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2014高考数学(新人教A版)大一轮复习特训:第8章 平面解析几何第5讲 Word版含解析


第八章

第5讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 x2 y2 1. [2013· 海淀模拟]2<m<6 是方程 + =1 表示椭圆的( m-2 6-m A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:B )

?m-2>0, ? x2

y2 解析:若 + =1 表示椭圆,则有?6-m>0, m-2 6-m ?m-2≠6-m, ?
∴2<m<6 且 m≠4. x2 y2 故 2<m<6 是 + =1 表示椭圆的必要不充分条件. m-2 6-m x2 y2 2. [2013· 汕头检测]已知椭圆 + =1,F1、F2 分别为其左、右焦点,椭圆上一点 M 到 F1 25 9 的距离是 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|的长为( A. 1 C. 3 答案:D 1 解析:由题意知,|MF2|=10-|MF1|=8,ON 是△MF1F2 的中位线,所以|ON|= |MF2|=4. 2 3. [2013· 韶关调研]椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值 为( A. ) 1 4 B. 1 2 B. 2 D. 4 )

C. 2 答案:A y2 解析:将原方程变形为 x2+ =1, 1 m 1 由题意知 a2= ,b2=1, m

D. 4

∴a=

1 ,b=1.∴ m

1 1 =2,∴m= . m 4

故应选 A. x2 4. 已知椭圆 +y2=1,F1,F2 为其两焦点,P 为椭圆上任一点.则|PF1|· 2|的最大值为 |PF 4 ( ) A. 6 C. 2 答案:B m+n 2 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a=4,|PF1|· 2|=mn≤( |PF ) =4(当且仅当 m 2 =n=2 时,等号成立).故选 B. x2 y2 1 5.[2013· 湖南郴州]设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈( ,1),则实数 k 的取值范围是 4 k 2 ( ) A.(0,3) 16 C.(0,3)∪( ,+∞) 3 答案:C 1 k-4 解析:当 k>4 时,c= k-4,由条件知 < <1, 4 k 16 解得 k> ; 3 当 0<k<4 时,c= 4-k, 1 4-k 由条件知 < <1,解得 0<k<3,综上知选 C. 4 4 x2 y2 6. [2013· 福建调研]若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的 4 3 任意一点,则OP· 的最大值为( FP A. 2 C. 6 答案:C 解析:由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0),则OP· =(x0,y0)· 0+1,y0)=x2+x0+y2. FP (x 0 0 x2 y2 0 0 ∵P 为椭圆上一点,∴ + =1. 4 3
2 x0 → → ∴OP· =x2+x0+3(1- ) FP 0 4

B. 4 D. 8

16 B.(3, ) 3 D.(0,2)

→ →

) B. 3 D. 8

→ →

2 x0 1 = +x0+3= (x0+2)2+2. 4 4

∵-2≤x0≤2, ∴OP· 的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6. FP 二、填空题 x2 1 1 7. [2013· 临汾模拟]椭圆 +y2 =1 的弦被点( , )平分,则这条弦所在的直线方程是 2 2 2 ________. 答案:2x+4y-3=0 1 1 解析:设该弦与椭圆相交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则由点( , )平分弦 AB 可得 x1+x2 2 2 1 =1,y1+y2=1,再将点 A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程后作差可得 kAB=- ,然后根据点 2 斜式方程可求得直线 AB 的方程为 2x+4y-3=0. x2 y2 8. [2013· 上饶调研]已知 F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点 P a b π 使得∠F1PF2= ,则椭圆的离心率 e 的取值范围为________. 3 1 答案:[ ,1) 2 π c π 解析: 设椭圆的短轴的一个端点为 B, 则∠F1BF2≥ , 在△BF1F2 中, sin∠OBF2= =e≥sin 3 a 6 1 1 = ,故 ≤e<1. 2 2 x2 y2 9. [2013· 金版原创]已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F.设 a b 线段 AB 的中点为 M,若 2MA· +BF2≥0,则该椭圆离心率的取值范围为________. MF 答案:(0, 3-1] a b 解析:由题意得 A(-a,0),B(0,b),M(- , ),F(c,0), 2 2 a b a b → → → 则MA=(- ,- ),MF=(c+ ,- ),BF=(c,-b). 2 2 2 2 → → → 由 2MA· +BF2≥0 可得 c2+2ac-2a2≤0, MF 解得 e∈[-1- 3,-1+ 3]. 又 e∈(0,1),所以椭圆的离心率的取值范围为(0, 3-1]. 三、解答题 x2 y2 2 10. [2013· 南宁联考]设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,点 A 是椭圆上的一点, a b 2

→ →

→ →



且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 P1(x1,y1),求 3x1-4y1 的取值范 围. 解:(1)依题意知,2a=4,∴a=2. c 2 ∵e= = ,∴c= 2,b= a2-c2= 2. a 2 x2 y2 ∴所求椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

?y -y ×2=-1, ?x -x (2)∵点 P(x ,y )关于直线 y=2x 的对称点为 P (x ,y ),∴? y +y x +x ? 2 =2× 2 . ?
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1

4y0-3x0 3y0+4x0 解得 x1= ,y1= . 5 5 ∴3x1-4y1=-5x0. x2 y2 ∵点 P(x0,y0)在椭圆 C: + =1 上, 4 2 ∴-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10. ∴3x1-4y1 的取值范围为[-10,10]. x2 y2 3 11. [2013· 深圳模拟]设 A、B 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点,(1, )为椭圆上 a b 2 一点,椭圆长半轴的长等于焦距. (1)求椭圆的方程; (2)设 P(4,x)(x≠0),若直线 AP,BP 分别与椭圆相交异于 A,B 的点 M,N,求证:∠MBN 为钝角. (1)解:依题意,得 a=2c,b2=a2-c2=3c2. x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1, 4c 3c 3 将(1, )代入,得 c2=1. 2 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)证明:由(1)知,A(-2,0),B(2,0), 设 M(x0,y0), 3 则-2<x0<2,y2= (4-x2). 0 0 4 6y0 由 P,A,M 三点共线,得 x= , x0+2

6y0 → → BM=(x0-2,y0),BP=(2, ), x0+2 6y2 → → 0 BM· =2x0-4+ BP x0+2 5 = (2-x0)>0, 2 即∠MBP 为锐角,则∠MBN 为钝角. y2 x2 12. [2013· 广雅中学模拟]如图所示,点 P 是椭圆 + =1 上 5 4 的一点,F1 和 F2 是焦点,且∠F1PF2=30° ,求△F1PF2 的面积. y2 x2 解:在椭圆 + =1 中,a= 5,b=2.∴c= a2-b2=1. 5 4 又∵点 P 在椭圆上, ∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5.① 由余弦定理知 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30° =|F1F2|2=(2c)2=4.② ①式两边平方得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· 2|=20.③ |PF ③-②得(2+ 3)|PF1|· 2|=16. |PF ∴|PF1|· 2|=16(2- 3). |PF 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· 2|sin30° |PF =8-4 3. 2


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