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广东省汕头市金山中学2016届高三数学上学期期末考试试题 理


2015-2016 汕头金山中学高三理科数学期末考试试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 z 满足 (?1 ? i) z ? (1 ? i) ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位于( )
2

A.第一象限 2.已知向量 a A.
5
?

B.第二象限
? ? ?

C.第三象限
? ?

D.第四象限

? (2,1), a? b ? 10, a ? b ? 5 2 ,则 b ? ()
B. 10 C. 5 D. 25 )

3.已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩?IM=?,则 M∪N=( A.MB.N C.ID.? 4.定义域为 R 的函数 f ( x) ? x2009 x ? a ? b 是奇函数的充要条件是()

A : ab ? 0

B:a?b ? 0

C:

b ?0 a

D : a 2 ? b2 ? 0

5.已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上一个动点,Q 为圆 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的 距离与点 P 到抛物线的准线距离之和最小值是( ) A.5 B.8 C. 5 ? 2 D. 17 ? 1 6. 在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点,在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外),连同 O 点共 m+n+1 个点,现任 取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有( )
2 1 2 A.C1 m?1Cn ? Cn?1Cm 2 1 2 B.C1 mCn ? CnCm 2 1 2 1 1 2 2 1 C.C1 D.C1 mCn ? CnCm ? CmCn mCn ?1 ? Cm?1Cn

7 .某几何体的三视图如图 7-1 所示,若这个几何体的 体积为 24 ,则 h ? () A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

h
4 正视图 4 4 侧视图

8 .已知条件 p :| x ? 1 |? 2 , 条件 q :| x |? a , 且 ? p 是

图 7-1 俯视图

? q 的必要不充分条件 , 则实数 a 的取值范围是
( ) A. 0 ? a ? 1 B. 1 ? a ? 3 C. a ? 1
2

D. a ? 3
2

9 .设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是( ) A.[ 1 ? 3 , 1 ? 3 ] B.(-∞, 1 ? 3 ]∪[ 1 ? 3 ,+∞) C.[ 2 ? 2 2 , 2 ? 2 2 ]D.(-∞, 2 ? 2 2 ]∪[ 2 ? 2 2 ,+∞)

1

10. 已知定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? 2 f ? x ? 2? , 当 x ? ?0 ,2
?

? 时 f ? x? ? ?2x2 +4x ,


设 f ? x ? 在 ? 2n ? 2,2n? 上的最大值为 an (n ? N ) ,且 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn ? ( A. 2 ?

1 2n ?1

B. 4 ?

1 2
n?2

C. 2 ?

1 2n

D. 4 ?

1 2n ?1

11.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π ,当 x=时,函数 f(x)取 得最大值,则下列结论正确的是( ) A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2) 12.已知函数: f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2015 x 2 x3 x 4 x 2015 ? ? ??? g ( x ) ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2015 2 3 4 2015

设函数 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 5), 且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内 , 则 b ? a 的最小值为( A. 8 ) B. 9 C. 10 D. 11

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、已知 n ?

?

e4

1

3 1 dx ,那么 ( x ? ) n 展开式中含 x 2 项的系数为 x x

? x ? y ? 3 ? 0, ? 14.若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则实数 m 的取值范围为. ? x ? m, ?
15.已知实数 x , y 满足 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的最大值是.
x y

16、已知 函数 f ? x ? ? ? 数 a 的取值范围是

?log2 (1 ? x) ? 1 ?1 ? x ? k
3 ? x ? 3x ? 2

k ?x?a

,若存在 k 使得函数 f ? x ? 的值域为 ? 0, 2? ,则实

三.解答题(共 6 小题,前五题为必答题,每题满分 12 分,后三题为选做题,每题满分 10 分) 17. 在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S ? 5 3 ,b=5,求 sin B ? sin C 的值.

