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北京市朝阳区2015届高三上学期期中统一考试文科数学试卷(解析版)


2014-2015 学年度???学校 12 月月考卷

一、选择题 1.已知集合 A ? x x 2 +x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 0 ,则集合 A A. x x ? ?2 【答案】B 【解析】 试 题

?

?

?

?

B 等于(

) D. x ?2 ? x ? 1

?

?


B. x 0 ? x ? 1

?

?


C. x x ? 1

?

?


?

?










A?

?

2

+ x

x ? ?? 2

?0 x

?

??

2 xA ? B ?x 1 0 ? x ? 1?,. ? ? ;?

B

?0 x

x?

考点:集合的交集运算. 2.要得到函数 y ? tan(x ?

π 个单位 3 π C.向右平移 个单位 6
A.向右平移 【答案】D 【解析】

π ) 的图象,只要将函数 y ? tan x 的图象( 6 π B.向左平移 个单位 3 π D.向左平移 个单位 6



试题分析:将函数 y ? tan x 的图象向左平移 考点:三角函数图象平移.

π π 个单位,得到 y ? tan(x ? ) ,故选 D. 6 6


3 3.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在 R 上为单调递增函数”的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试题分析:∵ f '( x) ? 3x ? 0 ,∴a 无论取何值,函数 f ( x) ? x ? a 在 R 上为单调递增函
3 3 数,∴“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在 R 上为单调递增函数” 充分不必要条件.

考点:1 导数在函数单调性中的应用;2.充分必要条件的判断. 4.执行如图所示的程序框图,则输出的 b 值等于( )

开始 a=1,b=1

a=a+2 b=b-a


a<7?


输出 b 结束

A. ?3 B. ?8 C. ?15 D. ?24 【答案】B 【解析】 试题分析:执行程序框图,第一次循环后,b=0,a=3;第二次循环后,b=-3,a=5;第三次 循环后,b=-8,a=8;此时 a=8 不满足条件 a<7,输出 b 的值为-8.故选:B. 考点:程序框图.

AC 5.如图,点 D 是线段 BC 的中点, BC ? 6 ,且 AB ?AC ?AB ?
A

,则 AD ? (



B

D

C

A. 6 【答案】C 【解析】 试题分析: 上的中线, 则 | AD |?

B. 2 3

C. 3

D.

3 2

| AB ? AC ? AB ? AC | ,? AB ? AC ,即△ABC 为直角三角形,AD 为斜边

1 | BC |? 3 .故选 C. 2

考点:平面向量加法模的几何意义.
x 6. 已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 0 ;命题 q :在曲线 y ? cos x 上存在斜率为 2 的切线,

则下列判断正确的是( A. p 是假命题 B. q 是真命题



C. p ? (?q) 是真命题 D. (?p) ? q 是真命题 【答案】C 【解析】 试题分析:易知,命题 p 是真命题;对于命题 q : y? ? ? sin x ?[?1,1] ;而 2 ?[?1,1] , 故命题 q 为假命题;所以 ? q 为真命题;所以 p ? ? ?q ? 是真命题,故选 C. 考点:复合命题真假的判断. 7.设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常 数) .公司决定从原有员工中分流 x ( 0 ? x ? 100 )人去进行新开发的产品 B 的生产.分流 后,继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2 x % .若 要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是( A. 15 B. 16 C. 17 ) D. 18

【答案】B 【解析】 试题分析:由题意,分流前每年创造的产值为 100t(万元) ,分流后 x 人后,每年创造的产 值为 ?100 ? x ??1 ?1.2x%? t ,则由 ? 以 x 的最大值为 16. 故选:B. 考点: 函数模型的选择与应用.

?0 ? x ? 100 50 ,解得:0 ? x ? .所 3 ??100 ? x ??1 ? 1.2 x% ? t ? 100t

△ ABC 顶点坐标分别为 A(0, 8. 在平面直角坐标系中, 若 △ ABC 0) ,B(1, 3) , C (m, 0) .
是钝角三角形,则正实数 m 的取值范围是( A. 0 ? m ? 1 B. 0 ? m ? 3 C. 0 ? m ? 3 或 m ? 4 D. 0 ? m ? 1 或 m ? 4 【答案】D 【解析】 试题分析: 由 B 1,3 , 得到 AE ? 1 根据勾股定理得:AB ? 2,?BAE ? 60? , ,BE ? 3 , 过 B 作 BD ? AB ,可得 ?ADB ? 30? ,∴ AD ? 2 AB ? 4 ,即 D ? 4, 0? ,则 ABC 是 )

?

