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学生指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)


一、指数的性质 (一)整数指数幂
1.整数指数幂概念: a n ? a ?? a? ?? ?a ? ? ?
n个a

(n ? N ? )

a0 ? 1? a ? 0?

a?n

1 ? n ? a ? 0, n ? N ? ? a
n n (3) ? ab ? ?

a ? b ? n ? Z ? n

2.整数指数幂的运算性质: (1)am ? an ? am?n ? m, n ? Z ?

(2) a

? ?

m n

? a mn ? m, n ? Z ?

其中 a ? a ? a ? a
m n m

?n

? a m? n ,

an ?a? ?1 n n ?n . ? a ? b ? a ? b ? ? ? ? ? bn ?b?

n

3. a 的 n 次方根的概念
n

一般地,如果一个数的 n 次方等于 a n ? 1, n ? N 即: 若 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根, 例如:27 的 3 次方根 3 27 ? 3 , 32 的 5 次方根 5 32 ? 2 ,

?

?,那么这个数叫做 a 的 n 次方根, ?n ? 1, n ? N ?
? ?

? 27 的 3 次方根 3 ? 27 ? ?3 , ? 32 的 5 次方根 5 ? 32 ? ?2 .

说明: ①若 n 是奇数, 则 a 的 n 次方根记作 n a ; 若 a ? 0 则 n a ? 0 , 若a ? o则n a ? 0 ; ②若 n 是偶数,且 a ? 0 则 a 的正的 n 次方根记作 n a , a 的负的 n 次方根,记作: (例如:8 的平方根 ? 8 ? ?2 2 16 的 4 次方根 ? 4 16 ? ?2 ) ?n a; ③若 n 是偶数,且 a ? 0 则 n a 没意义,即负数没有偶次方根; ④? 0 n ? 0 n ? 1, n ? N ? ∴ n 0 ? 0;

?

?

⑤式子 n a 叫根式, n 叫根指数, a 叫被开方数。 ∴

? ?
n

a

n

?a.

. 4. a 的 n 次方根的性质
一般地,若 n 是奇数,则 n a n ? a ; 若 n 是偶数,则 n a ? a ? ?
n

?a ?? a

a?0 . a?0

5.例题分析: 例 1.求下列各式的值:
3 (1) 3 ? 8

?

?

(2)

?? 10 ?2

( 3 ) 4 ?3 ? ? ?

4

(4)

?a ? b ?2 ?a ? b ? 解:略。
? 例 2.已知 a ? b ? 0, n ? 1, n ? N , 化简: n ?a ? b ? ? n ?a ? b ? .
n n

解:当 n 是奇数时,原式 ? (a ? b) ? (a ? b) ? 2a 当 n 是偶数时,原式 ?| a ? b | ? | a ? b |? (b ? a) ? (?a ? b) ? ?2a 所以, n ?a ? b ? ? n ?a ? b ? ? ?
n n

? 2a n为奇数 . ??2a n为偶数

例 3.计算: 7 ?

40 ? 7 ? 40
解: 7 ?

40 ? 7 ? 40 ? ( 5 ? 2 ) 2 ? ( 5 ? 2 ) 2 ? 2 5

例 4.求值:

5 9 ? ? 5. 2 4

解:

5 9 ? ? 5 ? 2 4

5 9?4 5 ? ? 2 4

2 5 ( 5 ? 2) ? 2 4

?

2 5 5 ?2 6?2 5 ( 5 ?1 ) 5 ?1 ? ? ? ? 2 2 4 4 2

(二)分数指数幂
1.分数指数幂:
5

a10 ? a2 ? a 5 ? a ? 0?

10

3

a12 ? a4 ? a 3 ? a ? 0?

12

即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2) a
3

? ?

k n

? a kn 对分数指数幂也适用,
4
4

2 2 5 ?3 ?4 ? 2 ? ? 5 ? 5 2 3 2 3 3 4 4 ? a ,? a ? ? a ? a , ∴ a ? a 3 例如:若 a ? 0 ,则 ? a ? ? a ? ? ? ?

a ?a .
5

4 5

即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定: (1)正数的正分数指数幂的意义是 a n ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; (2)正数的负分数指数幂的意义是 a
m ?n

m

?

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N
s

?

, n ? 1? .

2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q? r , ? 0 r ,? Q ? ? 3?? ab ? ? a r b r ? a ? 0 b

? 2? ? ar ?

? ar s ? ?Q ? a? 0 , r , s

说明: (1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。 3.例题分析: 例 1. 用分数指数幂的形式表示下列各式 ? a ? o ? :

a2 ? a ,
2 1 2 2 3

a3 ? 3 a2 ,
1 2? 2

a a.
5 2

2 解: a ? a = a ? a ? a

?a ;
1

a3 ? 3 a2 = a3 ? a ? a ;
1 2 3 ? ? ? 3 ?2 a a = ? a ? a2 ? ? ? a2 ? ? a4 . ? ? ? ? 1

11 3

例 2.计算下列各式的值(式中字母都是正数) .

