dy dy du dv ? ? ? dx du dv dx

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02-02-15

例 求 y ? sin 8 x 的导数。

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02-02-16

例 求 y ? 1 ? 3x 的导数。
3 2

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02-02-17

例 求 y ? sin ln x 的导数。
2

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02-02-18

例 证明幂函数的导数公式。 ? ? ?1 (? 为任意实数) ( x )? ? ? x

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02-02-19

课堂讨论题 求下列函数的导数。

(1) y ? x ? x (2) y ? x x x
(3) y ? x sin x
2

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02-02-20

相关变化率 设 x(t),y(t) 都是 t 的可导函数 ,且 x(t) 与 y(t) 之间存在某种关系, 那么变化率 x?(t) 与 y?(t) 之间也应有 一定的关系,这种相互依赖的变化 率称为相关变化率。

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02-02-21

例 如果向高为8m、上顶直径也为 8m的圆锥形容器中注水,其注水速 3/min,求当水深为5m时,水 率为4m 面上升的速率。

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02-02-22

显函数 由方程 y=f(x) 表示的函数称为 显函数。

隐函数 如果函数 y 与自变量 x 之间的函 数关系由方程 F(x, y)=0 来确定,就 称 y 是 x 的隐函数。

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隐函数的求导方法 把 y 看作是 x 的函数,y 的函数 看作是 x 的复合函数,然后在方程 F(x,y)=0 的两边对 x 求导,最后从方 程中解出 y?。

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例 求由方程 y3+3y-x-2x5=0 所确定 的隐函数 y 的导数。

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例 求由方程 ey = x2y?ex 所确定的隐 函数 y 的导数及在 x=0 处的导数值。

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02-02-26

例 求由方程 xy2-ex?cosy =0 所确定 的隐函数 y 的导数。

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例 求 arcsinx,arccosx,arctanx, arccotx 的导数。

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课堂讨论题 求双曲线 x2-y2=7 在点 (4,3) 处的切线方程。

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对数求导法 若对某些函数直接求导比较困 难,可先取对数,使之变成隐函数, 然后应用隐函数求导法求出导数, 这种方法叫对数求导法。

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对数求导法主要用于 (1)形如 y=f(x)g(x) 的幂指函数; (2)多个函数的乘、除、幂或开方 的运算。

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例 求下列幂指函数的导数。
y?x
sin x

( x ? 0)

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例 求下列函数的导数。 y ? ln x ( x ? 0)

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例 求下列函数的导数。 (2 x ? 1)(3x ? 2) y?3 (4 x ? 3)(5 x ? 4)

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课堂讨论题 求下列函数的导数。

(1) y ? (tan
(2)幂函数 (3)指数函数

x)

sin x

?(? y=x

为任意实数)

x(a>0,a?1) y=a

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基本初等函数的导数公式 (C )? ? 0 (sin x)? ? cos x ? ? ?1 (cos x)? ? ? sin x ( x )? ? ? x 2 x x (tan x)? ? sec x (a )? ? a ln a x x 2 (e )? ? e (cot x)? ? ? csc x 1 (sec x)? ? sec x tan x (log a x)? ? x ln a (csc x)? ? ? csc x cot x 1 (ln x)? ? x

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(arcsin x)? ? (arccos x)? ? ?

1 1? x 1
2

1? x 1 (arctan x)? ? 2 1? x 1 (arc cot x)? ? ? 2 1? x

2

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导数的四则运算法则 设函数 u(x) 及 v(x) 都可导,则

[u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x)
[u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v( x) ? u ( x) ? v?( x)
? u?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) ? u ( x) ? ? v( x) ? ? 2 v ( x) ? ? (v( x) ? 0)

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复合函数求导法则 设函数 u=?(x) 在点 x 处可导, 而函数 y=f(u) 在相应的点 u (u=?(x)) 处可导,则复合函数 y=f[?(x)] 在点 x 处也可导,且其导数为
dy dy du ? ? dx du dx



? x y? ? yu ? u? x

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二阶导数(second derivative) 函数 y=f(x) 的导数 f ?(x)一般仍 是 x 的函数,如果 f ?(x)的导数存在, 可将 f ?(x) 再对 x 求导数,所得结果 称为函数 y=f(x) 的二阶导数,记为 2 d y y?? , f ??( x) , 2 dx 即 f ??( x) ? ( f ?( x))?

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一阶导数 把 y=f(x) 对 x 的导数 f ?( x) 称为 y=f(x) 的一阶导数。

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三阶导数 二阶导数 f ??(x) 的导数叫做函数 f(x) 的三阶导数,记作

d y y??? , f ???( x) , 3 dx

3

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n 阶导数 一般地,如果函数 y=f(x) 的 n?1 ( n?1) ( n?1) ( x) 存在,则称 f ( x) 阶导数 f 对 x 的导数为函数 y=f(x) 的 n 阶导 数,记作 n d y (n) (n) y , f ( x) , n dx

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高阶导数(higher order derivative) 二阶及二阶以上的导数,统称 为高阶导数。

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例 求下列函数的二阶导数。
y ? ? ln( x ? x ? 1)
2

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求下列 n 次多项式的各阶导数。

y ? a0 x ? a1 x
n

n ?1

? ? ? an ?1 x ? an

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例 求下列函数的 n 阶导数。

y ? sin x

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小结:函数四则运算的求导法则 复合函数的求导法则 相关变化率 隐函数的求导法 对数求导法 初等函数的导数 高阶导数

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作业:P59 习题二 12(2)(5) 15(3)(6)(14)(20) 16(3) 17(2)(5) 18(3) 19(1)


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