?

钝角三角形时,正实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 1 或 m ? 4 ,故选:D. 考点:余弦定理.

二、填空题 9.已知平面向量 a ? (2, ?1) , b ? ( x,1) ,若 a ? b ,则 x ? 【答案】 【解析】 试题分析:∵ a ? b ,∴ a ? b = 0 ,即 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 考点:向量垂直的充要条件. .

1 2 1 . 2

? ? 3 , ? ? ( , ?) ,则 cos? ? _______; tan( ? ? ) ? _______. 2 4 5 4 1 【答案】 ? ; . 5 7
10.已知 sin ? ? 【解析】 试题分析:∵ sin ? ?

4 ? 3 3 2 ,? ? ( , ?) ,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? ,∴ tan ? ? ? ,所 5 2 4 5

1 ? tan ? ? 以 tan( ? ? ) ? ? 4 1 ? tan ?

3 4 ?1. 3 7 1? 4 1?
?x

考点:1.同角的基本关系;2.两角和的正切公式. 11.已知函数 f ( x) ? 2 ? a ? 2 ,且对于任意的 x ,有 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则实数 a 的值
x

为 . 【答案】 ?1 【解析】 试 题 分 析 : ∵ 对 于 任 意 的

0 ∴ f (0) ? 0 , 即 x , 有 f (? x) ? f ( x)? ,

f (0) ? 20 ? a ? 20 ? 1 ? a ? 0 ,∴ a = ?1 .
考点:函数奇偶性.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 12.已知 x , y 满足条件 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0, 则函数 z ? ?2 x ? y 的最大值是 ? y ? 2 ? 0, ?
【答案】4 【解析】 试题分析:作出可行区域,如下图



可知在 M ? ?2,0? 处,取到最大值,最大值为 4. 考点:简单的线性规划.

?e x ?1 , x ? 0, 13. 设函数 f ( x) ? ? 若 f (m) ? 1 ,则实数 m 的值等于 ?sin πx ? 1, 0 ? x ? 1.
【答案】 ?1 或 1 【解析】



试题分析:∵ f (m) ? 1 ,∴当 m ? 0 时, f (m) ? em?1 ? 1 ,解得 m ? ?1 ;当 1 ? m ? 0 时,

f (m) ? sin m? ? 1 ? 1 ,解得 m ? 1 ;故答案为 ?1 或 1 .
考点: 分段函数的函数值, 14.已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ? x 的图象与直线 y ? 1 有且只有一个交点,则实数 a 的取值范 围是 . a ? ? 2 【答案】 【解析】 试题分析:当 x≥0 时,f(x)=(x-a)?|x|=(x-a)?x,当 x<0 时,f(x)=(x-a)?|x|=(x-a)?x=-x2+ax,若 a=0,则 f(x)的图象如图:

满足条件.

若 a>0,则 f(x)的图象如图:

满足条件; 若 a<0,则 f(x)的图象如图:

要使条件成立,则只需要当 x<0 时,函数的最大值小于 1,即

?a 2 a 2 = ? 1 ,即 a 2 ? 4 , ?4 4

解得-2<a<2,此时-2<a<0,综上 a>-1,故答案为: (-1,+∞) . 考点:函数零点与方程根的关系. 三、解答题 15. (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 是等差数列,且 a2 ? a5 ? 19, a3 ? a6 ? 25 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {an ? bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【答案】 (Ⅰ) an ? 3n ? 1 ; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (I) 利用等差数列的通项公式可得, 由?

3n2 ? n ? 4 n?1 ?2 2

? a2 ? a5 ? 19, ? 2a1 ? 5d ? 19, 整理得 ? 即 a ? a ? 25, 2 a ? 7 d ? 25. 3 6 ? 1 ?

