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第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式


第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 【2013 年高考会这样考】 1.考查同角三角函数的基本关系式. 2.考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. 【复习指导】 本讲复习时应紧扣三角函数的定义, 理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导 公式;特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻,可通过适量训练加强理解,掌 握其规律. 基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α, tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α. ?π ? ?π ? 公式五:sin?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? ?π ? ?π ? 公式六:sin?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α. ? ? ? ? π 诱导公式可概括为 k· α 的各三角函数值的化简公式. 记忆规律是: 奇变偶不变, 2± π 符号看象限.其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的 变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称 不变,符号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号. 一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=?. 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角 函数,其步骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π+α)= ,则 cos α 的值为( 2 1 A.± 2 3 C. 2 1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α=2, 1 3 ∴sin α=-2.∴cos α=± 1-sin2α=± 2 . 答案 D 2.(2012· 杭州调研)点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( A.第一象限 C.第三象限 解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ), ∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, cos 2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, B.第二象限 D.第四象限 ). 1 B.2 3 D.± 2 ). ∴点 A 位于第三象限. 答案 C 4 3.已知 cos α=5,α∈(0,π),则 tan α 的值等于( 4 A.3 3 B.4 4 C.± 3 3 D.± 4 ). 3 sin α 3 解析 ∵α∈(0,π),∴sin α=


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