2

18. 数列

?an ? 的前 n 项和为 S , 已知 S (1) 求数列 ?an ? 的通项公式;
n

n

? an ? ? n ( n ?

N * ) 恒成立.

(2)

? ?ln(an ? 1), n为奇数 bn ? ? ,求 ?bn? 的前 2n 项和 T2n . a , n 为偶数 ? ? n

19. 在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,

AB ? 4, AD ? 2 2, CD ? 2 ,PA ? 平面 ABCD ,PA ? 4 .
(Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ?平面 PAC ; (Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC

P

PQ 所成角的正弦值为 3 ,求 的值. PB 3
B
2 2

A C

D

20.已知直线

3x ? y ? 3 ? 0 经过椭圆 C : x 2 ? y2
a b

? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点和上顶点.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点

? 0, ?2? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的 A 、 B 两点,若 ?AOB 为钝角,求直线 l 斜率 k 的

取值范围; (3)过椭圆 C 上异于其顶点的任一点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 2 的两条切线,切点分别为 M , N ( M , N 不在坐标轴上) ,若直线 MN 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 m 、 n ,证明: 值. 21. 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , ( M 异于原点) ,f ? x ? g ( x) ? ln x ,f ( x) 图象与 x 轴交于点 M
2

1 1 ? 2 为定 2 4m 3n

在 M 处的切线为 l1 , g ?x ? 1? 图象与 x 轴交于点 N 且在该点处的切线为 l2 ,并且 l1 与 l2 平行. (Ⅰ)求 f (2) 的值; (Ⅱ)已知实数 t ? R ,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值; (Ⅲ)令 F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,存在实 数 m 满 足 :

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 , 并 且 使 得 不 等 式

| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒 成立,求实数 m 的取值范围.

3

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答, 如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22、选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆周角 ???C 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线与弦 ? C 的延长线交于点 ? , ?D 交 ? C 于点 F .

? ? ? 求证: ?C//D? ; ? ,求 ???C . ? ?? ? 若 D , ? , C , F 四点共圆,且 ? AC ? BC

23、选修 4-4:坐标系与参数方程 已知椭圆 C :

? ? ? 写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; ? ?? ? 设 ? ?1,0? ,若椭圆 C 上的点 ? 满足到点 ? 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 ? 的坐标.
24、选修 4-5:不等式选讲 已知函数

? x2 y 2 ? x ? ?3 ? 3t ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) . 4 3 ? ?y ? 2 3 ?t

f ? x ? ? 2x ? a ? x ? 1 .

? ? ? 当 a ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? 3 ; ? ?? ? 若 f ? x ? 的最小值为1 ,求 a 的值.

4

高三理数期末考试参考答案 DCADDCBC DBBD;-12;

? ??,1? ;-2; [1, 3] ;
2

17 解:(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos A+3cos A-2=0,……2 分

解得 cos A=

1 或 cos A=-2(舍去).……3 分 2

因为 0<A<π ,所以 A=

?
3

.……5 分

(2)由 S=

1 bcsin A= 5 3 ,得 bc=20.又 b=5,知 c=4.……7 分 2
2 2 2

由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=25+16-20=21,……9 分 故由正弦定理得 sinB ? sin C= (

sin A 2 5 ) ? bc ? .……12 分 a 7

18 解: (1)由 Sn ? an ? ?n 得 n=1 时, S1 ? a1 ? ? 1, S1 ? a1 ? a1 ? ?

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 …….2 分

1 2

…….1 分

Sn ? an ? ?n ? Sn?1 ? an?1 ? ?(n ? 1) ? Sn ? an ? ( Sn?1 ? an?1 ) ? ?1 ? 2an ? an?1 ? 1? 2(an ? 1) ? an?1 ? 1 …….3 分

a1 ? 1 ? ?

??an ? 1? 是以 1

a ?1 1 1 1 ? 1 ? ? 0? n ? ?q?0 2 2 an?1 ? 1 2
2
为首项,公比 q ?

