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第三讲函数的定义域与解析式


教 材 面 面 观 1.__________________________,称为函数的三要素.

答案

定义域、对应关系及值域

2.区间与无穷大,设 a,b 是两个实数,且 a<b,我们规定: (1)________________叫做闭区间,表示为[a,b]; (2)________________叫做开区间

,表示为(a,b); (3)____________叫做半开半闭区间, 分别表示为[a,b),(a, b]; (4)满足 x≥a,x>a,x≤a,x<a 的实数 x 的集合分别记作 ________、______、______、______,这样的区间称为无穷区间.

答案 (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合 (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合 (3)满足不等式 a≤x<b,或 a<x≤b 的实数 x 的集合 (4)[a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)

3.映射的概念 设 A,B 是________集合,如果按照某一个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有 ____________________与之对应,那么就称对应 f:A?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.

答案

两个非空的

唯一确定的元素 y

4.表示函数的常用方法有_________、_________、________.

答案

解析法

列表法

图象法

5.分段函数是____________________________.

答案 在函数定义域内, 对于自变量 x 的不同取值区间, 有 着不同的对应法则的函数

考 点 串 串 讲 1.函数的概念 (1)定义 设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集 合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A?B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作 y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)对函数定义的理解需注意: 首先从函数的结构看, 函数的结构包括三个部分: 函数的定义域 A 与值域 B,函数的对应关系.其中函数的定义域是自变量 x 的取值范 围,函数的值域是函数值的全体构成的集合,这两个集合都是非空的 数集;其次从对应关系看:①对应关系 f 是确定的,对于每一个具体的 函数,都有一个具体的对应法则 f.如:函数 y=2x+1,定义域是 R, 对应法则 f 是把 R 中的(每一个)数 x 先 2 倍将所得的积再加上 1,所得 结果为 y,因此函数值的集合即值域也是 R.再如函数 y=x2+1,定义 域是 R,对应法则 f 是把 R 中的数 x 先平方后再加上 1.所得的结果为 函数值 y, 因此函数值的集合即值域为{y|y≥1}; ②对应法则 f 使对于集 合 A 中即定义域中的每一个数 x 在集合 B 即值域中都有唯一确定的数 f(x)和它(指 x)对应.“唯一确定”的意思就是在值域 B 中,有且只有 一个 y,所以按照对应法则 f,在 B 中存在而且唯一的 y 与 x 对应.如 果按照对应法则 f,对于 A 中的某个数 x 在 B 中没有与它对应的 y 值, 或虽然有但不止一个,即下面的两种情形:

像这样的对应关系 f 就不能构成函数.用映射的观点看就是定 义域 A 中的每一个数在值域 B 中都有象,而且只有一个象.这是 f 能够构成函数的一条非常重要的原则.值域 B 中的每个数在 A 中也 都能找到原象.有的或许不止一个原象,但这并不影响它成为函数 的值域.

如:

上图(左图)中值域 B 中的每个 y 在 A 中只有一个原象 x,图(右 图)中值域 B 中的“0”在 A 中只有一个原象“0”,而 1 与 4 在 A 中分别有两个原象.但 y=2x 与 y=x2 都是函数.

(3)两个函数的对应关系相同且定义域与值域都分别相同,这时 才可以说两个函数是相同的,所以两个函数是否相同只与它们的结 构的三个部分(定义域,值域,对应法则)是否相同有关,而与它们究 竟是用什么字母表示无关. 如函数 y=x2(x≥0)与 y=x2(x∈R)是不同的函数, 因为定义域是 不同的,而 y=x2-x+1,x∈R,与 s=t2-t+1,t∈R 是同一函数.

(4)对于函数 y=f(x)中的对应法则“f”的理解: ①字母“f”代表一种运算法则,例如函数 f(x)=x2-3x+4, x∈(2,5), 对应法则“f”的意思是把在区间(2,5)内的任一数值 x 进行这样 的运算:先把自变量 x 平方,然后再减去自变量 x 的 3 倍,最后再 加上 4.由于这样叙述比较麻烦, 就用字母“f”代替, 表示上述运算, 这样书写就会比较简单适用. ②对应法则“f”只对定义域内的数值起作用,例如函数 f(x)= x2-3x+4,x∈(2,5),对应法则“f”只对定义域(2,5)内的数起作用, f(6)无意义. ③对应法则不仅用字母“f”表示,还常用字母“g”,“h”, “φ”等表示.