可得出; (II)利用等比数列的通项公式可知 an ? bn ? 2n 、等差数列与等比数列的前 n 项和 公式,采用分组求和即可求出结果.

试题解析:解: (Ⅰ)由 ?

? a2 ? a5 ? 19, ? 2a1 ? 5d ? 19, 整理得 ? ?2a1 ? 7 d ? 25. ?a3 ? a6 ? 25,

解得 ?

? d ? 3, ? a1 ? 2.
6分

所以 an ? 3n ? 1 .

(Ⅱ)因为数列 {an ? bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? bn ? 2n ,所以 bn ? 3n ?1 ? 2n , 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ?

n(3n ? 1) 2(1? 2n ) 3n2 ? n ? 4 n ?1 ? ? ?2 . 2 1? 2 2

13

分 考点: 1.等差数列与等比数列;2.分组求和. 16. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin(2 x ? ) . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值与最小值. 【答案】 (Ⅰ) ? ; (Ⅱ)最大值为 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用三角恒等变换公式可得 ( f x) ? sin(2 x ? ) ,利用周期公式,即可可 求 f(x)的最小正周期; ( Ⅱ ) x ?[0, ] , 可 知 2 x ?

1 2

? 3

? 2

3 1 ;最小值为 ? 4 2

1 2

? 3

? 2

? ? ?? ?[ , ] , 进 而 求 出 ? ? ?

1 ? 3 1 ? sin(2 x ? ) ? [ ? , ] ,即可求得 f ? x ? 在 [0, ] 上的最大值与最小值. 2 3 4 2 2 1 ? 试题解析:解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x cos x ? sin(2 x ? ) 2 3 1 1 3 1 1 ? ? cos 2 x ? sin 2x ? (sin 2x cos ? cos2x sin ) ? sin 2 x ? sin 2 x ? 2 4 4 2 2 3 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 4 4 1 ? ? sin(2 x ? ) . 2 3 则 f ( x) 的最小正周期为 ? . 7分
(Ⅱ)因为 x ?[0, ] ,则 2 x ?

? 2

? ? ?? ?[ , ] . ? ? ?

? 3 ,1] . 所以 sin(2 x ? ) ? [? 3 2 1 ? 3 1 , ]. 所以 sin(2 x ? ) ? [ ? 2 3 4 2
则 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值为

1 ? ? ? ,此时 2 x ? ? ,即 x ? . 2 3 2 12 3 ? ? ?? ? f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为 ? ,此时 2 x ? ? ,即 x ? . 4 2 3 3 2 ? 2

13

分. 考点:1.三角恒等变换;2.函数 ( f x) ? A sin(? x ? ? ) 的性质. 17. (本小题满分 14 分) 如图, 在△ ABC 中,?ACB 为钝角,AB ? 2, BC ? 为 AC 延长线上一点,且 CD ? 3 ? 1.
B

2, A ?

π .D 6

A

C

D

(Ⅰ)求 ?BCD 的大小; (Ⅱ)求 BD, AC 的长. 【答案】 (Ⅰ) ?BCD ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用正弦定理求出 sin ?ACB ?

π ; (Ⅱ) BD ? 2 , AC ? 3 ? 1. 4

2 ,再根据因为 ?ACB 为钝角,求出角 2

的大小; (Ⅱ)在△BCD 中,由余弦定理可求 BD 的长,然后再用余弦定理即可求出 AC 的长. 试题解析:解: (Ⅰ)在 ABC 中,

π , BC ? 2 , 6 AB BC ? 由正弦定理可得 , sin ?ACB sin A
因为 AB ? 2, A ? 即

2 2 2 ? ? ?2 2, 1 sin ?ACB sin π 6 2

所以 sin ?ACB ?

2 . 2

因为 ?ACB 为钝角,所以 ?ACB ? 所以 ?BCD ?