? an ? 1 ? (a1 ? 1)q n?1

1 的等比数列…….4 分 2 1 1 ? n ? an ? n ? 1 …….6 分 2 2

??n ln 2 , n为奇数 ? (2) bn ? ? 1 ,…….8 分 ? 1 ,n为偶数 ? n ?2

T ? ? ln 2 ? [1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)] ? ( 1 1 ? ? ln 2 ? n ? [1 ? ( ) n ] ? n 3 4
2

1 1 1 ? 4 ? ? ? 2n ) ? n 2 2 2 2

…….12 分

19. (Ⅰ)证明:因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 CD //平面 PAB . …………1 分 因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB ? 平面 PCD ? m , 所以 CD // m . …………………………3 分

5

(Ⅱ)证明:因为 AP ? 平面 ABCD , AB ? AD ,所以以 A 为 坐标原点, AB, AD, AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系, 则

z P

B(4, 0, 0)



P(0, 0, 4)



D(0,2 2,0)



C(2,2 2,0) . ………4 分 ??? ? ???? ??? ? 所以 BD ? (?4,2 2,0) , AC ? (2,2 2,0) , AP ? (0,0,4) , ??? ? ???? 所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 , B ??? ? ??? ? x BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 . 所以 BD ? AC , BD ? AP . ……………6 分 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC . …………………………………7 分
(Ⅲ)解:设

A C

D y

PQ , Qxyz (, , ) ? ? (其中 0 ? ? ? 1 ) PB

,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? .

? x ? 4? , ??? ? ??? ? ? 所以 PQ ? ? PB .所以 ( x, y, z ? 4) ? ? (4, 0, ?4) .? ? y ? 0, ? z ? ?4? ? 4, ? ??? ? 即 Q(4? , 0, - 4? + 4) ? CQ ? (4? ? 2, ?2 2, ?4? ? 4) . ……………8 分 ??? ? 由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4,2 2,0) .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CQ ? BD ? ??? ? , 因为 sin ? ? cos ? CQ, BD ? ? ??? CQ ? BD


3 ?4(4? ? 2) ? 8 . ? 3 2 6 ? (4? ? 2)2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2
7 PQ 7 ? [0,1] .所以 ? . 12 PB 12
…………12 分

解得 ? ?

法 2: (II) 依题意: Rt ?BAD ∽ Rt ?ADC , 所以 ?ABD ? ?DAC ,又因为 ?ABD ? ?ADB ? 900 , 所以 ?ADB ? ?DAC ? 900 ,所以 BD ? AC …..4 分 又因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面ABCD ,所以 BD ? AP …..6 分 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC . ………7 分

20.(1)依题椭圆的右焦点为

?1,0? ,上顶点为 ? 0, 3 ? ,故 c ? 1 , b ?

3,a ?

b2 ? c2 ? 2 ,

x2 y 2 ? ? 1 .……3 分 ∴ 可求出椭圆标准方程为 4 3
6

(2)设直线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

由 ? x2

? y ? kx ? 2 ? 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 , y2 ? ? 1 ? 3 ?4
16k 4 , x1 x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

∵ ? ? 12k 2 ? 3 ? 0 ,∴ k 2 ?

1 , 4

又 x1 ? x2 ?

??? ? ??? ? ∵ ?AOB 为钝角,∴ OA ? OB ? 0 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

∴ x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 ,∴ ∴ (1 ? k 2 ) ?

(1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
2

?12k ? 16 4 16k ?0, ? 2k ? 2 ? 4 ? 0 ,即 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3

∴ k2 ?

2 3 2 3 4 ,解得 k ? ? 或k ? , 3 3 3

∴ 所求直线斜率的 取值 范围是 ? ? ??, ?

? ?

? 2 3? ?2 3 ? , ?? ? ? ? ? 3 ? .……8 分 3 ? ? ? ?

