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【椭圆的简单几何性质公开课课件(共21张PPT)


椭圆的简单几何性质 (1)

1

复习回顾:
1.椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数(大于 |F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆.

2.椭圆的标准方程是:
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b

? 0) 2 a b

3.椭圆中a,b,c的关系是:
a ?b ?c
2 2 2
2

新知探究:
椭圆的简单几何性质
范围

对称性
顶点 离心率

3

新知探究:
椭圆 的简单几何性质
x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1, ? 2 ? 1, 2 ? 1 a b a b ? ?a ? x ? a, ? b ? y ? b.

一、椭圆的范围:

结论:椭圆落在直线 x ? ? a, y ? ?b 围成的矩形框中 y
B2 A1 A2

F1

o
B1

F2

x
4

二、椭圆的对称性
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
(1)把y换成-y方程不变, 图象关于(

y

关于y轴对称
P 2 (? x, y)
O

x y

P( x, y)
x

)轴对称;

(2)把x换成- x方程不变,
图象关于( )轴对称;

(3)把x换成-x,同时把y 换成-y方程不变,图象 关于(原点 ) 成中心对称.

P 3 (? x,? y )

P 1 ( x,? y )

关于原点对称 关于x轴对称

结论:坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称 中心(椭圆的中心). 5

三、椭圆的顶点 2 2
1.什么是椭圆的顶点?

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y
B2 (0,b) A1 (-a,0)

椭圆与它的对称轴的四个交点 2.如何求椭圆的顶点坐标? A1 (?a,0), A2 (a,0),

b

a c F2

B1 (0,?b), B2 (0, b)
长轴:线段A1A2 长轴长:2 a ,长半轴长:a 短轴: 线段B1B2

F1

o

A2(a,0)

x

B1 (0,-b)

Rt?OB2 F2叫做特征三角形
6

短轴长:2 b ,短半轴长:b

练习1.根据前面所学有关知识在同一坐标系 中画出下列图形.
(1 ) x ? y ? 1
2 2

16

9

(2) x ? y ? 1 y
4 3 B2 2 1

2

2

16

4

O 123 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 B 1 -4

A1

A2 x

7

问题1:椭圆有些比较“扁”,有些比较“圆”, 用什么刻画椭圆“扁”的程度呢?

x2 y2 ? ?1 16 9 y

x2 y2 ? ?1 16 4
a保持不变时, b就越小,此时椭圆就越扁 b就越大,此时椭圆就越圆

4 B2 3 2 A2 A1 1 O 123 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 B1 b -4

a

可以刻画椭圆的扁平程度.
8

问题2:能用

c a
2 2

的大小刻画椭圆的扁平程度吗?
y
b F1

(合作探究)

c a ?b b 2 ? ? 1? ( ) a a a

a
c F2

o

x

b a c a

b b 越小,椭圆越扁; 越大,椭圆越圆 . a a c c 越大,椭圆越扁; 越小,椭圆越圆 . a a
9

四、椭圆的离心率
1.什么是离心率?

刻画椭圆扁平程度的量 y
F1

离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:

答:1.椭圆的离心率可以形象地理解为在椭圆长轴不变的前提 下,两个焦点离开中心的程度,这样规定为今后研究圆锥曲线 的统一性等性质带来方便; 2.因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的,是决定椭圆形状最关 c 键的要素,随着今后的学习可以看到 还有更重要的几何意义. a
10

c 2.为什么定义e ? 为离心率呢? a

c e ? 叫做椭圆的离心率. a

o

F2 x

c e? a
[1]离心率的取值范围: 因为 a > c > 0,所以0 < e < 1 [2]离心率对椭圆形状的影响:
1)e 越接近 1,c 就越接近 a, 此时椭圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0, 此时椭圆就越圆

结论:离心率越大,椭圆越扁;离心率越小,椭圆 越圆.
11

标准方程
图 范 象 围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y
O x

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y O x

? a ? x ? a, ? b ? x ? b

? b ? x ? b, ? a ? y ? a

对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长

关于x轴、y轴成轴对称; 关于x轴、y轴成轴对称; 关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称 . 关于原点成中心对称. 关于原点成中心对称.

(?a,0), (0,?b) (?c, 0)

(?b,0), (0,?a)
(0, ? c)

长半轴长为 a, 长半轴长为a 长半轴长为 a,短半轴长为 b, 短半轴长为b 短半轴长为b 焦距为2c





. 焦距为2c焦距为2c

a,b,c关系 离 心 率

c c c e? ?1) (0 ? e ? 1) e? ?1) (0 ? e e ? (0 ? e a a a
12

22 ac ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ?

例1.已知椭圆方程为16x ? 25y ? 400
2 2

它的长轴长是

10

短轴长是

8
3 5

焦距是

6
(?3, 0)

离心率是

焦点坐标是

顶点坐标是 (?5, 0) (0, ?4)

分析:椭圆方程转化为标准方程为:
2 2 x y 16 x 2 ? 25 y 2 ? 400 ? ? ?1 25 16

a=5 b=4 c=3

13

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
3 (1)中心在原点,长轴长等于20,离心率等于 5 .

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ?1 100 64 100 64

小结:
1.椭圆的基本要素:

(1)基本量:a、b、c、e(共四个量)
(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3)基本线:对称轴(共两条线) 2.数学思想方法: (1)数与形的结合,用代数的方法解决几何问题; (2)分类讨论的数学思想 .
15

目标测试:
2 1.椭圆以坐标轴为对称轴,离心率 e ? ,长轴长为6, 3

则椭圆的方程 为( C ) (A)
x2 y2 ? ?1 36 20

x2 y2 ? ?1 (B) 9 5

2 2 2 2 x y y x (C) ? ?1 或 ? ?1 9 5 9 5

(D)

y2 x2 ? ?1 36 20

x2 y2 或 ? ?1 36 20
y

2. 若椭圆的一个焦点与短轴的

B2
a

两端点构成一个正三角形, 则

F1

c

b O B1

x

3 椭圆的离心率 e =_____. 2

16

知识巩固:
练习2.中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率
3 为 且过(2,0),求椭圆的标准方程 . 2

x y x 2 ? y ? 1或 ? ?1 4 16 4

2

2

2

17


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