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吉林省吉林市2011届高三第二次教学质量检测(期中)(数学文)


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吉林市普通中学 2010—2011 学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测

数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分,共 6 页,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答

题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上。 2、答案请使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 参考公式:
线性回归方程系数公式 锥体体积公式

? b?

? x y ?n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? ? , a ? y ? bx

2

i

? nx 2

1 V ? Sh ,其中 S 为底面面积,h 为高 3

样本数据 x1,x 2 , ? x n 的标准差

球的表面积、体积公式

s?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] n

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 x 为样本的平均数

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

4 1.若集合 A= {0, } ,B= {2,a 2 } ,则“ a ? 2 ”是“ A ? B ? {4} ”的
A.充分非必要条件 C.充要条件 2.已知复数 z1 ? 1 ? 2i ,则 z 2 ? A. i
2 2

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

z1 ? 1 的虚部是 z1 ? 1
C. 1 D. ? 1

B. ? i

3.双曲线

y x ? ? 1 的渐近线方程为 12 4
B. x ? 2 y ? 0 C. 3 x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 0

A. 2 x ? y ? 0

? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,若 (ka ? b ) ∥ (a ? 3b ) ,则实数 k 的取值为
A. ?

1 3

B.

1 3

C. ? 3

D. 3

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5.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 2 则下列区间必存在零点的是 A. ( ? 2,?

3 ) 2

B. ( ?

3 ,?1) 2

C. ( ? 1,?

1 ) 2

D. ( ?

1 ,0 ) 2

6.已知 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若 m ? ?, n ? ? , 则 m ? n ; ② 若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? // ? ; ③ 若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ? ; ④ 若 m ? ? , ? ? ? , m / / n ,则 n // ? .其中所有正确命题的序号是 : A.①③ B.②④ C.①④ D.③④
开始 输入

7.阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间 [

1 1 , ] 内, 4 2

x


那么输入实数 x 的取值范围是 A. ( ??, ?2] C. [?1, 2] 8.下列命题正确的有 B. [?2, ?1] D. [2, ?? )

x ? [?2, 2]?


f ( x) ? 2

f ( x) ? 2x
输出 f ( x ) 结束

①用相关指数 R 2 来刻画回归效果,错误!链接无效。越小,说明模型的拟合效果越好;
2 ②命题 p :“ ?x 0 ? R, x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 ”的否定 ? p :“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” ;

③回归直线一定过样本中心( x, y ) ; ④若 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log0.3 2 ,则 c < a < b ; A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

9. ? ABC 中,三边之比 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,则 A.

1 2

B. 2

sin A ? 2 sin B 等于 sin 2C 1 C .? 2

D. ? 2

10.下列命题正确的是 A.函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 在区间 ( ?

? ?

, ) 内单调递增 3 6

B.函数 y ? cos 4 x ? sin4 x 的最小正周期为 2?

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C.函数 y ? cos( x ? D.函数 tan( x ?

?

) 的图像关于点 ( ,0) 成中心对称 6 3

?

?
3

) 的图像关于直线 x ?

?
6

成轴对称

11.对于 R 上的可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x 2 ? 3 x ? 2) f ?( x ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在区间

?1,2? 上必有 A. f (1) ? f ( x ) ? f ( 2) C. f ( x ) ? f ( 2)
? x? y?5?0 ? 12.若实数 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 6 ? 0 ?x ? 2y ? 6 ? 0 ?
值之和为 A.6 B.

B. f ( x ) ? f (1) D. f ( x ) ? f (1) 或 f ( x ) ? f ( 2) ,则目标函数 z ?

x2 ? y2 的最大值与最小 xy

25 4

C.

15 2

D.5

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个题考生都必须作答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13.如图,若一个空间几何体的三视图中,直角三角形的 直角边长均为 1,则该几何体的体积为_______________. 14.圆心在直线 y ? ?4 x 上,并且与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相 切于点 P ( 3,?2) 的圆的方程为_______________.
正视图 侧视图

1 ? cos 2? 1 15.已知 ? 1, tan(? ? ? ) ? ,则 tan(2? ? ? ) ? _________________. sin? cos ? 3 16.已知 f ( x ) ? ? 1, x ? 0, 则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ≤5 的解集是______________. ? ? 1, x ? 0, ?
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,点( n, S n )在函数 y ? (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项 an ; (Ⅱ)设 bn ? 2 n a n ,求数列 ?bn ? 的前项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 某校高三数学竞赛初赛考试后,对考生的成绩进行统计(考生成绩均不低于 90 分,满 分 150 分) ,将成绩按如下方式分成六组,第一组 ?90,100? 、第二组 ?100,110? ?第六组 ?140,150? . 图(1)为其频率分布直方图的一部分,若第四、五、六组的人数依次成等 差数列,且第六组有 4 人. (Ⅰ)请补充完整频率分布直方图,并估计这组数据的平均数 M;

俯视图

3 2 5 x ? x 的图像上. 2 2

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(Ⅱ)若不低于 120 分的同学进入决赛,不低于 140 分的同学为种子选手,完成下面 2? 2 列联表(即填写空格处的数据) ,并判断是否有 99﹪的把握认为“进入决赛的同学 成为种子选手与专家培训有关”.

