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棱锥的概念与性质






的 概念与性质

方头方脑

尖头窄脸

底面,侧面,侧棱 有哪些变化?

底面: 上底:多边形 下底:多边形 平行四边形 侧面: 侧棱: 互相平行

棱锥 缩为一点 多边形 三角形 交于一点

如果一个多

面体的一个面是多边 有一个面是多边形其余各面是 形,其余各面都是有一个公共顶点的 埃及卡夫拉王金字塔 三角形,这个多面体是棱锥吗? 三角形,那么这个多面体就叫棱锥.

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棱锥的概念
S 棱锥的顶点 棱锥的侧棱 棱锥的高 E 有一个面是多边形, 有一个面是多边形, 其余各面是有一个公 共点的三角形, 共点的三角形,这个 棱锥. 多面体叫做棱锥. A O B C D

棱锥的底 面 记法:棱锥S 或棱锥S 记法:棱锥 – ABCDE或棱锥 - AC 或棱锥

S

顶点 侧棱


E

侧面
D C

底面

A B

O

侧面:有公共顶点的各三角形面 底面(底):余下的那个多边形 侧棱:两个相邻侧面的公共边 顶点:各侧面的公共点 高:顶点到底面的垂线段(距离)

S

A B C D

棱锥的分类: 按底面多边形的边数,可以分为三棱锥, 四棱锥,五棱锥,…… 棱锥的表示方法: 图中的四棱锥可用S-ABCD表示或S-AC

O

正棱锥的特点: 1.底面为正多边形 正棱柱——正棱锥? 2.顶点在底面的射影恰好 是底面正多边形的中心

正棱柱: 1.侧棱与底面垂直 2.底面为正多边形

基础练习 1.下列判断错误的是( C ) A 棱锥的各个侧面都是三角形 B 三棱锥的面有四个,它是面数最少的 棱锥. C 棱锥的顶点在底面上的射影在底面多 边形内 D 棱锥的侧棱中至多有一条与底面垂直 2.A={棱锥},B={正棱锥},C={正三棱锥}, D={正四面体},写出这四个集合的包含 C B A D≠ 关系_________ ≠ ≠

概念辨析 (1) 侧棱长都相等的棱锥是正棱锥.( X ) (2)侧面与底面所成的二面角都相等的棱 锥是正棱锥.( X ) (3) 底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的 棱锥是正棱锥.( X )
(4)底面是正多边形,各侧棱与底面所成的角相 等的棱锥是正棱锥.( √ )

S

E A M O B C D

正棱锥的性质 1.侧棱: 每条侧棱的长都相等 2.侧面: 都是全等的等腰三角形 3.斜高: (等腰三角形底边上的高): 都相等 *斜高是正棱锥的专利

S

E A M B C O

几个重要的直角三角形 1.RtSBO:由高,侧棱和 侧棱在底面的射影组成 2.RtSMO:由高,斜高和 斜高在底面的射影组成 3.RtOMB:由底面中心O 与底边中点M连线,与半条 底边MB,还有中心与底面 顶点连线组成 4.RtSMB:由斜高,侧棱, 半条底边组成
D

1. 已知:正四棱锥S——ABCD中,底面 边长为2,斜高为2 . 求:(1)侧棱长; (2)棱锥的高; (3)侧棱与底所成的角的正切值; S (4)侧面与底面所成的角;

D A B

C

涉及到正三棱锥的相关量: 对一般的正棱锥 *都有四个基本的直角三角形: 1.线:
RtSBO,RtSMO, 高h,斜高h', 侧棱b, 底半径R, h' RtOMB,RtSMB; h 边心距r , 边长的一半a/2 *都存在一个基本的小三棱锥
E

S S

2.角: O A D 侧棱与底面所成的线面角∠SBO, M 侧面与底面所成的 B a/2 二面角∠SMO 性质:对正棱锥,有: 各条侧棱与底面所成的角相等 各个侧面与底面所成的角相等

b r R

解:过V作VO⊥面ABC,O是垂足,由正三棱锥的性 3.已知正三棱锥V-ABC,底面边长为6, . 质知,O为正ABC的中心,连结AO,CO并延长CO交 侧面与底面所成的二面角为60 ,求它的 AB于D,连结VD,则OD⊥AB,VD⊥AB(三垂线定理) 高和侧棱长. ∴∠VDO是侧面VAB与底面ABC所成二面角的平面角, 即∠VDO= 60 又ABC是正三角形,AB=6
.

V

3 ∴CD= AB= 2

3 3
A

1 DO= CD= 3 3 2 AO= 3 CD= 2 3 . 由Rt VOD得:VO=ODtan 60 = 3 3=3 由Rt VOA,AO= VO=3,得AV=

C
D B

O

21

回顾与总结:
(1)本节课重点研究了正棱锥的性质, 揭示了正棱锥的最本质特征. (2)掌握用基本图形去解决正棱锥中有 关问题的方法,提高应用有关知识解决实际 问题的能力; (3)树立将空间问题转化成平面问题的 转化思想.



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