2.区间的概念 设 a、b 是两个实数,而且 a<b.规定: (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 表示为[a, b]. (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间表示为(a, b). (3)满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半 闭区间.分别用[a,b),(a,b]表示,其中[a,b)叫左闭右开区间, (a,b]叫左开右闭区间. (4)实数集 R 也可以用区间表示为(-∞,+∞),其中“∞”读 作无穷大,“+∞”,“-∞”分别读作正无穷大与负无穷大.

(5)把满足不等式 x≥a,x>a,x≤b,x<b 的实数 x 的集合分别 表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b). 其中 a、b 叫区间的端点.注意区间的写法一定要规范,马虎不 得.端点处取等号的一定要“闭”上,否则就“开”. 对于区间的书写一定要注意前小后大的原则.

3.映射的概念 (1)对应 对应与集合一样,也是数学中的原始概念.我们知道:实数与 数轴上的点、坐标平面内的点与有序实数对之间都具有对应关系. 对应是两个集合 A 与 B 之间的某种关系. 对于 A 中元素而言,有下列三种对应. ①对于 A 中的每一个元素,B 中有唯一元素与之对应. ②对于 A 中的每一个元素,B 中有不止一个元素与之对应. ③对于 A 中的每一个元素,B 中没有元素与之对应. 同样对 B 中元素而言也有下列三种对应. ④对于 B 中每一个元素,A 中有唯一元素与之对应. ⑤对于 B 中每一个元素,A 中有不止一个元素与之对应. ⑥对于 B 中每一个元素,A 中没有元素与之对应.

(2)映射——一种特殊的对应 ①映射的定义: 设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中 的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应.那么这样 的对应(包括集合 A、B,以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集 合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A?B.

②对映射定义的理解需注意 第一,从映射的定义看,映射的结构也包括三个部分:集合 A 与 B 以及从集合 A 到集合 B 的对应关系 f, 其中集合 A 与 B 的元素, 可以是数,也可以是点或其他什么. 第二,在映射中,集合 A 中的“任何一个元素”在集合 B 中都 有唯一的象,即不会存在 A 中的某一元素 a 在集合 B 中没有象或者 不止一个象的情况.即不会出现上面所述的②,③两种情况. 1 如:设 A={0,1,2},B={0,1, }.对应法则 f 是“取倒数”.这 2 时由于 A 中元素“0”在 B 中没有象,所以 A、B、f 就不能构成映 射.但对于映射来说,A 中两个或两个以上的元素可以允许有相同 的象.即映射允许“多对一”,而不允许“一对多”,所以映射包 括单值对应和多值对应两类.

第三,在映射中,对于集合 A 中的元素 a,在法则 f 的作用下 有集合 B 中的元素 b 与之对应,我们称 b 是 a 的象,而 a 是 b 的原 象.根据映射的定义,对于集合 B,并不要求每个元素都有原象.即 由全体象构成的集合是 B 的子集.

(3)映射与函数的异同 相同点: 第一,映射与函数的结构相同.都由三个部分构成,两个集合 与一个对应法则,称之为三要素. 第二,对应性质相同,都是单值对应与多值对应即都是“一对 一”(当然包含一一对应)或“多对一”的对应. 不同点: 第一,从结构上看,函数的定义域与值域都是非空的数集,而 映射中两个集合 A 与 B 中的元素可以是数或点或别的什么. 第二,从性质上看,函数的值域是全体函数值的集合,而映射 中 B 集合则不然,全体 A 中元素的象所构成的集合只是 B 的子集, 即{f(a)|a∈A}?B. 联系:函数是一种特殊的映射.即非空数集间的映射.

4.函数的三种表示法及其各自的优点与不足 (1)解析法与分段函数 ①定义:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示的方法叫 做解析法,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.如:s ?x ?x≥0? ? 2 =60t ,y= x-2,y=? . ?-x ?x<0? ? 这三个函数都是用解析法表示的, 第三个函数虽然分成了两段, 但还是用一个等号连接,不要以为是分成了几段就是几个函数,实 际上是一个函数,这类函数叫分段函数,其定义域是各段自变量范 围的并集. ②由函数定义可知任一垂直于 x 轴的直线与函数的图象至多一 个交点.

③优点与不足 用解析式表示函数关系的优点是:函数关系清楚,容易从自变 量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质.而 不足是抽象、不直观,不能像列表法与图象法那样对函数的动态变 化那样很具体,很直观地被感知.

(2)列表法 ①定义:把两个变量的函数关系用表格的形式表示出来.这种 表示法就叫做列表法. 例如,国内生产总值表,就表示了我国生产总值与年份的函数 关系,还有车站内里程与票价表,就表示了票价与里程的函数关系. ②优点与不足 用列表法表示函数关系的优点是具体、直观,不必通过计算就 知道当自变量取某些值时函数的对应值;而不足是对函数规律,即 函数与自变量之间的内在联系表达不清楚.对应法则究竟是什么, 从表格上有时很难看出来.