3π . 4
7分

π . 4

(Ⅱ)在△ BCD 中,由余弦定理可知 BD2 ? CB2 ? DC 2 ? 2CB ? DC ? cos ?BCD ,
2 2 2 即 BD ? ( 2) ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ? cos

π , 4

整理得 BD ? 2 . 在△ ABC 中,由余弦定理可知 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A ,
2 2 2 即 ( 2) ? 2 ? AC ? 2 ? 2 ? AC ? cos

π , 6

整理得 AC ? 2 3AC ? 2 ? 0 .解得 AC ? 3 ? 1 .
2

因为 ?ACB 为钝角,所以 AC ? AB ? 2 .所以 AC ? 3 ? 1. 14 分. 考点:1.正弦定理的应用;2.余弦定理的应用. 18. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ? a , a ? R . (Ⅰ)若 a ? 2 ,试求函数 y ?

f ( x) ( x ? 0 )的最小值; x

(Ⅱ)对于任意的 x ? [0, 2] ,不等式 f ( x) ? a 成立,试求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) ?2 ; (Ⅱ) [ , ??) 【解析】

3 4

f ( x) x 2 ? 4 x ? 1 1 ? ? x ? ? 4 .然后利用基本不等式即可 试题分析: (Ⅰ)依题意得 y ? x x x
求得函数的最小值; (Ⅱ)由题意可知要使得“ ? x ? [0, 2] ,不等式 f ( x) ? a 成立”只要
2 “ x ? 2ax ? 1 ? 0 在 [0, 2] 恒成立”.

不妨设 g ( x) ? x ? 2ax ?1 ,则只要 g ( x) ? 0 在 [0, 2] 恒成立.利用二次函数的性质和图像,
2

列出不等式解得,即可解得结果.

f ( x) x 2 ? 4 x ? 1 1 ? ? x? ?4. 试题解析:解: (Ⅰ)依题意得 y ? x x x
因为 x ? 0 ,所以 x ? 所以 y ? ?2 .

1 1 ? 2 ,当且仅当 x ? 时,即 x ? 1 时,等号成立. x x

所以当 x ? 1 时, y ?

f ( x) 的最小值为 ?2 . x

6分

(Ⅱ)因为 f ( x) ? a ? x2 ? 2ax ?1 ,所以要使得“ ? x ? [0, 2] ,不等式 f ( x) ? a 成立” 只要“ x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 [0, 2] 恒成立”. 不妨设 g ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ,则只要 g ( x) ? 0 在 [0, 2] 恒成立. 因为 g ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ? ( x ? a)2 ?1 ? a2 , 所以 ?

? g (0) ? 0, ? 0 ? 0 ? 1 ? 0, 3 即? 解得 a ? . 4 ? g (2) ? 0, ?4 ? 4a ? 1 ? 0,
3 4
13 分.

所以 a 的取值范围是 [ , ??) .

考点: 1.基本不等式的应用;二次函数在闭区间上的最值. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 a1 ? 2a2 ? (Ⅰ)若 a1 ? 1, a2 ? 2 ,求 b1 , b2 ; (Ⅱ)若 an ?

n ? N? . ? nan ? n(n ? 1)bn ,

n ?1 1 ,求证: bn ? ; n 2

(Ⅲ)若 bn ? n2 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】 (Ⅰ) b1 = 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将 a1 ? 1, a2 ? 2 代入 a1 ? 2a2 ? ( Ⅱ ) 由 an ?

1 5 2 ? , b2 ? ; (Ⅱ) an = 4n ? 3n ? 1 ( n ? N ) 2 6

? nan ? n(n ? 1)bn ,即可求出 b1,b2 ;

n ?1 化 简 得 nan ? n? 1 , 由 a1 ? 2a2 ? ? nan ? n(n ? 1)bn , 即 可 得 到 n 1 n? 3 1 2 bn ? ? ? (1? ),即可证明结果; (Ⅲ)由 a1 ? 2a2 ? ? nan ? n(n ? 1)bn ,利 2 n?1 2 n? 1

用做差,得到 an ? n(bn ? bn?1 ) ? (bn ? bn?1 ) ,再将 bn ? n2 代入,即可求数列 ?an ? 的通项公 式. 试题解析:解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,有 a1 ? 2b1 ? 1 ,所以 b1 = 当 n ? 2 时,有 a1 ? 2a2 ? (2 ? 3)b2 . 因为 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 b2 ? (Ⅱ)因为 an ?

1 . 2

5 . 6

3分

n ?1 n ?1 ? n ?1 . ,所以 nan ? n ? n n

所以 a1 ? 2a2 ? 所以 bn ?