(3)设点 P

? x0 , y0 ? ,则以 OP 为直径的圆的方程为 x ? x ? x0 ? ? y ? y ? y0 ? ? 0 ④,

④式与圆 O : x2 ? y 2 ? 2 方程两式相减可得切点弦 MN 的方程为 x0 x ? y0 y ? 2 , 令 y ? 0 ,得 m ? ∴ x0 ?

2 2 ,令 x ? 0 得 n ? , x0 y0

2 2 , y0 ? ,又点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C 上, m n
2 2

? 2 ? ?2? ? ? ? ? 1 1 1 1 ? m ? ? ? n ? ? 1 ,即 1 ∴ ? 2 ? ,∴ ? 2 为定值.……12 分 2 2 4m 3n 4 4m 3n 4 3
21 解: y ? f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a, 0) , f '( x) ? 2 x ? a

y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ?
由题意可得 kl1 ? kl2 ,即 a ? 1 , ∴ f ( x) ? x ? x, , f (2) ? 2 ? 2 ? 2
2 2

1 x ?1

………………2 分

(2)

7

y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ]2 ? ( x ln x+t ) = ( x ln x)2 ? (2t ?1)( x ln x) ? t 2 ? t ………4 分
令 u ? x ln x ,在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴ u ? x ln x 在 ?1, e? 单调递增, 0 ? u ? e, …………5 分

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
①当 u ?

1 ? 2t ,抛 物线开口向上 2

1 1 ? 2t ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u ?0 ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e ? e 即t ? ②当 u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e2 ? (2t ?1)e ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ? e即 ? t ? 时, ③当 0 ? 2 2 2

ymin ? y |

1? 2t u? 2

1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ?( ) ? (2t ? 1) ? t ? t ? ? …………7 分 2 2 4
1, 1 1 x ?1 F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 得x ? 1 x x x x

(3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ?

所以 F ( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递增

? F(1) ?0 ∴ 当x ? 1 时, F(x)
①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , ∴ 由 f ( x ) 的单调性知 …………………10 分

0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 )
………………11 分

从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 ,
由 f ( x ) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴ | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ③当 m ? 1 时,同理可 得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符.
8

∴综合①、②、③得 m ? (0,1) …………………12 分 22、解: (Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB , 所以 BC∥DE. …4 分 (Ⅱ)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED 由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF. 设∠DAC=∠DAB=x, 因为⌒ AC =⌒ BC ,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, π 在等腰△ACF 中,π =∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= , 7 2π 所以∠BAC=2x= . …10 分 7 ?x=2cos θ , 23、解: (Ⅰ)C:? (θ 为为参数) ,l:x- 3y+9=0. ?y= 3sin θ
2 2

E C D F B

A

…4 分

(Ⅱ)设 P(2cos θ , 3sin θ ),则|AP|= (2cos θ -1) +( 3sin θ ) =2-cos θ , |2cos θ -3sin θ +9| 2cos θ -3sin θ +9 P 到直线 l 的距离 d= = . 2 2 3 4 2 2 由|AP|=d 得 3sin θ -4cos θ =5,又 sin θ +cos θ =1,得 sin θ = , cos θ =- . 5 5 故 P(- 8 3 3 , ). 5 5 …10 分

-3x,x≤-1; ? ?-x+2,-1≤x≤ 1 ; 2 24、解: (Ⅰ)因为 f (x)=|2x-1|+|x+1|=? 1 ? ?3x,x≥ 2 且 f (1)=f (-1)=3,所以,f (x)<3 的解集为{x|-1<x<1}; (Ⅱ)|2x-a|+|x+1|=|x- |+ |x+1|+|x- |≥|1+ |+0=|1+ | 2 2 2 2 当且仅当(x+1)(x- )≤0 且 x- =0 时,取等号. 2 2 所以|1+ |=1,解得 a=-4 或 0. 2 …4 分

a

a

a

a

a

a

a

…10 分

9


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