(3)图象法 ①定义:图象法就是用函数图象来表示两个变量之间的关系. 例如我国人口出生率变化曲线,它表示了人口出生率与时间的 函数关系,又如护士记录的人体温度随时间变化的曲线也表示了人 体温度与时间的函数关系.生活和生产实践中用图象法表示函数的 例子很多. ②优点与不足 用图象法表示函数的优点是:直观形象,对函数与自变量之间 的运动变化的关系很形象、很直观地显示出来;而不足是不能了解 函数与自变量运动变化的本质规律.因为图象显示出来的毕竟只是 一部分,还有其他的呢,即继续下去又是什么规律,不得而知. (4)函数的三种表示法虽然各有优点,但也各有不足,在实践中 可以相互补充、相互利用、相互转化.

5.函数定义域的求法与应用 (1)法则 函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,因此必须 遵循以下法则(在此只列举中学数学中常用的): ①分式的分母不能为零; ②偶次根号下不能为负; ③对数的真数必须大于 0,如果对数函数的底数中也含有自变 量,则底数大于 0 且不等于 1; ④指数函数的底数大于 0 且不等于 1; ⑤正切函数对定义域的限制; ⑥由有限个函数的四则运算得到的函数,其定义域是这有限个 函数的定义域的交集; ⑦对于由实际问题建立的函数,其定义域还应该受到实际问题 的具体条件制约.

(2)应用 关于定义域的应用,比较常见的有以下几个方面: ①求值域或确定函数值的变化范围 ②解析式的变形或化简 在运算过程中,要经常对解析式进行变化或化简处理,但要注 意同时乘以或除以一个符号不确定的因子时,要讨论是否在定义域 范围内,否则就不是恒等变形,或者说就不是原来的函数了. ③解不等式或解方程 在解不等式时,应注意不等式的解集是定义域的子集. 在解方程时由于对方程两边进行了“平方”,“同乘”或“同 除”,导致未知数的范围扩大或缩小从而产生了增根或失根这类现 象.防止的对策是:第一,变形时,保证是同解变形;第二,如不 是同解变形时,则需检验;第三,对实际问题应检验是否符合实际 意义,即是否在定义域内.

④求函数的最值 函数最值是自变量 x 取某个值 x0 时所得到的对应的函数值的极 端情形 f(x0),如果这个值 f(x0)在定义域中没有这样的 x0 与它对应, 那么它就是伪值.在解题中往往有许多同学不注意而导致错误.

6.复合函数 若 y 是 u 的函数, 又是 x 的函数, y=f(u), u 即 u=g(x), x∈(a, b),u∈(m,n),那么 y 关于 x 的函数 y=f[g(x)],x∈(a,b)叫做 f 和 g 的复合函数,u 叫做中间变量,u 的取值范围是 g(x)的值域. 复合函数的定义域由外函数的定义域、内函数的值域以及内函 数的定义域共同确定.

7.求函数解析式的问题类型与解题方法 (1)求函数解析式的常见问题类型: ①已知 f(x)和 g(x),求 f[g(x)]; ②已知 f[g(x)]和 g(x),求 f(x); ③解含 f(x)的方程,求 f(x); ④已知 f(x)的局部性质,求 f(x); ⑤已知 f(x)的图象特征,求 f(x). (2)求函数解析式的常用方法: 常用方法有:代入法、换元法、待定系数法、配凑法、赋值法、 解方程(或方程组)法等. 在何种情况下使用哪一种方法,应根据具体情况确定,但是待 定系数法一般在已知函数的基本类型后方可使用.

典 例 对 对 碰 题型一 相同函数的判定 例 1 给出下列四组定义在实数范围内的函数 f(x)和 g(x): 1 ①f(x)=lgx,g(x)= lgx2; 2 ②f(x)=x,g(x)= x2; ③f(x)=2x+1,g(x)=3x+1; x+1 2 ④f(x)=x+1,g(x)= 2 (x +1); x +1 其中 f(x)与 g(x)表示同一函数的组的序号是______. 分析 判断两个函数是否为同一函数的依据是函数的三要素, 若两个函数在定义域、 值域、 对应法则这三个要素中有一个不相同, 那么这两个函数就不是同一个函数.由于函数的定义域一旦确定, 那么在给定的对应法则之下,函数的值域也被确定,所以判断两个 函数是否为同一函数,可以主要从对应法则和定义域是否相同来进 行分辨.