?120,140? ?140,150?
参加培训 未参加培训 合计
2 附: K ?

合计 8

5 4

n(ad ? bc ) 2 (a ? b)( c ? d )( a ? c )( b ? d )
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k 0 )
k0

19. (本小题满分 12 分) 如图,五面体 A ? BCC1B1 中, AB1 ? 4 .底面 ABC 是正三角 B1 形, AB ? 2 .四边形 BCC1B1 是矩形,二面角 A ? BC ? C1 为 直二面角. (Ⅰ)若 D 是 AC 中点,求证: AB1 ∥平面 BDC1 ; (Ⅱ)求该五面体的体积.
C

C1

B A
20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 1 :

D

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 其 a 2 b2

中 F2 也 是 抛 物 线 C 2 : y 2 ? 4 x 的 焦 点 , 点 M 为 C 1 与 C 2 在 第 一 象 限 的 交 点 , 且

MF2 ?

5 . 3

(Ⅰ)求 C 1 的方程; (Ⅱ)错误!链接无效。,且 AF2 ? 2F2 B ,求直线 l 的方程.
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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

mx ( m , n ? R ) 在 x ? 1 处取到极值 2. x2 ? n

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设函数 g( x ) ? ln x ?

a .若对任意的 x1 ? R ,总存在 x 2 ? ?1, e ? ,使得 x

g( x 2 ) ? f ( x1 ) ?

7 ,求实数 a 的取值范围. 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于 点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证: (Ⅰ)∠DEA = ∠DFA; (Ⅱ) AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC
F A O B E D

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重

?x ? t 合.设点 O 为坐标原点, 直线 l : ? (参数 t ? R )与曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? 2 ? 2t

? cos 2 ? ? 2 sin?
(Ⅰ)求直线 l 与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,证明: OA ? OB ? 0.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 , g( x) ? x ? a

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(Ⅰ)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x ) ? g( x ) ; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使得 f ( x ) ? g( x ) 成立,求实数 a 的取值范围.

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数学(文科)参考答案及评分标准
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 答案 A C D A C 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 6 A 7 B 8 C 9 D 10 C 11 A 12 B

1 3

; 14. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 8 ; 15.1;

16.

? 3? ?x x ? ? . 2? ?

三.解答题 17.解: (Ⅰ)依题意有 S n ?

3 2 5 3 5 n ? n ⑴ 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ? ? 4 . 2 2 2 2
3 2 5 5 ?3 ? n ? n ? ? ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1)? ? 3n ? 1 2 2 2 ?2 ?

(2 分)

⑵ 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n?1 ? 综上, a n ? 3n ? 1

(5 分)

(6 分)

(Ⅱ)由错误!链接无效。知 bn ? (3n ? 1) ? 2 n .

Tn ? 4 ? 21 ? 7 ? 2 2 ? 10 ? 2 3 ? ... ? (3n ? 1) ? 2 n ① 2Tn ? 4 ? 2 2 ? 7 ? 2 3 ? ... ? (3n ? 2) ? 2 n ? (3n ? 1) ? 2 n?1


(8 分) (10 分)

①-②整理得 Tn ? 3n ? 2 n?1 ? 2 n? 2 ? 4 (12 分) 18. 解: (Ⅰ)设第四,五组的频率分别为 x, y ,则 2 y ? x ? 0.005? 10 ① x ? y ? 1 ? (0.005 ? 0.015 ? 0.02 ? 0.035) ? 10 ②由①②解得 x ? 0.15 , y ? 0.10 (2 分) 从而得出直方图(如图所示)

(4 分)

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M ? 95 ? 0.2 ? 105 ? 0.15 ? 115 ? 0.35 ? 125 ? 0.15 ? 135 ? 0.1 ? 145 ? 0.05 ? 114.5
(Ⅱ)依题意,进入决赛人数为

(6 分)

4 ? (0.15 ? 0.10 ? 0.05) ? 24 ,进而填写列联表如下: 0.05
合计 8 16 24

?120,140? ?140,150?
参加培训 未参加培训 合计 5 15 20 3 1 4

(9 分)

24(5 ? 1 ? 15 ? 3) 2 ? 3.75 ? 6.635 ,故没有 99﹪的把握认为“进入决赛的同学成 20 ? 4 ? 16 ? 8 为种子选手与专家培训有关 (12 分)
又由 K 2 ? 19. 解: (Ⅰ)证明:连结 B1C 交 BC1 于 O ,连结 DO ∵ 四边形 BCC1B1 是矩形 从而 DO // AB1 ∴ O 为 B1C 中点又 D 为 AC 中点,

B1

C1

O

(4 分)∵ AB1 ? 平面 BDC1 , DO ? 平面 BDC1

∴ AB1 // 平面 BDC1 (6 分) (Ⅱ)过 A 作 AH ? BC ,垂足为 H ,? ?ABC 为正三角形,

B D A

C

? H 为 BC 中点, AH ? AB ? BH ? 3
2 2

(8 分)