? nan ? 2 ? 3 ?

? (n ? 1) ?

(n ? 3)n ? n(n ? 1)bn . 2
8分 ① ②

1 n?3 1 2 1 ? ? (1 ? )? . 2 n ?1 2 n ?1 2

(Ⅲ)由已知得 a1 ? 2a2 ? 当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ?

? nan ? n(n ? 1)bn

? (n ?1)an?1 ? (n ?1)nbn?1

①-②得, nan ? n ?(n ?1)bn ? (n ?1)bn?1 ? , 即 an ? n(bn ? bn?1 ) ? (bn ? bn?1 ) .
2 因为 bn ? n2 ,所以 an = 4n ? 3n ? 1 ( n ? 2 ) .

当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,又 a1 ? 2b1 = 2 ,符合上式.
2 ? 所以 an = 4n ? 3n ? 1 ( n ? N ).

14 分 .

考点:1.数列与不等式的综合;2.数列的求和. 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) = ( x - a) ln x , a ? R . (Ⅰ)若 a = 0 ,对于任意的 x ? (0,1) ,求证: -

1 ? f ( x) e

0;

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 在其定义域内不是单调函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) a > 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 当 a = 0 时, f ( x) = x ln x ,对函数进行求导,求出函数的单调区间, 即 可 求 出 函 数 的 最 小 值 , 又 由 于 x ? (0,1) , ln x < 0 , 即 可 得 到 结 论 ; (Ⅱ)由

1 e2

f? ( x) =

x ln x + x - a , 设 g ( x)= x l n x + x

x -

. a 令 g ( x)= x l n x +

x -

a = , 0 即

a = x ln x + x ,设函数 h( x) = x ln x + x .求出 h? ( x) = ln x + 2 = 0的解为 x = e- 2 .然
后再利用导数 求出函数的单调区间和函数的极值,即可求出结果.

( x) = ln x + 1 . 试题解析:解:(Ⅰ) 当 a = 0 时, f ( x) = x ln x , f ? ( x) = ln x + 1 = 0 ,解得 x = 令 f?
1 e 1 . e 1 e

( x) < 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 是减函数; 当 x ? (0, ) 时, f ?

1 ) 时, f ? ( x) > 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( , + e 1 1 1 所以函数 f ( x ) 在 x = 处取得最小值, f ( ) = - . e e e
当x? ( ,

1 e

) 为增函数.

因为 x ? (0,1) , ln x < 0 ,所以对任意 x ? (0,1) ,都有 f ( x) < 0 . 即对任意 x ? (0,1) , -

1 ? f ( x) e

0.
).

6分

(Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +

( x) = 又 f?

x ln x + x - a ,设 g ( x) = x ln x + x - a . x

令 g ( x) = x ln x + x - a = 0 ,即 a = x ln x + x ,设函数 h( x) = x ln x + x .

( x) = ln x + 2 = 0 ,则 x = e- 2 . 令 h?
1 1 ) 时, h? ( x) < 0 ,所以 h( x) 在 (0, 2 ) 上是减函数; 2 e e 1 1 ) 时, h? ( x) > 0 ,所以 h( x) 在 ( 2 , + ) 上是增函数; 当x? ( 2 , e e 1 1 1 所以 h( x) min = h( 2 ) = - 2 .则 x ? ? 0, ??? 时, h( x ) ? ? . e e e 1 于是,当 a ? 时,直线 y = a 与函数 h( x) = x ln x + x 的图象有公共点, e2
当 x ? (0,

( x) = 0 至少有一个实数根. 即函数 g ( x) = x ln x + x - a 至少有一个零点,也就是方程 f ?
1 时, g ( x) = x ln x + x - a 有且只有一个零点, e2 x ln x + x - a ( x) = 0 恒成立,函数 f ( x) 为单调增函数,不合题意,舍去. 所以 f ? x 1 即当 a > - 2 时,函数 f ( x ) 不是单调增函数. e
当a = -

( x) < 0 不恒成立, 又因为 f ?
所以 a > -

1 为所求. e2

13 分.

考点: 1.利用导数研究函数的单调性.2.导数在证明不等式中的应用.


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