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函数的定义域解析式


龙文教育个性化辅导授课案
教师 高唱 学生: 时间 2014 年 月 日 段
一、本次授课目的及考点分析: 学生在学习了函数的近代定义,了解了函数的基本要素,要深入理解函数的定义域、对应 关系、值域的含义和三者之间的关系及解析式的求法,涉及本讲的内容仍将出现每年的高考 试题中,函数的概念要求较低,以函数定义域、值域、解析式的考察为主,题型以选择题、 填空题为主

难点:函数基本概念的理解及其解析式的求法

二、本次课的内容:

函数的解析式、定义域、值域与最值问题
函数三要素:解析式、定义域和值域 1、 函数解析式
2

把两个变量的函数关系用一个等式来表示,这个等式就叫做函数的解析表达式,简称解析式。它 是用一个等式表示定义域与值域之间的一种对应关系,与所取的字母无关,如 y?3 x? 1与 为同一函数。 y?3 t2 ? 1 [注意] 表示函数的常用方法:解析法、列表法、图象法。

函数解析式的求法 常用方法有:①代入法;②待定系数法;③换元法或配方法;④方程组法;⑤赋值法 ① 代入法
2 2 2 2 例:已知 f( ,则 fxx 。 x )? x ? 1 (? ) ?? ( xx ) ? 1

② 待定系数法 已知函数的类型,求解析式时,可根据类型设解析式,由已知条件求出待定系数。
2 例:已知二次函数满足 f 求 f ( x) 。 ( 31 x ? ) ? 9 x ?? 65 x,

[例] 设二次函数 f ( x ) 满足 fx 且图象在 y 轴上的截距为 1,被 x 轴截得的线段长为 (? 2 ) ?? f ( x ? 2 ) ,

2 2 ,求 f ( x ) 的解析式。
练习题: 1、 设二次函数 f ( x ) 满足 fx 且 f (x (?? 2 ) f ( 2 ? x ) , ) ?0的两实根平方和为10,图象经过点(0, 3) ,求 f ( x ) 的解析式。 2、 已知 ,求一次函数 f ( x ) 的解析式。 f (() fx ) ? 4 x ? 3

2 3、 已知 f ( x ) 为一次函数, gx ,且 fx ,求 f ( x ) 解析式。 ( )? x ? 2 ( ) g ( x ) ??? x 3 x 2

4、 已知 f ( x ) 为二次函数,其图象过原点,且 f ,求 f ( x ) 的解析式。 ( 1 ) ? 1 , f (1 ?? )5
2 5、 已知函数 fx ,求 f (x?1 )。 (?? 1 )x ? 3 x ? 2

③ 配凑法或换元法 配凑法: 已知 f (g(x 要求 f ( x ) 时, 可从 f (g(x 即用 g ( x ) )) 的解析式, )) 的解析式中拼凑出 g ( x ) ,
来表示,再将解析式两边的 g ( x ) 用 x 代替即可。

换元法:令 t ? g(x) ,再求出 f ( t ) 的解析式,然后用 x 代替 f 两边所有的 t 即可。 (() g x ) ? F () x
[注意] 无论是配凑法还是换元法,所求函数的定义域必须满足两个条件是函数 t ? g(x) 的值域且使

f ( x ) 的解析式有意义。
[例] 已知 fx ,求 f ( x ) 。 (?? 1 )x ? 2 x ? 1
2

[例] 已知 f ( 1? ) ? 练习题:

1 x

1 ? 1 ,求 f ( x). x2 1 x
2

1、求函数解析式: (1) f (x? )?x ?

1 1 1 ;(2) f ( 1? ) ? 2 ? 1 2 x x x

2、已知 f (

2 x? 1 x ? 1 1 )? 2 ? ,求 f ( x ) 。 x x x

3、已知 f ,求 f ( x ) 。 (x ??? 1 ) x2 x

④方程组法
已知 f ( x ) 与 f (g(x )) 满足的关系式,要求 f ( x ) 时,可用 ? ( x ) 代替两边所有的 x ,得到关于

f ( x) 及 f ( ?(x))的方程组,解之即可得出 f ( x ) 。
[例] 函数 f 满足 2 求 f ( x). () xx (? (1 ? , 1 ) ) f ( xf ) ? ()l ? x ? g ( x ? 1 ) . 练习题:

x )? 2 f( )? 3 x ? 2 1、 已知 f( ,求 f ( x ) 。 f( ) ? f( x )? xx (? 0 ) 2、 已知 2 ,求 f ( x ) 。 )?2f ( )?3 x 3、求函数解析式: f ( x ) 满足关系式 f (x 1 x 1 x