解析 ①中 f(x)的定义域为(0, +∞), g(x)的定义域为(-∞, 而 0)∪(0,+∞), ②中 f(x)的值域为 R,g(x)的值域为[0,+∞), ③中 f(x)与 g(x)的对应法则不同, ④中表面看两个函数不同,变形后可以看到两个函数的三个要 素都相同. 答案 ④ 点评 当给出函数的对应法则比较复杂时,通常需要化简函数 解析式,这时应力求避免在变形的过程中改变函数的定义域.如①, 1 2 若不注意 g(x)= lgx =lg|x|,则将在确定定义域时产生错误. 2

变式迁移 1 给出 3 组定义在实数范围内的 f(x)和 g(x): ①f(x) = x2 , g(x) = |x|2 ; ②f(x) = x2 , g(x) = x|x| ; ③f(x) = 4x2-12x+9,g(x)=|3-2x|,其中两函数相同的是( ) A.①③ B.②③ C.③ D.以上答案都不对

答案 A 解析 两函数相同,应该是定义域与函数关系完全相同.①中 f(x)与 g(x)解析式相同, 定义域也相同;②中 f(x)与 g(x)函数关系不 同;③中 f(x)与 g(x)定义域相同.故选 A.

题型二 函数的定义域 1 2 例 2(1)y= log ?x -1?的定义域是( ) 2 A.[- 2,-1)∪(1, 2] B.(- 2,-1)∪(1, 2) C.[-2,-1)∪(1,2] D.(-2,-1)∪(1,2) ?2-x??x+1? (2)函数 f(x)= 的定义域是( ) |x|+x A.(-∞,-1]∪[2,+∞) B.(0,2] C.[-1,2] D.[2,+∞) 分析 根据解析式的意义列出不等式组, 解出各个不等式的解 集后,利用数轴来确定它们的交集,要特别注意对于各个区间端点 值的取舍考虑.

1 (1)∵log (x2-1)≥0,∴0<x2-1≤1, 2 故得 1<x2≤2, ∴x∈[- 2,-1)∪(1, 2]. ∴正确选项为 A; ??2-x??x+1?≥0, ? (2)∵? ?|x|+x≠0, ? 解析
??x+1??x-2?≤0, ? ∴? ?|x|≠-x, ?

即-1≤x≤2,且 x>0,∴x∈(0,2] ∴正确选项为 B. 答案 (1)A (2)B

变式迁移 2 求下列函数的定义域. 1 (1)y= ; 1 1+ x ?x+1?0 (2)y= ; |x|-x (3)y= 3-|x-2|+lg(3x+7)2; 1 (4)y= 4-x2+ . |x|-1

?x≠0, ? 解析 (1)自变量 x 需满足? 1 1+ ≠0. ? x ?
解得 x≠0,x≠-1. ∴函数的定义域为{x|x∈R,且 x≠0,x≠-1}. ?x+1≠0 ?x≠-1, ? ? (2)自变量 x 需满足? 解得? ?|x|-x>0. ?x<0. ? ? ∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0). ?3-|x-2|≥0, ① ? (3)自变量 x 需满足? ?3x+7≠0. ② ? 不等式①知|x-2|≤3,即-3≤x-2≤3, ∴-1≤x≤5. 7 ②即 x≠- ,∴函数的定义域为[-1,5]. 3

?4-x2≥0, ? (4)要使函数有意义,需有? ?|x|-1≠0, ? ?-2≤x≤2, ? 有? ?x≠± 1. ?

不等式组的解集为[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2]. 1 2 ∴ 函 数 y = 4-x + 的 定 义 域 为 [ - 2 , - 1)∪( - |x|-1 1,1)∪(1,2].

题型三 复合函数的定义域问题 例 3(1)已知函数 f(x)的定义域为(0,1),求 f(x2)的定义域; (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),求 f(x)的定义域; (3)已知函数 f(x+1)的定义域为[-2,0],若 k∈(0,1),求 F(x)= f(x-k)+f(x+k)的定义域.

解析 (1)∵f(x)的定义域为(0,1). ∴要使 f(x2)有意义,需使 0<x2<1, 即-1<x<0 或 0<x<1, ∴函数 f(x2)的定义域为{x|-1<x<0 或 0<x<1}. (2)∵f(2x+1)的定义域为(0,1), 即其中的自变量 x 的取值范围是 0<x<1, 令 t=2x+1,则 1<t<3, ∴f(t)的定义域为{t|1<t<3}, ∴函数 f(x)的定义域为{x|1<x<3}.

