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1.2.1函数的概念(1)


一、关于区间的概念 请阅读课本P17关于区间的内容

设a,b是两个实数,而且a<b, 我们规定:
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间, 表示为 [a,b] (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开 区间,表示为 (a,b) (3)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集 合叫做半开半闭

区间,表示为 [a,b)或(a,b]

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无 穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别 表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).

注意:①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值 域经常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端 点,用空心点表示不包括在区间内的端点。 试用区间表示下列实数集

(1){x|5 ≤ x<6}
(2) {x|x ≥9}

[5,6) [9,?? )
(??,?1] ? [?5,2) ? [?5,?1)
(??,?9) ? (9,20)

(3) {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}

(4) {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}

§1.2.1 函数的概念(1)
一、【回忆过去】

思考? 1、初中学习的函数概念是什么?
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于 x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,则称x是自变 量,y是x的函数;其中自变量x的取值的集合叫做函数 的定义域,和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

2、回顾我们在初中学过哪些函数?

3、请同学们考虑以下两个问题:
(1) y ? 1是函数吗? x2 ( 2 )y ? x与y ? 是同一个函数吗? x

显然,仅用初中函数的概念很难回答这些 问题。因此,需要从新的高度认识函数。

环节1:实例
(1)一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮 弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随 时间t(单位:s)变化的规律是
h=130t-5t2
(*)

炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距 地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845} 从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间 t,按照对应关系(*),在数集B中都有唯一的高度h和它 对应。

(2) 近几十年来,大气中的臭氧迅速减少,因而出现 了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧 空洞的面积从1979~2001年的变化情况:

根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化范围 是数集B ={S|0≤S≤26}.并且,对于数集A中的每一 个时刻t,按照图中的曲线,在数集B中都有唯一确定 的臭氧层空洞面积S和它对应.

(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活 质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。下表中 恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划 以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

请仿照(1)、(2)描述恩格尔系数 和时间(年)的关系。

问题: 三个实例有什么共同点和不同点?
不同点 实例(1)是用解析法刻画变量之间的对应关系, 实例(2)是用图象法刻画变量之间的对应关系, 实例(3)是用列表法刻画变量之间的对应关系;

共同点
(1)都有两个非空数集

(2)两个数集之间都有一种确定的对应关系

环节2:函数的含义

三个实例中变量之间的关系可以描述为:

对于数集A中的每一个x,按照某 种对应关系f,在数集B中都有唯一确 定的y和它对应,记作 f: A→B.

函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照某 种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就 称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数,

记作

y=f(x) , x∈A

x叫做 自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ; 与x的值相对应的y的值叫做 函数值 ,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 。 注意:一、函数概念本质: 1、涉及到两个数集,即定义域和值域都是集合。 2、都有一确定的对应关系。

二、值域是集合B的子集.

实兵演练:

1 判断下列对应能否表示y是x的函数
(1) y=|x| (3) y=x 2 (2)|y|=x (4)y2 =x

(5) y2+x2=1

(6)y2-x2=1

(1)能 (4)不能

(2)不能

(3)能 (6)不能

(5)不能

2 判断下列图象能表示函数图象的是( D )
y y x

0

0

x

(A) y

(B)
y

0

x

0 (D)

x

(C)

设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图 中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
2

y

A
2

2

y

B
y
2

0

y 2
0

x

0
2

x

C
2

D
2

x

0

x

判断给定的两个变量之间是否具有函数关 系?

①定义域和对应法则是否给出?

②根据所给对应法则,自变量x在 其定义域中的每一个值,是否都有 唯一确定的一个函数值y和它对应。

问题: (1)试说明函数定义中有几个要素?
定义域、值域、对应关系

①定义域、值域、对应关系是决定函数的 三要素,是一个整体; ②值域由定义域、对应法则唯一确定; ③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而 不是表示“y等于f与x的乘积。

判断正误 1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与 之对应 √ 2、函数的定义域和值域一定是无限集合

×

3、定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定 √ 4、若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一 个元素 √

5、对于不同的x , y的值也不同

×

6、f (a)表示当x = a时,函数f (x)的值,是一个常量√

三、【例题演示】 【例1】已知函数 f ( x ) ? (1)求函数的定义域
解:要使函数有意义,
只要 x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ? x ? ?3且x ? ?2 x?2?0 x ? ?2
1 x?3? x?2

?

?

所以f ( x )的定义域为 { x | x ? ?3,且x ? ?2}

注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究,所以求 定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域 常常由其实际背景决定,若只给出解析式时,定 义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.

【例1】已知函数 f ( x ) ?

(2)求

2 f ( ?3)、f ( ) 的值 3

1 x?3? x?2

(3)当 a ? 0 时,求 f (a )、f (a ? 1) 的值
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 a 时,对 应的函数值用符号 f (a)表示。

三、巩固练习:
求下列函数的定义域
(1)
f (x) ? 1 x? | x |

{x|x<0}
{x|x≠0,且x≠-1}

(2)

1 1? x (3) 4 ? x2 f (x) ? x ?1

f (x) ?

