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新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学(文)试题


新疆乌鲁木齐地区 2013 年高三年级第一次诊断性测验试卷 文科数学(问卷)
(卷面分值:150 分考试时间:120 分钟)
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1, ,4,5},B={2,3,4},则 A ? (CU B ) =
A. {4}, B. U={1,5}, C U={1,5,6}, D. U={1,4,5,6},

2. 复数

1 ? 2i 的共轭复数是 a i

+ bi(a,b

R),i 是虛数单位,则点(a,b)为

A. (1 ,2)

B. (2 ,- i )

C.(2,1)

D . ( 1 ,-2)

3. “ | x | < 1 ” 是“ ln x 2 <0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x), g ( x) ? log 2 (1 ? x) ,则 f(x)-g(x) 是

A.奇函数 C.既不是奇函数又不是偶函数

B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

5. 已知函数 f ( x) ? ?

?0, x ? 0
x ?e , x ? 0

,则使函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值范围是

A. [0,1)

B. ( ??,1)

C、 ( ??,1] ? (2, ??)

D.

(??, 0] ? (1, ??)

6. 设 S n 为等差数列{ an }的前 n 项和,若 a1

? 1, a3 ? 5, S k ? 2 ? S k ? 36 ,则 k 的值为
·1·

A.8

B. 7

C. 6

D.5

7. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图 所示,其 中 A,B 两点之间的距离为 5,则 f(x)的递增区间是
A.[ 6k- 1,6k+ 2] k ? Z) ( C.[ 3k- 1,4k+ 2] k ? Z) ( B.[ 6k- 4,6k- 1] k ? Z) ( D.[ 3k- 4,3k- 1] k ? Z) (

8. 执行右边的程序框图,若输出的 S 是 127,则条件①可以为 A、n≤5 B、n≤6 C、n≤7 D、n≤8

9. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 是 AB 的三等分点,G、 H 是 CD 的三等分点, N 分别是 BC、 的中点, M、 EH 则四棱锥 A1 -FMGN 的 侧视图为

10. 设平面区域 D 是由双曲线 y 2 ?

x2 2 ? 1 的两条渐近线和抛物线 y =-8x 的准线所围成的三角形 4

(含边界与内部).若点(x,y) ∈ D,则 x + y 的最小值为 A. -1 B.0 C. 1 D.3

11.如图,椭圆的中心在坐标原点 0,顶点分别是 A1, A2, B1, B2,焦点 分别为 F1 ,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若 为钝角,则此椭 圆的离心率的取值范围为

A.(0,

5 ?1 ) 4 5 ?1 ) 2

B、(

5 ?1 ,1) 4 5 ?1 ,1) 2
·2·

C.(0,

D、(

12.

中,若

,则

tan A 的值为 tan B

A.2

B.4

C. 3

D.2 3 第 II 卷(非选择题共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题 ?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.根据 收 集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程

表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为______ . 14. 如图,单位正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在平面 A 1 BC 1 上,则三棱
锥 P-ACD 1 的体积 为______

15. 点 A(x,y)在单位圆上从

出发,沿逆时针方向做匀速圆

周运动,每 12 秒运动一周.则经过时间 t 后,y 关于 t 的函数解析式 为______

16. 设 A、B 为在双曲线 x 2 ? 值为______

??? ? y2 ? 1 上两点,O 为坐标原点.若 OA ? OB =0,则 ΔAOB 面积的最小 2

三、解答题:第 17?21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演 算步骤. . 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}、{bn}分别是首项均为 2 的各项均为正数的等比数列和等差数列,且

·3·

(I) 求数列{an}、{bn}的通项公式; (II )求使 abn <0.001 成立的最小的 n 值.