1 x

⑤赋值法 将变量取特殊值,找出一般规律,求解析式。 方程组法实质上是一种特殊的赋值法。这种方法常常运用在求抽象函数的解析式中。
[ 例 ] 若 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 f (0 ) ?1 , 并 且 对 于 任 意 的 实 数 x , y 总 有

y ,求 f ( x ) 的解析式。 f ( x ?) ? f () x ? y ( 2 x ?? y1 ) 2
练习题: 1 、 设 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 满 足 f (0 ) ?1 , 且 对 任 意 实 数 a , b , 有 求 f ( x) 。 f ( a ? b ) ??? f ( a )( b 2 a b ? 1 ) . 2、若函数 f ( x ) 的定义域为 N ,且 f ,求 f ( x ) 。 ( x ? y )( ? f x )( ? f y ) ? x y , f ( 1 ) ? 1
?

2、

函数定义域

定义域是自变量 x 的取值范围,它是函数的一个不可缺少的组成部分,如未加特别说明,函数的定 义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数 x 的集合,当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要 考虑使其解析式有意义,还要有实际意义。 求函数定义域的主要依据是: ①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数 函 数 和 对 数 函 数 的 底 数 必 须 大 于 零 且 不 等 于 1 ; ⑤ 三 角 函 数 中 的 正 切 函 数 余切函数 y y ? t a n x ( xRxk ? , 且 ? ? ?, kZ ? ) , ? c o t x ( x ? R , x ? k , k ? Z ) . 2 注意: (1)定义域是一个集合,必须用集合或区间来表示。 (2)由函数的解析式有意义来求定义域时,不能对解析式进行变形。 对于无解析式的函数的定义域问题,要注意如下几点: ① f [g(x)]的定义域为 [ a , b ] , 指的是 x 的取值范围 [ a , b ] , 而不是 g ( x ) 的范围为 [ a , b ] , 如 f (3 x? 1 ) 的定义域为[1,2] ,指的是 f (3 。 ?x?2 x? 1 )中的 x 的范围是1 ② f [g(x)]与 f [h(x)]联系的纽带是 g ( x ) 与 h ( x ) 的值域相同。

?

?

[例 1] 求下列各函数的定义域:
(1) y ?

lg(| x | ?x) 1? x
2

;

(2) y ?2 5 ? x? l g c o s. x
2

g2 x) 的定义域。 [例 2] 若函数的 f (2 x ) 的定义域是[-1,1],求 f (lo
练习题:

() x? x? 3 x ? 4 1、函数 f 的定义域是_________________,
2

函数 f (x) ?

2x 3x?x2

的定义域是____________________,

函数 f (x) ?

4 ? x2 的定义域是_____________________, x ?3 ? x

2、若函数 y 的定义域。 ?f( x ? 1 )的定义域是 [?2,3] ,求 y ? f( 2 x ? 1 )

逆向思维:已知函数的定义域,求其参数的取值范围。
2 [例] 函数 y 的定义域是 R,求实数 k 的取值范围。 ?k x ? 6 k x ? 9
2 解析:为了保证根号下面的式子恒大于或等于零,则 k ,也可以说不等式 x ? 6 k x ?? 90 2 k x ? 6 k x ?? 90 的 解 集 是

R , 当 k ? 0 时 , x?R ; 当 k ? 0 时 ,

2 ,故 0?k? 。 1 ? ?? 3 6 k 3 6 k ? 0 ? 0 ? kx ? 1 , ? R

练习题: 1、当 k 为何值时,函数 y ?
2

kx?7 的定义域为全体实数。 kx ?kx?3
2

2、已知函数 fx 的定义域为R,求实数 m 的取值范围。 ( ) ? m x ? 6 m xm ? ? 8

利用分类讨论的思想,求含有参数的解析式的定义域。 [例]设函数 y? f (x ,求函数 F 的定义 )的定义域为[0,1] ( x ) ? f ( x ? a )( ? f x ? a ) (0 a ? )
域 练习题: 1、已知函数 f ( x ) 的定义域是 [ a , b ] ,且 a ,求下列各函数的定义域: ? b?0 (1) f ( x );
2

(2) g ; (3) F ( x ) ? fx ( ) ?? f ( x ) . ( xfx ) ? ( 3 ? 1 ) ? fx ( 3 ? 1 )

2、已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0,1) ,求函数 g ( x ) ? f ( x ? a )( f x ? a ) (a ? 0) 的定义域。

3、

函数值域与最值

函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域。 下面为常见函数的值域: 一次函数 y 的值域为 R ? k xb ? ( k ? 0 )

4ac ?b2 , ??); 二次函数 ya 当 a ? 0 时值域是 [ ? x ?? b xc ( a ? 0 ) , 4a
2

4ac ?b2 当 a ? 0 时值域为 (??, ]; 4a
反比例函数 y ?

k ; y ? Ry | ? 0? (k ? 0) 的值域为 { x

指数函数 y? 且 a ? 1) 的值域为 y| y ?0 a( a ? 0 ?;
x

?

