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第72讲 直线与圆的位置关系 1.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,已知 ∠BOD=100° ,则∠BCD 的大小是( B ) A.100° C.50° B.130° D.150° 1 解析:由题设∠BAD= ∠BOD=50° , 2 则∠BCD=180° -∠BAD=130° ,故选 B. 2.(2013· 天津模拟)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的

内接 四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB=1,PD=3,则 BC 的值为 AD . 解析:由已知得∠CBP=∠ADP,∠BCP=∠DAP, BC PB 1 所以△PBC∽△PDA,所以 = = . AD PD 3 3.如图,已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙ O 的割线,与⊙O 交于 B,C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内 部, 点 M 是 BC 的中点, 若∠OAM=25° , 则∠APM= . 解析:因为 M 是弦 BC 的中点,连接 OM, 所以 OM⊥BC, 因为 AP 是⊙O 的切线,连接 OP. 所以 OP⊥AP, 所以∠APO+∠AMO=180° , 所以 A,M,O,P 四点共圆, 所以∠APM=∠AOM=90° -∠OAM=65° . 4.(2012· 广东省汕头市高三教学质量测评)已知 PA 是 ⊙O 的切线,切点为 A,直线 PO 交⊙O 于 B,C 两点,AC =2,∠PAB=120° ,则⊙O 的面积为 . 解析:由弦切角定理,∠PAC=∠ABC. 由∠PAB=120° ,∠CAB=90° 得∠PAC=∠ABC=30° . 在 Rt△ABC 中,2R=BC=2AC=2×2=4,R=2, S=πR2=4π. 5.(2012· 广东省肇庆第二次模拟)如图,两圆相交于 A, B 两点,P 为两圆公共弦 AB 上任一点,从 P 引两圆的切线 PC,PD,若 PC=2 cm,则 PD= cm. 解析:由切割线定理可得, PC2=PA· PB,PD2=PA· PB, 所以 PC2=PD2, 即 PC=PD=2(cm). 6.(2012· 广东卷)如图所示,圆 O 的半径为 1,A,B, C 是圆周上的三点,满足∠ABC=30° ,过点 A 作圆 O 的切 线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA= . 解析:连接 OA,得∠AOP=60° , 所以 OP=2,PC=1, 所以 PA2=PC×(PC+2)=1×3, 所以 PA= 3. 一 圆内接四边形的判定与应用 【例 1】(2012· 河南省郑州市第一次质量预测)如图, 锐 角△ABC 的内心为 I, 过点 A 作直线 BI 的垂线, 垂足为 H, 点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点. (1)求证:四点 A,I,H,E 共圆; (2)若∠C=50° , 求∠IEH 的度数. 解析: (1)证明: 由圆 I 与边 AC 相切于点 E, 得 IE⊥AE, 结合 IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90° , 所以,四点 A,I,H,E 共圆. (2)由(1)知四点 A,I,H,E 共圆,得,∠IEH=∠HAI, 在△HIA 中,∠HIA=∠ABI+∠BAI 1 1 = ∠ABC+ ∠A 2 2 1 = (∠ABC+∠A) 2 1 = (180° -∠C) 2 1 =90° - ∠C, 2 1 结合 IH⊥AH,得∠HAI=90° -∠HIA= ∠C, 2 1 所以∠IEH= ∠C,由∠C=50° ,得∠IEH=25° .

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