18. (本小题满分 12 分) PM2. 5 是指大气中直径小于或等于 2. 5 微米的颗粒物,也称为 可人 肺颗粒物.我国 PM2. 5 标准采用世卫组织设定的最宽限 值,即 PM2.5 日 均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 在 35 微克/立方米~75 微 克/立方米之间空气质量为二级; 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 在 某市环保局从市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中 随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为 茎,个位为叶) (I)从这 9 天的数据中任取 2 天的数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (II) 以这 9 天的 PM2. 5 日均值来估计供暖期间的空气质量情况,则供暖期间(按 150 天计算)中 大约有多少天的空气质量达到一级.

19. (本小题满分 12 分)
P, VD 的中点, 点 M 在边 BC 在正四棱锥 V - ABCD 中, Q 分别为棱 VB, 上,且 BM: BC = 1 : 3 ,AB =2

3 ,VA = 6.

(I )求 证 CQ∥ 平 面 PAN; ( I I ) 求证:CQ⊥AP.

·4·

20. (本小题满分 12 分) 已知点 F( 1,0), 与直线 4x+3y + 1 =0 相切,动圆 M 与 及 y 轴都相切.

(I )求点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 任作直线 l,交曲线 C 于 A,B 两点,由点 A,B 分别向 为 P,Q,记 .求证 sin ? ? sin ? 是定值. 各引一条切线,切点 分别

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0 的零点的集合为{0,1},且 x ? 点。

1 是 f(x)的一个极值 3

(1)求

b 的值; a

(2)试讨论过点 P(m,0)与曲线 y=f(x)相切的直线的条数。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 CE,垂足为 D. (I) 求证:AC 平分 的直径,AC 是弦,直线 CE 和 切于点 C, AD 丄



·5·

(II) 若 A B = 4 A D , 求

的大小.

23. (本题满分 10 分)选修 4 -4 :坐标系与参数方程

将圆

上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直线 3x-2y-8=0

绕原点逆时针旋转 90° 所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程; (II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离.

24. (本题满分 10 分)选修 4 - 5 :不等式选讲 设函数, (I)求证 ; .

(II)若

成立,求 x 的取值范围.

·6·

2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.选 D.【解析】 A ? ?U B ? ?1, 4,5? ? ?1,5, 6? ? ?1, 4,5, 6? . 2.选 C.【解析】

?

?

1 ? 2i ? 2 ? i ,其共轭复数为 2 ? i ,即 a ? bi ? 2 ? i ,所以 a ? 2, b ? 1 . i

2 2 3.选 B.【解析】 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 , lg x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 0, 0 ? x ? 1 .

4. 选 A. 【 解 析 】 f ? x ? ? g ( x ) 的 定 义 域 为 ? ?1,1? 记 F ( x) ? f ? x ? ? g ( x ) ? log 2
?1

1? x ,则 1? x

F (? x) ? log 2

1? x 1? x ? 1? x ? ? ? F ( x) ,故 f ? x ? ? g ( x) 是奇函数. ? log 2 ? ? ? ? log 2 1? x 1? x ? 1? x ?

5.选 D.【解析】函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 的零点就是方程 f ( x) ? x ? m 的根, 作出 h( x) ? f ? x ? ? x ? ?

? x,
x

x?0

?e ? x, x ? 0

的图象,观察它与直线 y ? m 的交点,得知当 m ? 0 时,或

m ? 1 时有交点,即函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点.
6.选 A.【解析】由 a1 ? 1 , a3 ? 5 ,解得 d ? 2 ,再由: S k ? 2 ? S k ? ak ? 2 ? ak ?1

? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 4k ? 4 ? 36 ,解得 k ? 8 .
7.选 B.【解析】 AB ? 5, y A ? yB ? 4 ,所以 x A ? xB ? 3 ,即

T 2? ? ? 3 ,所以 T ? ? 6 ,? ? 由 2 ? 3

?? ? ? 2? ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? ? 过点 ? 2, ?2 ? ,即 2sin ? ? ? ? ? ?2 , 0 ? ? ? ? , ?3 ? ? 3 ?
解得 ? ?