对数函数 y 且 a ? 1) 的值域为R。 ? l o g x ( a ? 0 a 正、余弦函数的值域为[-1,1] ,正、余切函数的值域为R。 求函数最值的常见方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一 个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值。因此求函数的最值与值域,其实质是相同的。 如函数 y ? 24?x 的值域是 (0,16] ,最大值是16,无最小值。再如函数 y ? x? (x ?0 ) 的值域 但此函数无最大值,和最小值,只有在改变函数定义域后,如 x ? 0 时,函数的最小 ( ? ? , ? 2 ] ? [ 2 , ? ? ) . 值为2,可见定义域对函数的值域或最值的影响。 练习题: 1、值域为 (0, ??) 的函数是(
2 A. y? x ? x ? 1
2

1 x

) C. y ? 32?x ?1
1

1 B. y ? ( )1? x 3

D. y ? lo g2 x2 )

x 2、函数 fx 的值域是 { ,则 f (?2) 与 f (1) 的大小是( ( ) ? aa (? 0 , xR ? ) fx ( ) | 0 ? fx ( )1 ? }

A. f( ? 2 ) ? f( 1 )

B. f( ? 2 )? f( 1 )

C. f( ? 2 )? f( 1 ) D. 无法确定

常见求值域的方法: ① 观察法;②换元法;③判别式法;④配方法;⑤反表示法(反函数法) ; ⑥数形结合与重要不等式法;⑦利用函数的有界性;⑧单调性。 ① 观察法
2 2 2 ?0知 4 如求函数 y? 4?x 的值域时, 由 x2 ? 0 及 4?x 故所求的值域 ? x ? [ 0 ,2 ],

为 [0, 2] 。 求函数 f (x) ? ② 换元法
运用代数式或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如 均为常数,且 a ? 0) 的函数常用此法求解。 y ? a xb ? ?c xd ?( a 、 b 、 c 、 d 用换元法时要注意两点:

2x2 ?1 的值域。 x2 ?1

①“新元”的取值范围,即换元前后的等价性,如例( 1 )中 t? 1 ,而不是看解析式 ? 2 x ? 0 有意义的取值范围。确定“新元”的取值范围,其实质是求值域 t? 1 。 ? 2 x ? 0 y ? ? t2?? t 1 ②换元后的可操作性。如例(2)中,由 9 , ,其中 ? 可取 R, ? x? 0 ? ? 3 c o s ? ? 3 ?x? 3 ,令 x
2

也 可 取 [0,2 ?]. 还 可 取 [0, ? ] , 都 能 保 证 ? 3 ?x? 3 ,,即保证换元前后的等价性。但
2 2 ,若 ? 取 R 或 [0,2 9 ??? x 9 9 c o s ? 3 s i n ?].内的值,将无法直接去掉绝对值符号,

?

?

故取 [0, ? ] 较为合理。 [例] 求下列各函数的最值。 (1) y ; ? 2 x ?1 ? 2 x 练习题: 1、 函数 y 的值域是_________________; ? x ?1 ? 2 x 函数 y? 2 ?1 ? x 的值域是__________________;
2 2 函数 y? 的值域是_______________; x ?1 ? x
2 2 2、已知 x ?y ?4,求 4x?3y 的最值。

( 2) y ??? x4 9 ? x.
2

③判别式法
把函数转化成关于 x 的二次方程 Fxy ,通过方程有实根,判别式 ? ? 0 ,从而求得原函数的 ( , )? 0
2 ax bx? c 1 ? 1 值域,形如 y? 2 1 ( a ,a 1 2不同时为零 ) 的值域常用此法求解。 ax ? bx c 2 2 ? 2

[注意]①函数的定义域应为 R;②分子、分母没有公因式;③要注意二次方程中二次项的系数,只有 二次项系数非零时,才能使用判别式。 [例]求函数 y ? 练习题: 1、 求函数 y ? 2、 求函数 y ?