1

[-2,1) ∪(1,2]

练习 1、函数f ( x) ?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域为 ( C)

?x | x ? 0? A、

B、 {x | x ? ?1} D、 {x | x ? 0}

C、 {x | x ? 0, 且x ? ?1}

巩固练习:
1、对于函数y=f(x),以下说法正确的有( B )

√ ①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ √ f(a)
A、1个 C、3个 D、4个 2、给出四个命题: √ ①函数就是定义域到值域的对 应关系 ②若函数的定义域只含有一个元素,则值 √ 域也只有一个元素 ③因 √ f(x)=5(x∈R),这个函数值 不随x的变化范围而变化,所以f(0)=5也成立 √ ④定 义域和对应关系确定后,函数值也就确定了 正确有(D ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 B、2个

表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量 ④ f(x)一定 可以用一个具体的式子表示出来

问题:如何判断两个函数是否相同? 【例2】 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数?

(1) y ? ( x )2
(3) y ? x 2

(√ 2) y ? 3 x 3 2 x ( 4) y ? x

四、函数的值域

函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
例1、求函数 y ?

x ? 1 的值域

解: ? x ?0

? x ?1 ? 1
2

? y ? x ? 1的值域为 [1,??).
例2、求函数 y ? x ? 4 x ? 6, x ? R 的值域

解:配方,得 y ? ( x ? 2) ? 2 ?x?R ?y ? 2
2

?函数的值域为 { y | y ? 2}

练习、函数 y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 的值域为( C )
A、(-∞,2] B、(-∞ ,4]

C、[2,4]

D、[2, +∞)

五、关于复合函数

例如、y ? f (u ) ? u 2 , u ? R u ? g ( x) ? 2 x ? 1, x ? R 则y ? f [ g ( x)] ? (2 x ? 1) 2 , x ? R.

1、已知原函数定义域求复合函数定义域
若函数f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。 例1、若函数f(x)的定义域为[1,4],则函数f(x+2) [-1,2] 的定义域为______.

2、已知复合函数定义域求原函数定义域 已知f[g(x)]的定义域为D,则f(x)的定义域为 g(x)在D上的值域。 例如、若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3],则 y=f(2x-1)的定义域是( D )。

A、[0,5/2]
C、[-5,5]

B、[-1,4]
D、[-3,7]

1 练习2、已知f ( x) ? , 则函数f ? f ( x)?的定义域为( C ) x ?1 A、 {x | x ? 1} B、 {x | x ? -2} C、 {x | x ? 1, 且x ? -2} D、 {x | x ? 1, 或x ? -2}

3、已知(x,y)在f下的对应元素是(x+y,x-y), 求(1) A中元素(-3,2)在B中对应的元素;(-1,-5) 3 1 (2) B中元素(2,1)在f中对应的元素. ( , ) 2 2

D 例3、函数f ( x) ? 5 ? 3x(2 ? x ? 4)的值域是()

( A) R
(C )(?7,?1)

( B)(?1,?7]

( D)[?7,?1)

例4、求函数 y ? x ? 2x ?1 的值域

1? u2 解:设u ? 2 x ? 1, 则u ? 0, 且x ? 2 2 1? u 1 2 于是 y ? ? u , 即y ? ?u ? 1? 2 2 1 故函数y ? x ? 2 x ? 1的值域为 [ ,??). 2
练习、求函数 y ? 2x ? x ?1 的值域

5 例4、函数 y ? 2 的值域为( D ) 2x ? 4x ? 3 A、 (-∞,5] B、 (0,+ ∞)

C、[5,+ ∞)

D、(0,5]

3.求函数的值域 f[f(n+5)],(n<10)
n-3,(n
?

例、已知f(n)= 的值为____

,则

f(5)

10)

环节3:回顾已学函数

初中各类函数的对应法则、定义域、值 域分别是什么?

函数

对应法则

定义 域

值域

正比例 函数
反比例 函数

y ? kx( k ? 0)

R

R
{ y | y ? 0}

k y ? ( k ? 0) {x | x ? 0} x
y ? kx ? b ( k ? 0)

一次函数

R

R
4ac ? b 2 a ? 0时{ y | y ? } 4a 4ac ? b 2 a ? 0时{ y | y ? } 4a

y ? ax2 ? bx ? c 二次函数 (a ? 0)

R

四、【要点小结】
1.函数的概念:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟 一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集 合 B的函数。 定义域 定义域 决定 值域 2.函数的三要素 ? 值域 对应法则 对应法则f 3.会求简单函数的定义域和函数值 4、正确理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,体 会对应关系在刻画函数概念中的作用。 5.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间。


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