5? 5? ?? ,函数为 f ? x ? ? 2sin ? x ? 6 6 ?3

? ? 5? ? ? ? 2 k? ? , ? ,由 2k? ? ? x ? 2 3 6 2 ?

解得 6k ? 4 ? x ? 6k ? 1 ,故函数单调递增区间为 ? 6k ? 4, 6k ? 1? ? k ? Z ? . 8.选 B.【解析】依题意 S ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 2 n ?1 ? 1 ,有 2n ?1 ? 1 ? 127 ,故 n ? 6 . 9.选 C.【解析】 (略). 10.选 B. 【解析】 双曲线的渐近线为 y ? ?

1 x, 抛物线的准线为 x ? 2 , z ? x ? y , 设 当直线 y ? ? x ? z 2
·7·

过点 O (0, 0) 时, zmin ? 0 . 11.选 D.【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 B1 F2 的方程 为 bx ? cy ? bc ? 0 ,联立可得 P ?

? 2ac b ? a ? c ? ? , ? ,又 A2 ? a, 0 ? , B1 ? 0, ?b ? , a?c a?c ? ?

∴ PB1 ? ?

????

? ? ?2ac ?2ab ? ???? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? , , , PA2 ? ? ? ,∵ ?B1 PA2 为钝角 ? a?c ? ? a?c a?c ? ? a?c

???? ???? ? ?2a 2 c ? a ? c ? 2ab 2 ? a ? c ? ? ? 0 , 化 简 得 b 2 ? ac , 即 a 2 ? c 2 ? ac , 故 ∴ PA2 ? PB1 ? 0 , 即 2 2 ?a ? c? ?a ? c?
5 ?1 ? 5 ?1 5 ?1 ?c? c 即 2 或e ? , 0 ? e ? 1, 而 所以 ? e ? 1. ? ? ? ? 1 ? 0 , e ? e ? 1 ? 0 ,e ? 2 2 2 ?a? a
12.选 B.【解析】设 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对的边,由
2

?

??? ??? ??? 3 ??? 2 ??? ??? ??? ??? 3 ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? CA ? CB ? AB ? AB 得 CA ? AB ? CB ? AB ? AB . 5 5

?

即 bc cos ?? ? A ? ? ac cos B ? ∴a?

3 2 3 c ,∴ a cos B ? b cos A ? c . 5 5

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a 2 3 3 ?b? ? c ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , 2ac 2bc 5 5

a 2 ? c2 ? b2 3 2 2 c ?c 2 2 2 tan A sin A cos B a a ?c ?b 2ac 5 ? ? ? ? ? ? ? 4. ∴ tan B sin B cos A b b 2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3 c 2 ? c 2 5 2bc
二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 68 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =

10 + 20 + 30 + 40 + 50 ? 30 , 5

? 由 y = 0.67 x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67 ? 30 + 54.9 = 75

62 + m + 75 + 81+ 89 = 75 ,故 m ? 68 . 5 1 14.填 . 【解析】平面 A1 BC1 ∥平面 ACD1 ,∴ P 到平面 ACD1 的距离等于平面 A1 BC1 与平面 ACD1 6
∴ 间的距离,等于

1 3 1 3 ,而 S ?ACD1 ? AD1 ? CD1 sin 60? ? , B1 D ? 3 3 2 2
·8·

∴三棱锥 P ? ACD1 的体积为 ?

1 3

3 3 1 ? ? . 2 3 6

15. 填 y ? sin ?

? 2? ? ? ?? ?? 【 ? ,所以秒旋转 t , t ? ? . 解 析 】 ?xOA0 ? , 点 A 每 秒 旋 转 3 12 6 6 3? ?6
t , ?xOA ?

?A0OA ?

?
6

?
6

t?

?
3

,则 y ? sin ?xOA ? sin ?

?? ?? t? ?. 3? ?6
1 x, k

16.填 2 .【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ,则直线 OB 的方程为 y ? ?

