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2.4等比数列(一)


§ 2.4 等比数列 (一)

一、新课引入
观察以下数列 : (1)1,2,4,8,?
1 1 1 (2)1, , , ,? 2 4 8

(3)1,?20,202 ,?203 ,?

问题 :
(1)三个数列各自的特点? (2)三个数列有何共同点?

二、新课讲解
等比数列 :
一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前 一项的比等于同一个常数, 那么这个数列称之.这个 常数叫做等比数列的公比, 通常用字母q表示(q ? 0 ).

思考 :
(1)q ? 0的理由? (2)既是等差又是等比的数列是否存在?

二、新课讲解
等比中项 :
如果在a与b中间插入一个数G, 使a, G, b成等比数列 , 那么G叫做a与b的等比中项.

G b 2 (1) ? ? G ? ab ? G ? ? ab (aGb ? 0); a G
(2)任一个等比数列, 从第2项起每一项是它的前一 项和后一项的等比中项.

二、新课讲解
等比数列的通项公式 :
一般地, 如果等比数列?an ? 的首项是a1 , 公比是q, 则
a2 ? a1q, a3 an a2 a4 ? q, ? q, ? q, ? , ? q. 2 a3 ? a2 q ? a1q , a1 a2 a3 an ?1 3 a4 ? a3 q ? a1q , (累乘法) ? n ?1 an ? an ?1q ? a1q .

(迭代法)

an ? a1q

n ?1

二、新课讲解
例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18, 求它的第1项和第2项.

练1、在等比数列?an ? 中: (1)a4 ? 27, q ? ?3, 求a7 ;

(2)a2 ? 18, a4 ? 8, 求a1和q;
(3)a5 ? 4, a7 ? 6, 求a9 ; (4)a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6, 求a3 .

二、新课讲解
例2、若?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列, 求证 : ?an ? bn ?也是等比数列.

练2、若?an ?, ?bn ?是项数相同的等差数列, 求证 : ?pan ? qbn ?(其中p, q是常数)也是等差数列.

三、总结作业



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