(3)∵f(x+1)的定义域为[-2,0], ∴-1≤x+1≤1, 令 t=x+1, ∴-1≤t≤1, ∴f(t)的定义域为[-1,1]. 即 f(x)的定义域为[-1,1]. 要使 F(x)=f(x-k)+f(x+k)有意义, ?-1≤x-k≤1, ? 则? ?-1≤x+k≤1, ?
?k-1≤x≤k+1, ? 解得? ?-k-1≤x≤1-k, ?

∵k∈(0,1), ∴k-1≤x≤1-k, ∴函数 F(x)=f(x-k)+f(x+k)的定义域为{x|k-1≤x≤1-k}.

点评 (1)如果函数 f(x)的定义域为 A,对于复合函数 f[g(x)]而 言,其定义域是使得函数 g(x)∈A 的 x 的取值集合. (2)如果 f[g(x)]的定义域为 A,则函数 f(x)的定义域是函数 g(x) 在 x∈A 上的值域. (3)形如 f(x)= ax2+bx+c的函数,在研究定义域问题时,要注 意分 a=0 与 a≠0 两种情况讨论.

变式迁移 3 (1)已知函 数 f(x)的定义域是 [- 2,2], 则 f(x2 - 1)的定义域 是 ________. (2)已知函数 f(x-1)的定义域是[-2,2],则 f(2x+1)的定义域是 ________.

答案 (1)[- 3, 3] (2)[-2,0) 解析 (1)由分析得-2≤x2-1≤2,∴-1≤x2≤3, 又 x2≥0,∴0≤x2≤3, ∴f(x2-1)的定义域是[- 3, 3]. (2)由已知-2≤x≤2,∴-3≤x-1≤1, 即在 f(x)中,自变量的取值范围是[-3,1], ∴-3≤2x+1≤1, 解得 f(2x+1)的定义域是[-2,0].

题型四 分段函数
??x+1?2,x<1, ? 例 4 设函数 f(x)=? ?4- x-1,x≥1; ?

则使得 f(x)≥1 的自变量

x 的取值范围是( ) A.(-∞,-2]∪[0,10] B.(-∞,-2]∪[0,1] C.(-∞,-2]∪[1,10] D.[-2,0]∪[1,10]

解析 若(x+1)2≥1, 则 x≤-2,若 x≥0,此时应满足 x<1 的条件, ∴此时不等式的解是 x≤-2,或 0≤x<1; 若 4- x-1≥1,则 x≤10,此时应有 x≥1, 故此时的不等式的解是 1≤x≤10, 综合即得原不等式的解集为(-∞,-2]∪[0,10]. 答案 A

变式迁移 4
?2x,x≤0; ? 已知函数 f(x)=? ?f?x-3?,x>0. ?

则 f(5)=(

)

A.32 B.16 1 1 C. D. 2 32

答案

C

1 - 解析 由已知得 f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=2 1= . 2 故应选 C.

题型五 求函数解析式的问题类型与解题方法 例 5 在下列条件下,求函数 f(x)的解析式: (1)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17; 1 1 (2)已知 f(x+ )=x3+ 3; x x (3)已知 f(x-2)=x2-3x+5; (4)已知等式 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对一切实数 x、 都成立, y 且 f(0)=1. 分析 (1)中已知函数是一次函数,可以用待定系数方法;(2)可 以用换元法或配凑法;(3)可以用换元法;(4)可以用赋值法.

解析 (1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 代入 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 得 ax+5a+b=2x+17, 比较对应项的系数得 a=2,b=7, ∴f(x)=2x+7. 1 1 1 (2)∵f(x+ )=(x+ )3-3(x+ ), x x x ∴f(x)=x3-3x.

(3)令 x-2=t,则 x=t+2 ∴f(t)=(t+2)2-3(t+2)+5 即:f(t)=t2+t+3 ∴f(x)=x2+x+3 (4)令 x=0,则已知等式化为 f(-y)=f(0)-y(0-y+1), 即 f(-y)=y2-y+1,令 x=-y, 则 f(x)=x2+x+1.

变式迁移 5 1 已知函数 f(x)满足条件 2f(x)+f( )=3x 对任意不为零的实数 x x 恒成立,求 f(x)的解析式.

1 解析 ∵2f(x)+f( )=3x 对于非零实数 x 恒成立, x 1 3 1 ∴2f( )+f(x)= 也成立,联立两个方程,解得 f(x)=2x- , x x x 此即所求的函数解析式.

题型六 映射 例 6 设 A={(x, y)|x∈Z, |x|<2, y∈N*, 且 x+y<3}, B={0,1,2}, 给出从 A 到 B 的对应关系 f:(x,y)→x+y,试判断这一对应是否是 从 A 到 B 的映射?若为映射,指出 B 中元素 1 的原象. 分析 由于 A 中点的横坐标是整数,纵坐标是自然数,所以可 以通过化简来具体确定集合 A 中的元素.当集合 A 被确定后,正确 认识“什么是从 A 到 B 的映射”成为解题的关键.