? y ? kx 2 2k 2 ? 2 2 2 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? 2 y 故 x1 ? , , y1 ? 2 ? k2 2 ? k2 ?1 ?x ? ? 2
∴ OA ? x ? y ?
2 2 1 2 1

2 ?1 ? k 2 ? 2 ? k2
2

,同理 OB ?
2

2 ?1 ? k 2 ? 2k 2 ? 1



故 OA ? OB ?
2 2

4 ?1 ? k 2 ?
4 2

?2k ? 5k ? 2

? ?2 ?

?k

4 9k 2
2

? 1?

2



k2

?k

2

? 1?
2

2

?

1 1 ? (当且仅当 k ? ?1 时,取等号) 1 k2 ? 2 ? 2 4 k
1 OA ? OB 的最小值为 2 . 2

∴ OA ? OB ? 16 ,故 S ?AOB ?
2

三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17.(Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q , ?bn ? 的公差为 d ,依题意 ?

? 2 ? d ? 4 ? 2q ? ?? 2 ? 2d ? ? 2q ? 6 ?

?d ? 2 ?d ? ?5 n?2 ? ? ?1? 解得 ? ,或 ? (舍) ∴ an ? ? ? , bn ? 2n ; 1 3 ?2? ?q ? 2 ?q ? ? 8 ? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 abn ? a2 n ? ?

…6 分

?1? ? ?2?

2n?2



·9·

?1? 因为 abn ? 0.001 ? ? ? ?2?

2n?2

? 0.001 ? 22 n? 2 ? 1000 ,
…12 分

所以 2n ? 2 ? 10 ,即 n ? 6 ,∴最小的 n 值为 6.

18. (Ⅰ) 记“从 9 天的 PM2.5 日均监测数据中, 随机抽出 2 天, 恰有一天空气质量达到一级”为事件 A , ∵从 9 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出 2 天,有 ?28,33? , ?28,31? , ?28, 44? ,

?28, 45? , ?28, 63? , ?28, 79? , ?28,81? , ?28,86? , ?33,31? , ?33, 44? , ?33, 45? , ?33, 63? , ?33, 79? , ?33,81? , ?33,86? , ?31, 44? , ?31, 45? , ?31, 63? , ?31, 79? , ?31,81? , ?31,86? , ?44, 45? , ?44, 63? , ?44, 79? , ?44,81? , ?44,86? , ?45, 63? , ?45, 79? , ?45,81? , ?45,86? , ?63, 79? , ?63,81? , ?63,86? , ?79,81? , ?79,86? , ?81,86? 共 36 种情形,其中恰有一天空气质量 达到一级的有 ?28, 44? , ?28, 45? , ?28, 63? , ?28, 79? , ?28,81? , ?28,86? , ?33, 44? , ?33, 45? , ?33, 63? , ?33, 79? , ?33,81? , ?33,86? , ?31, 44? , ?31, 45? , ?31, 63? , ?31, 79? , ?31,81? , ?31,86? 共 18 种情形,∴ P ? A? ?
3 ?150 ? 50 天的空气质量达到一级. 9
19. (Ⅰ)连接 AC , BD ,设 AC ? BD ? O ,则 VO ⊥平面 ABCD , 连接 AM ,设 AM ? BD ? E ,由 BM : BC ? 1: 3 , ?MEB ~ ?AED , 得 BE : ED ? 1: 3 ∴ E 为 OB 的中点,而 P 为 VB 的中点,故 PE ∥ VO 在 DA 上取一点 N ,使 DN : DA ? 1: 3 , CN ? BD ? F 同理 QF ∥ VO ,于是 PE ∥ QF 在正方形 ABCD 中 AM ∥ CN ,∴平面 APM ∥平面 CQN ,又 CQ ? 平面 CQN ∴ CQ ∥平面 PAM ; (Ⅱ)延长 BA 至 G 使 BA ? AG ,连接 VG ,则 VG ∥ AP 且 VG ? 2 AP 延长 DC 至 H 使 DC ? CH ,连接 VH ,,则 VH ∥ CQ 且 VH ? 2CQ ∴相交直线 VG 与 VH 所成的不大于 90? 的角即为异面直线 AP 与 CQ 所成的角 连接 GH ,在 ?GVH 中, GH ? 2 30, VG ? VH ? 2 AP ? 2CQ ? 2 15 ∴ GH 2 ? VG 2 ? VH 2 ,∴ ?GVH ? 90? ,即 CQ ⊥ AP . …12 分 …6 分