1 5 1 1 1 ? 2 ?? ? ? ? 3 2 3 2 (1) ? 2a b ?? ?6a b ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ; ? ?? ? ? ? 2 1 1 5 1 1 ? ?? ? ? ? 解(1) ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ? ?? ? ? ?

3 ? ? ? 1 8 4 (2) ? m n ? ; ? ?

8

3 =? ?2 ? ? ?6? ? ? ?3?? ?a

2 1 1 ? ? 2 6

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

= 4ab ? 4a ;
0

3 3 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?8 m2 2 ?3 8 4 4 (2) ? m n ? = ? m ? ? n ? = m n ? 3 . n ? ? ? ? ? ? 例 3.计算下列各式: a2 (1) 3 5 ? 125 ? 4 5 (2) ? a ? 0? . a 3 a2 3 1 3 1 ? 2 ? 1 2 解: (1) 3 5 ? 125 ? 4 5 = ? 5 3 ? 5 2 ? ? 5 4 = 5 3 ? 5 4 ? 5 2 ? 5 4 ? ?

8

8

8

?

?

?

?

= 512 ? 5 4 = 12 55 ? 5 4 5 ; (2)

5

5

a2 a a
3 2

=

a2 a a
1 2 2 3

? a ? 6 a5 .

5 6

(三)综合应用
例 1.化简: 5 解: 5
x ?1 x ?1

? 5x ? 5x ?1 .
31 x ?5 . 5
1 1 1 1

? 5x ? 5x ?1 = 5x?1 (1 ? 5 ? 25) = 31? 5x?1 =
1 2 1 2 1 4 1 4

例 2.化简: ( x ? y ) ? ( x ? y ) . 解: ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 4 ? y 4 ) ? ( x 4 ? y 4 )( x 4 ? y 4 ) ? ( x 4 ? y 4 ) ? x 4 ? y 4 . 评述: 此题注重了分子、 分母指数间的联系, 即 (x 4 ) ? x 2 , 由此联想到平方差公式的特点,
2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

进而使问题得到解决。 例 3.已知 x ? x
1
?1

? 3 ,求下列各式的值: (1) x 2 ? x 2 ; (2) x 2 ? x 2 .
? 1 1 1 ? 1 ? 1

1

?

1

3

?

3

解: (1)

( x 2 ? x 2 )2 ? ( x 2 )2 ? 2 x 2 x 2 ? ( x 2 )2 ? x1 ? x?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ,
1 ? 1 2
?1

∴ x2 ? x

?? 5,
? 3 得 x ? 0 ,∴ x 2 ? x
1 ? 1 2

又由 x ? x
1 2

? 0,

所以 x ? x

1 ? 2

? 5.

(2) (法一) x 2 ? x

3

?

3 2

=(x 2 )3 ? ( x 2 )3 ? ( x 2 ? x 2 )[( x 2 )2 ? x 2 x

1

?

1

1

?

1

1

1

?

1 2

? ( x 2 )2 ]

?

1

? ( x ? x )[( x ? x ?1 ) ? 1] ? 5(3 ?1) ? 2 5 ,
(法二) [( x 2 ) ? ( x 2 )]2 ? ( x 2 )2 ? ( x 2 )2 ? 2 x 2 x 而x ?x
3

1 2

?

1 2

3

?

3

3

?

3

?

3

?

3 2

? x3 ? x?3 ? 2

? ( x ? x?1 )( x2 ? x?2 ?1) ? ( x ? x?1 )[( x ? x?1 )2 ? 3] ? 3 ? (32 ? 3) ? 18
3 2 ? 3 2 2

?3

∴ ( x ? x ) ? 20 , 又由 x ? x
3 2
?1

? 3 ? 0 得 x ? 0 ,∴ x 2 ? x
? 3 2

3

?

3 2

? 0,

所以 x ? x

? 20 ? 2 5 .