解析 依题意 A={(-1,1), (-1,2), (-1,3), (0,1), (0,2), (1,1)}, 逐一检验知, 中任一元素的横、 A 纵坐标之和 x+y 都是 B 中的元素, 即 A 中的每一元素,在对应 f 之下,B 中都有唯一的元素与之 对应, 由映射的概念可以确定这一对应是从 A 到 B 的映射. ∵-1+2=1,0+1=1, ∴B 中元素 1 的原象是(-1,2)和(0,1).

变式迁移 6 设 M={a,b,c},N={-2,0,2}. (1)求从 M 到 N 的映射的个数; (2)从 M 到 N 的映射满足 f(a)>f(b)≥f(c),试确定这样的映射 f 的个数.

解析 (1)根据映射的要求:“每元必有象,每元象唯一”.M 中元素 A 可对应 N 中的-2,0,2 中任一个,有 3 种对应方法.同理, M 中元素 b、c 也各有 3 种对应方法,根据乘法原理,从 M 到 N 的 映射的个数为 33=27. (2) f(a) f(b) f(c) 0 -2 -2 2 -2 -2 2 0 -2 2 0 0 满足 f(a)>f(b)≥f(c)的映射是从 M 到 N 的特殊映射, 可具体化, 通过列表求解. 故符合条件的映射 f 有 4 个.

题型七 建立实际问题的函数关系式 例 7A、B 两地相距 150 千米,某汽车以每小时 50 千米的速度 从 A 地到 B 地,在 B 地停留 2 小时之后,又以每小时 60 千米的速 度返回 A 地,写出该车离开 A 地的距离 s(千米)关于时间 t(小时)的 函数关系式. 分析 利用距离=时间×速度,将时间分成 3 段:从 A 到 B; 在 B 地停留;从 B 返回 A 来求解.

由 50t1=150 得 t1=3, 5 由 60t2=150 得 t2= . 2 ∴当 0≤t≤3 时,s=50t;当 3<t≤5 时,s=150;当 5<t≤7.5 时,s=150-60(t-5). 故所求函数关系式为: ?50t, t∈[0,3], ? s= ?150, t∈?3,5], ?150-60?t-5? t∈?5,7.5]. ?

解析

变式迁移 7 渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实 际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量,已知鱼群 的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率乘积成正比,比例系数 为 k(k>0). (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值.

x 解析 (1)由条件得 y=kx(1- )(0<x<m). m x k m 2 km (2)y=kx(1- )=- (x- ) + , 2 4 m m m km 当 x= 时,y 取得最大值 . 2 4

题型八 抽象函数 例 8 已知函数 f(x)对于 x>0 有意义,且满足: ①f(2)=1;②f(xy)=f(x)+f(y);③x≥y?f(x)≥f(y). (1)证明:f(1)=0; x (2)证明:f( )=f(x)-f(y); y (3)求 f(4)的值; (4)如果 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围. x 分析 (1)(3)对 x、y 赋特殊值,(2)将 x 变为 y·, y (4)将 2 用函数值的形式表示,然后利用单调性解不等式.

解析 (1)证明:由②令 x=y=1,得 f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0. x x (2)证明:∵x= · y,由②得 f(x)=f( )+f(y), y y x ∴f( )=f(x)-f(y). y (3)由②令 x=y=2,得 f(4)=f(2)+f(2)=2. (4)由③及 f(4)=2 及 x>0,得 f(x)+f(x-3)≤f(4),即 f[x(x-3)]≤f(4)

?x>0, ? ??x-3>0, ?x?x-3?≤4, ?
解得 3<x≤4,故 x∈(3,4].

点评 解(4)题时注意函数的定义域,不能只解 x(x-3)≤4 而忽 ?x>0 ? 视了? ?x-3>0. ?

变式迁移 8 设函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且满足 f(xy)=f(x)+f(y),若 1 f( )=1, 3 (1)求 f(1)的值; (2)若 f(x)=2,求 x 的值.