18 1 ? ; 36 2

…6 分

(Ⅱ)依题意可知,这 9 天中空气质量达到一级的有 3 天,那么供暖期间估计(按 150 天计算)有 …12 分

·10·

20. (Ⅰ)⊙ F 的半径为

4 ?1 42 ? 32

? 1 ,⊙ F 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,
2

作 MH ⊥ y 轴于 H ,则 MF ? 1 ? MH ,即 MF ? MH ? 1 ,则 MF ? MN ( N 是过 M 作 直线 x ? ?1 的垂线的垂足) ,则点 M 的轨迹是以 F 为焦点, x ? ?1 为准线的抛物线. ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ? x ? 0 ? ;
2

…6 分

(Ⅱ)当不与 x 轴垂直时,直线的方程为 y ? k ? x ? 1? ,由 ?

? y ? k ? x ? 1? ?
2 ? y ? 4x ?



k 2 x 2 ? ? 2k 2 ? 4 ? x ? k 2 ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?
∴ sin ? ? sin ? ?

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 k2

1 1 1 1 x1 ? x2 ? 2 x ? x2 ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? 1, AF BF x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 1 ? x1 ? x2 ? 1

当与 x 轴垂直时,也可得 sin ? ? sin ? ? 1 , 综上,有 sin ? ? sin ? ? 1 .
3 2

…12 分

21. (Ⅰ)函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0 ? 的零点的集合为 ?0,1? ,则方程 f ? x ? ? 0 的解可 以为 x1 ? x2 ? 0, x3 ? 1 ,或 x1 ? x2 ? 1, x3 ? 0 . ∴ f ? x ? ? ax ①若 f ? x ? ? ax
2

2

? x ? 1? 或 f ? x ? ? ax ? x ? 1?2 .
? 2? ?. 3?

? x ? 1?? a ? 0 ? ,则 f ? ? x ? ? 2ax ? x ? 1? ? ax 2 ? 3ax ? x ? ?

当 x ? 0 ,或 x ? 为减函数;

2 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为增函数;当 0 ? x ? , f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 3 3

·11·

∴x ?0,x ?

2 为函数的极值点.与题意不符. 3
2

②若 f ? x ? ? ax ? x ? 1? 当x?

? a ? 0 ? ,则 f ? ? x ? ? a ? x ? 1?? 3x ? 1?

1 1 ,或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为增函数;当 ? x ? 1 , f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为 3 3 1 , x ? 1 为函数的极值点. 3
2

减函数; ∴x?

综上,函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1?
3 2

? a ? 0 ? ,即 f ? x ? ? ax ? x ? 1?

2

? ax 3 ? 2ax 2 ? ax ,
…6 分

而 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0 ? ,故 b ? ?2a ,∴

b ? ?2 a

(Ⅱ)设过点 P ? m, 0 ? 的直线与曲线 y = f ? x ? 切于点 Q ? x0 , y0 ? , 由(Ⅰ)知 f ? ? x0 ? ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1? ,∴曲线 y = f ? x ? 在点 Q ? x0 , y0 ? 处的切线方程为

? ?

1? 3?

1? ? y ? y0 ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? x ? x0 ? , 3? ?
∵ P ? m, 0 ? 满足此方程,故 ? y0 ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? m ? x0 ? ,又 y0 ? ax0 ? x0 ? 1?
2 即 ? ax0 ? x0 ? 1? ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? m ? x0 ? ,∴ ? x0 ? 1? 2 x0 ? 3mx0 ? m ? 0 .