二、指数函数
1.指数函数定义: 一般地,函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R . 2.指数函数 y ? a x 在底数 a ? 1 及 0 ? a ? 1 这两种情况下的图象和性质:

a ?1

0 ? a ?1

图 象

性 质

(1)定义域: R (2)值域: (0, ??) (3)过点 (0,1) ,即 x ? 0 时 y ? 1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

例 1.求下列函数的定义域、值域:
1

(1) y ? 8 2 x ?1

(2)y ? 1 ? ( )

1 2

x

(3)y ? 3

?x

(4)y ?

a x ?1 (a ? 0, a ? 1) . ax ?1

说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

ax ?1 是奇函数。 a x ?1 2 ( x ? R) , 例 3.设 a 是实数, f ( x) ? a ? x 2 ?1
例 2.当 a ? 1 时,证明函数 y ? (1)试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数;

(2)试确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数。 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生 注意不同题型的解答方法。

三、对数的性质
1.对数定义:一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1)的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N ,那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 即a ? N ,
b

log a N ? b

a
指数式 a b ? N 对数式 loga N ? b 底数 对数的底数 都有 a ? 1
0

N
幂 真数

b
指数 对数

说明:1.? 在指数式中幂 N > 0,∴在对数式中,真数 N > 0. (负数与零没有对数) 2.? 对任意 a ? 0 且 a ? 1 ,
b

∴ loga 1 ? 0 ,同样: loga a ? 1 .
loga N

3.如果把 a ? N 中的 b 写成 log a N , 则有 a 2.对数式与指数式的互换 例如:

. ? N (对数恒等式)

42 ? 16
42 ? 2
1

log 6 4 1?
log ? 4 2

2

1 02 ? 1 0 0

log10 100 ? 2

1 2 例 1.将下列指数式写成对数式:
(1) 5 ? 25 ;
4

1 0?2 ? 0 . 0 1 log10 0.01 ? ?2
(3) 3 ? 27 ;
a

(2) 2 ?6 ? 1 ;
64

1? (4) ? ? ? ? 5.37 . ? 3?

m

log10 N 写成 lg N ②自然对数:以 e 作底为无理数, e = 2.71828…… , loge N 例 2. (1)计算: log9 27 , log 3 4 625 .
5

3.介绍两种特殊的对数: ①常用对数:以 10 作底

写成

ln e .

(2)求 x 的值:① log 3 x ? ?

3 ; 4

② log ?
?

2 ? ? 2 x ?1?
?

?3x

2

? 2 x ? 1? ? 1 .

3 (3)求底数:① log x 3 ? ? , 5

7 ② log x 2 ? . 8

4.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, 那么 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a

M ? log a M - log a N ; N
n

(3) loga M ? n loga M (n ? R) . 例 3.计算: (1)lg14 ? 21g

7 ? lg 7 ? lg18 ; 3

( 2)

lg 243 ; lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 . lg1.2

5.换底公式: log a N ?

log m N ( a > 0 , a ? 1 ; m ? 0, m ? 1 ) log m a
n

说明:两个较为常用的推论: (1) loga b ? logb a ? 1 ; (2) log a m b ? 例 4.计算: (1) 5
1?log0.2 3

n log a b ( a 、 b ? 0 且均不为 1) . m



(2) log4 3 ? log9 2 ? log2 4 32 .

例 5.已知 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,求 log36 45 (用 a, b 表示) .
b

1 1 1 . ? ? z x 2y 例 7.若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 .
例 6.设 3 ? 4 ? 6 ? t ? 1 ,求证:
x y z

四、对数函数
1.对数函数的定义:函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数。 2.对数函数的性质: ( 1 )定义域、值域:对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??) ,值域为

(??,??) .
(2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数 函数图象作关于 y ? x 的对称图形,即可获得。 同样:也分 a ? 1 与 0 ? a ? 1 两种情况归纳,以 y ? log2 x (图 1)与 y ? log 1 x (图 2)为 例。
1 1

y ? 2x y?x

1 y ? ( )x 2
1 1

2

y?x

y ? log2 x

y ? log 1 x
2

(图 1) (3)对数函数性质列表:

(图 2)

a ?1

0 ? a ?1

x ?1
图 象

y ? loga x

x ?1

(1, 0)
(1)定义域: (0, ??) 性 质 (2)值域: R (3)过点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 (4)在(0,+∞)上是增函数

(1, 0)

y ? loga x

(4)在 (0, ??) 上是减函数

例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 2 ; (2) y ? loga (4 ? x) ; (3) y ? loga (9 ? x 2 ) . 分析:此题主要利用对数函数 y ? loga x 的定义域 (0, ??) 求解。 例 2.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log2 3.4 , log2 8.5 ; (2) log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; (3) loga 5.1 , loga 5.9 . 例 3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1) log6 7 , log7 6 ; (2) log3 ? , log2 0.8 ; (3) 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 ; 例 5.求下列函数的值域: (1)y ? log2 ( x ? 3) ; (2) y ? log 2 (3 ? x2 ) ; (3)y ? loga ( x2 ? 4 x ? 7)( a ? 0 且 a ? 1 ) . 例 6.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x) 的奇偶性。 例 7.求函数 y ? 2log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间。
3
0.9

(4) log5 3 , log6 3 , log7 3 .

例 4.已知 logm 4 ? logn 4 ,比较 m , n 的大小。

例 8.若函数 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。


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