1 (1)令 x= ,y=1,得 f(1)=0. 3 1 1 (2)∵f( )=1,∴f( )=2. 3 9 1 故 x= . 9 解析

题型九 新定义和新情境下的对应问题 例 9 现代社会对破译密码的难度要求越来越高.有一种密码把 英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的 a,b,c,?,z 这 26 个字母(不论大小写)依次对应 1,2,3, 26 这 26 个自然数(见下表): ?, a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v wx y z 11111111112222222 123456789 01234567890123456 现给出一个变换公式: ?x+1 ?x∈N*,x≤26,x不能被2整除?, ? 2 x′=? ?x+13?x∈N*,x≤26,x能被2整除?, ?2

5+1 8 将明文转换成密文,如 8? +13=17,即 h 变成 q;5? = 2 2 3,即 e 变成 c.按上述规定,若将明文译成的密文是 shxc,那么原来 的明文是( ) A.love B.lhho C.ohhl D.eovl

?x+1 ? 2 ≤13, 解析 由题意知:x′=? ?x+13>13, ?2



x ∴s? 19 +13?x=12?l. = 2 x+1 x 同理: 8 h? = ?x=15?o; 24 +13?x=22?v; 3 x? = c? 2 2 x+1 = ?x=5?e,即 love,故选 A. 2 答案 A 点评 本题考查了明文与密文间的映射对应关系,考查了考生 在新信息的处理过程中分析问题与解决问题的能力.解决新定义问 题时,一定要沉着冷静地阅读试题提供的材料,对所获取的信息进 行加工处理,对于新定义图形问题还需要仔细观察图形,寻找规律.

变式迁移 9 定义映射 f:(a1,a2,a3,a4)→(b1,b2,b3,b4),其中 ai、bi(i =1,2,3,4)满足等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4.则 f(4,3,2,1)等于( ) A.(1,2,3,4) B.(0,3,4,0) C.(-1,0,2,-2) D.(0,-3,4,-1)

答案 D 解析 在等式 x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x +1)2+b3(x+1)+b4 中, 令 x=0,得 1=1+b1+b2+b3+b4 ① 令 x=-1,得-1=b4 ② 令 x=1,得 11=16+8b1+4b2+2b3+b4 ③ 令 x=-2,得-7=1-b1+b2-b3+b4 ④ 解①②③④联立方程组得 b1=0,b2=-3,b3=4,b4=-1,对 照选项,答案选 D.

题型十 含参数解析式的定义域 例 10 已知函数 f(x)的定义域是[a,b],且 a+b>0,求下列各函 数的定义域: (1)f(x2); (2)g(x)=f(x)-f(-x).

解析

?b>a, ? (1)依题意,有? ?a+b>0. ?

∴b>0,且 b>|a|. 由 a≤x2≤b,得 当 a≤0 时,定义域为[- b, b]; 当 a>0 时,定义域为[- b,- a]∪[ a, b].
?a≤x≤b, ? (2)由 ? ?a≤-x≤b, ? ?a≤x≤b, ? 得? ?-b≤x≤-a. ?



∵a>-b,b>-a, ∴当 a>0 时,不等式组①的解集为?,这时函数 g(x)不存在. 当 a=0 时,不等式组①的解集为 x=0. 故函数 g(x)的定义域为{0}. 当 a<0 时,不等式组①的解集为 a≤x≤-a. 故函数 g(x)的定义域为[a,-a].

变式迁移 10 设函数 y=f(x)的定义域为[0,1],求函数 F(x)=f(x+a)+f(x- a)(a>0)的定义域.

解析

?0≤x+a≤1, ? 由? ?0≤x-a≤1, ?

?-a≤x≤1-a, ? 即? ?a≤x≤1+a. ?

∵a>0,∴-a<a,1-a<1+a. 1 1 ①当 1-a=a 时,即 a= 时,x= ; 2 2 1 ②当 1-a>a 时,即 a< 时,a≤x≤1-a. 2 1 ∴当 0<a≤ 时, 2 F(x)的定义域为[a,1-a].

题型十一 与定义域有关的逆向思维 例 11 已知函数 y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域为 R,求 实数 a 的取值范围.

解析 由对数的定义及题设条件 (a2-1)x2+(a+1)x+1>0. ① 对 x∈R 恒成立. 当 a2-1≠0 时,应有 ?a2-1>0, ? ? 2 2 ?Δ=?a+1? -4?a -1?<0. ? 5 解之 a<-1 或 a> . 3 当 a2-1=0 时,若 a=1,不等式①不是绝对不等式; 若 a=-1 时,则不等式①为 1>0,为绝对不等式. ∴符合题意的 a 的集合为 5 (-∞,-1]∪( ,+∞). 3

点评 对于①式左边,首先易想到利用二次函数的图象,即抛 物线开口向上,与 x 轴无交点.但要注意 x2 的系数含有参数 a,需 对 a2-1=0 加以讨论.

变式迁移 11 已知函数 f(x)= mx2-6mx+m+8的定义域为 R,求实数 m 的 取值范围.