? ?

1? 3?

2

2

? ?

1? 3?

?

?

2 2 x0 ? 1 ,或 2 x0 ? 3mx0 ? m ? 0 …①,关于 x0 的方程 2 x0 ? 3mx0 ? m ? 0 的判别式 ? ? 9m 2 ? 8m

当m ? 0或m ?

8 2 ?8 ? 时,? ? 0 , 方程①有两等根 x0 ? 0 或 x0 ? , 此时, 过点 P ? 0, 0 ? 或 P ? , 0 ? 9 3 ?9 ?

与曲线 y = f ? x ? 相切的直线有两条;

8 时,? ? 0 ,方程①无解,此时过点 P ? m, 0 ? 与曲线 y = f ? x ? 相切的直线仅有一条; 9 8 当 m ? 0 或 m ? 时, ? ? 0 ,方程①有两个不同的实根,此时过点 P ? m, 0 ? 与曲线 y = f ? x ? 相 9
当0 ? m ? 切的直线有三条. 22. (Ⅰ)连接 BC ,∵ AB 是 ? O 的直径,∴ ?ACB ? 90? . ∴ ?B ? ?CAB ? 90? .
·12·

…12 分

∵ AD ? CE ,∴ ?ACD ? ?DAC ? 90? , ∵ AC 是弦,且直线 CE 和 ? O 切于点 C , ∴ ?ACD ? ?B . ∴ ?DAC ? ?CAB ,即 AC 平分 ?BAD ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?ABC ? ?ACD ,∴ …5 分

AC AD ,由此得 AC 2 ? AB ? AD ? AB AC

∵ AB ? 4 AD ,∴ AC 2 ? 4 AD ? AD = 4 AD 2 ? AC ? 2 AD ,于是 ?DAC ? 60? , 故 ?BAD 的大小为 120? . 23. (Ⅰ)设曲线 C 上任一点为 ? x, y ? ,则 ? x, 2 y ? 在圆 x ? y ? 4 上,
2 2

…10 分

于是 x 2 ? ? 2 y ? ? 4 即
2

x2 ? y2 ? 1 . 4

直线 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3? cos ? ? 2 ? sin ? ? 8 ? 0 ,将其记作 l0 , 设直线上任一点为 ? ? , ? ? ,则点 ? ? , ? ? 90? ? 在 l0 上, 于是 3? cos ?? ? 90? ? ? 2 ? sin ?? ? 90? ? ? 8 ? 0 ,即: 3? sin ? ? 2 ? cos ? ? 8 ? 0 , 故直线的方程为 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ; (Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M ? 2 cos ? ,sin ? ? , 它到直线的距离为 d ? 其中 ? 0 满足: cos ? 0 ? …5 分

4 cos ? ? 3sin ? ? 8 2 ?3
2 2

?

5cos ?? ? ? 0 ? ? 8 13



4 3 ,sin ? 0 ? . 5 5
…10 分 …5 分

∴当 ? ? ? 0 ? ? 时, d max ? 13 . 24.(Ⅰ) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 .

(Ⅱ)∵

a2 ? 2 a ?1
2

?

a2 ? 1 ? 1 a ?1
2

? a2 ? 1 ?

1 a2 ? 1

? 2,

∴要使

a2 ? 2 a2 ? 1

? x ? 1 ? x ? 2 成立,需且只需 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 .

·13·

即?

?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ?x ? 2 1 5 ,或 ? ,或 ? ,解得 x ? ,或 x ? 2 2 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2 ?x ?1? 2 ? x ? 2 ?x ?1? x ? 2 ? 2
? ? 1? ? ?5 ? ? ?
…10 分

故 x 的取值范围是 ? ??, ? ? ? , ?? ? . 2 2 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

·14·


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