2x2 ?4x?7 的值域。 x2 ?2x?3

2x 的值域。 1 ? x2

1 ? x2 的值域。 2x ? 3

④配方法
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如 F 的函数的值域问题, ( xa ) ? [ f ( xb ) ? f ( xc ) ? ]
2

均可使用配方法。 [例] 已知 f , x? 的值域。 () x?? 2l o g x ? [() fx ]? f ( x ) [ 1 ,3 ],求函数 y 3
2 2

练习题: 1、函数 y? x?x (x ? 0) 的最大值为__________。

2 1 (x ? 0) 的值域。 x x2 ⑤反表示法(反函数法)
2、求函数 f (x ) ?1? ? 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。形

c x?d (a?0 ),均可使用反函数法。此外,这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。 a x?b 5x ? 1 [例] 求函数 y ? 的值域。 ,x ? [ ? 3 ,? 1 ] 4x ? 2
如 y? 练习题: 1、已知函数 y? f (x ,那么函数 f ( x ) 的定义域为___. x ? x ? 1 ( x ? 0 ) )的反函数是 f ()
? 1

3?x (x?0 )的值域是______; 1?2x ⑥数形结合与重要不等式法
2、函数 y ? 数形结合法 若函数的解析式的几何意义较明显,诸如距离、斜率等,可用数与形结合的方法 [例]求函数 y 的最小值。 ? ( x ?? 3 )1 6 ? ( x ?? 5 )4
2 2

重要不等式

? b ? 2a b 利用基本不等式: a 。 ? b ? 2a b 用此法求函数值域时,要注意条件“一正二定三相等“如:利用 a 求某些函数值域(最
值)时应满足三个条件:① a ? 0 ,b ? 0 ;② a ? b ( 或 a b )为定值;③取等号条件 a ? b. 三个条件缺 一不可。 [例] 求下列函数的值域。

(1) y ?
练习题:

3x ; x ?4
2
2

? l o g x ? l o g 3 ? 1 (2) y 3 x

? x ? 1 ? ( 1 2 ? x ) ? 1 6 1、求函数 y 的最小值。
2

2、求 y ?

sin x 的最大值。 2 ? cos x

⑦利用函数的有界性

i n afy ? ( ) , x ? g ( y ) 形如 s 等,因为 sin a ?1, x ? 0, 可解出 y 的范围,从而求出 y 的范围,从
2 2

而求出其值域或最值。 [例] 求函数 y ?

2x ?1 的值域。 2x ?1
sin x 的值域。 2 ? cos x

[例] 求函数 y ? 练习题:

1、 函数 y ?

x2 ?1 的值域是______________。 x2 ? 1

ex ?1 2、 函数 y ? x 的值域是______________。 e ?1
⑧ 单调性法
利用函数单调性 对于常见的一次函数,二次函数,三角函数,指数函数,对数函数,以及 y ?

cx ? d 型函数,可依 ax ? b

据图象确定其单调性,然后求其最值。这里,着重介绍形如 y ? x? (k ?0 ) 的函数。在不能用 重要不等式的情况下(等号不成立) ,可考虑函数的单调性,当 x ? 0 时,函数 y ? x? (k ?0 )的 单调减区间为 (0, k ] ,单调增区间为 [ k,? x ? ( k? 0 ,x? 0 )叫做对 ? ). 平时,大家把函数 y? 号函数(图象形如“ 加以解决。 练习题: 1、函数
2 ,x ?? [3 ,3 ]时的值域是( y ? ? x ? 4 x ? 1

k x

k x

k x

“)其分界点为 ( k,2 k),至于 x ? 0 的情况,可根据函数的奇偶性

) D. [4, 5]

A. (?? ,5]

B. [5, ??)
2

C. [? 20,5]

2、已知函数 f , () x ? 2 x ? 6 xc ? 当 x? [ 1 ,3 ]时, f ( x ) 的值域是______________; 当 x?? [1 ,1 ]时, f ( x ) 的值域是______________; 当 x? [3 ,5 ]时, f ( x ) 的值域是______________。 2、函数 y ?

5 的值域是________________________; 2x ?4x?3
2

4、综合应用

①关于恒成立问题的求解。

x )?a; f (x ) ?a恒成立 ? fm in( x )?a。 f (x ) ?a恒成立 ? fm a x(
② 逆向思维,等价转化
练习题:
2 1、 设集合 Pm ,则下列关系中 ? { | ? 1 ?? m 0 } , Q ? { m ? R | m x ? 4 m x ? 4 ? 0 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 }

成立的是( A. P ? Q

) B. Q ? P C. P ? Q D. P Q ? ?

2、已知函数 y ?

ax ? b 的值域为 [?1,4] ,求实数 a , b 的值。 x2 ? 1

三、课后作业 四、1、学生本次课对老师的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

2、学生本次课对自己表现情况总结:

学生签字: 五、教师评定: 1、学生上次作业完成情况: 2、学生本次上课表现情况: 3、老师对本次课的总结:

教师签字: 家长签字: www.longwenedu.com 主任签字_______ 龙文教育教务处 2014 年 月 日


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