解析 依照 m 是否为零进行分类讨论. ①当 m=0 时,f(x)= 8,其定义域为 R; ②当 m≠0 时,要使 mx2-6mx+m+8≥0 在 x∈R 的情况下 均成立,必须满足 ?m>0, ? ? 解得 0<m≤1. ?Δ=36m2-4m?m+8?≤0. ? 综合①、②可知 m 的取值范围为[0,1].

方 法 路 路 通 1. 判断对应是否为映射, 即看 A 中元素是否满足“每元有象” 和“且象唯一”;但要注意:①A 中不同元素可有相同的象,即允 许多对一,但不允许一对多,②B 中元素可无原象,即 B 中元素可 有剩余. 2.判断两个函数是否为相同的函数,抓住两点:①定义域是否 相同;②对应法则即解析式是否相同.注意:解析式可以化简. 3.映射是一种特殊的对应,映射中的集合 A、B 可以是数集, 也可以是点集或其他集合,这两个集合有先后次序,A 到 B 的映射 与 B 到 A 的映射是截然不同的,原象和象是不能互换的,互换后就 不是原来的映射了.

4.函数的解析式、定义域、值域 函数的解析式、定义域、值域是函数概念的三要素,而值域是 由定义域及解析式所确定的,故解析式与定义域是函数的两个独立 要素. 解析式是表示定义域和值域之间的一种对应关系,与所取的字 母无关,如 y=3x2+1 与 y=3t2+1 为同一个函数.

5.确定函数定义域的原则: (1)当函数 y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在 x 轴 投影所覆盖的实数的集合. (2)当函数 y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数 x 的集合; (3)当函数 y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式 有意义的实数的集合; (4)当函数 y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题 的意义确定.

基本上可分为自然定义域与限定定义域两类: ①如果只给函数的解析式(不注明定义域), 其定义域应为使解析 式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; ②如果函数受应用条件或附加条件所制约,其定义域称为限定 定义域. 定义域经常作为基本条件(或工具)出现在高考试题中, 通过函数 性质或函数应用来考查,具有隐蔽性,不为考生所注意,即主要求 限定定义域,所以在解决函数问题时,必须树立起“定义域优先” 的观点,以先分析定义域来帮助解决问题.

6.确定函数的定义域的依据 (1)若 f(x)是整式,则定义域为全体实数; (2)若 f(x)是分式,则定义域为使分式的分母不得为零的全体实数; (3)若 f(x)是偶次方根,则定义域为使被开方式为非负的全体实数; (4)函数 f(x)=x0 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞); (5)模型函数的定义域是与之对应的函数的定义域模型,例如: y=logax(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞), π y=tanx 的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z}. 2 (6)对于复合函数求定义域问题,其一般步骤是:若已知 f(x)的定 义域为[a, 其复合函数 f[g(x)]的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出 b], 即得.例如:已知 f(x)的定义域为 x∈[1,2],则 f(x2)的定义域应由 1≤x2≤2 解得 x∈[- 2,-1]∪[1, 2]. (7)定义域结果要写成区间或集合的形式.

7.求函数的解析式时的注意点 (1)对于分段函数应分别求出各区间内的函数关系,再组合在一 起 , 注 意 各 区 间 的 点 既 不 重 复 , 也 不 遗 漏 , 例 如 函 数 f(x) = ?0,x≥0, ? ? 的定义域是 R. ? ?1,x<0 (2)关于复合函数的表达式问题,要特别注意内层函数的值域落 在外层函数定义域哪一段内,进而选择相应的表达式计算. 8.许多实际应用题需要建立函数的解析式,这时要根据题中给 定的条件,设定自变量列出函数解析式,并且要根据实际情况写出 函数的定义域.

正 误 题 题 辨 kx+7 例当 k 为何值时,函数 y= 2 的定义域是一切实数? kx +4kx+3 kx+7 错解 由 y= 2 的定义域为一切实数可知,分母 kx2 kx +4kx+3 +4kx+3≠0 对一切实数 x 恒成立. 3 ∴Δ=(4k)2-4k· 3<0,解之得 0<k< . 4 3 ∴当 0<k< 时,函数定义域为 R. 4 点击 关于 x 的方程 kx2+4kx+3=0 中含有参数 k,由于 x2 项 的系数为 k,所以当 k=0 时,它不是一元二次方程,而此时 3≠0 恒成立.

kx+7 正解 由 y= 2 的定义域为一切实数,可得分母 kx2 kx +4kx+3 +4kx+3≠0 对 x∈R 恒成立. ①当 k=0 时,则 3≠0 成立 3 ②当 k≠0 时,Δ<0,解得 0<k< . 4 综合①②知, 3 当 0≤k< 时,y 的定义域是 R. 4

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