? 二面角 A ? BC ? C1 为直二面角,? AH ? 面 BCC1 B1 ,又 BB1 ? AB12 ? AB2 ? 2 3 ,
故矩形 BCC1 B1 的面积 S ? BC ? BB1 ? 2 ? 2 3 ? 4 3 故所求五面体体积 V ? V A? BCC1B1 ? (10 分) (12 分)

1 1 S ? AH ? ? 4 3 ? 3 ? 4 3 3

20.解: (Ⅰ) 依题意知 F2 (1,0) ,设 M ( x1 , y1 ) .由抛物线定义得 1 ? x1 ?

5 2 ,即 x1 ? . 3 3

2 2 6 2 ( )2 ( ) 2 6 2 将 x1 ? 代人抛物线方程得 y1 ? (2 分),进而由 3 2 ? 3 2 ? 1及 3 3 a b y2 x2 ? ?1 a 2 ? b 2 ? 1 解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 .故 C1 的方程为 (4 分) 4 3 a?c 1 (Ⅱ)依题意, ? ,故直线 l 的斜率存在且不为 0,设 l 的方程为 x ? ky ? 1 代人 a?c 3 y2 x2 ? ? 1 ,整理得 (3k 2 ? 4) y 2 ? 6ky ? 9 ? 0 (7 分) 4 3
设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

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? 6k ? ? ? y ? y 1 ? y 2 ? 3k 2 ? 4 ? 2 由 AF2 ? 2F2 B 得 y1 ? ?2 y2 (8 分)故 ? ?9 2 ? ? 2 y 2 ? y1 y 2 ? ? 3k 2 ? 4 ?
消去 y 2 整理得

(10 分)

3 k2 2 5 ? 解得 k ? ? .故所求直线方程为 5 x ? 2 5 y ? 5 ? 0 (12 分) 2 4 3k ? 4 5

21.解: (Ⅰ) f ?( x ) ?

m( x 2 ? n) ? 2mx ( x ? n) 2

?

mx 2 ? 2mx ? mn ( x 2 ? n) 2

(2 分)

? mn ? m ?0 ? 2 ? 由 f ( x ) 在 x ? 1 处取到极值 2,故 f ' (1) ? 0 , f (1) ? 2 即 ? (1 ? n) , ? m ?2 ? 1? n ?
解得 m ? 4, n ? 1 ,经检验,此时 f (x) 在 x ? 1 处取得极值.故 f ( x ) ?

4x x ?1
2

(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) 的定义域为 R,且 f ( ? x ) ? ? f ( x ) .故 f (x) 为奇函数. f (0) ? 0

x >0 时, f ( x ) >0, f ( x ) ?

4 ? 2 。当且仅当 x ? 1 时取“=”. x? 1 x

故 f ( x ) 的值域为 ?? 2,2? .从而 f ( x1 ) ?

3 7 3 ? .依题意有 g( x ) 最小值 ? 2 2 2

(7 分)

函数 g( x ) ? ln x ?

1 a x?a a 的定义域为 (0,??) , g ' ( x ) ? ? 2 ? x x x2 x

(8 分)

①当 a ? 1 时, g ' ( x ) >0 函数 g ( x ) 在 ?1, e ? 上单调递增,其最小值为 g(1) ? a ? 1 ? ②当 1 ? a ? e 时,函数 g ( x ) 在 ?1, a ? 上有 g ' ( x ) ? 0 ,单调递减,在 ?a, e ? 上有

3 合题意; 2

g ' ( x ) ? 0 ,单调递增,所以函数 g ( x ) 最小值为 f (a ) ? ln a ? 1 ,由 ln a ? 1 ? 0 ? a ? e .从而知 1 ? a ? e 符合题意.
③当 a ? e 时,显然函数 g (x) 在 ?1, e ? 上单调递减,其最小值为 g(e ) ? 1 ? 不合题意(11 分)综上所述, a 的取值范围为 a ? e
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3 ,得 2

a 3 ?2? , e 2
(12 分)

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22.证明: (Ⅰ)连结 AD 因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90° ,又 EF⊥AB,∠EFA=90° 则 A、D、E、F 四点共圆(4 分)∴∠DEA=∠DFA(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BD?BE=BA?BF(6 分),又△ABC∽△AEF∴
AB AC ? AE AF

即:AB?AF=AE?AC(8 分)∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB2 乘 ? 得曲线 C 的普通方程为 x 2 ? 2 y ,

(10 分) (5 分) (6 分)

23.解: (Ⅰ)由直线 l 的参数方程消去 t 得普通方程 y ? 2 x ? 2 由曲线 C 的极坐标方程两边同

? y ? 2x ? 2 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? 2 消去 y 得 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ? x ? 2y
x1 ? x 2 ? 4, x1 ? x 2 ? ?4 ∴y1y2=

2 2 x1 x 2 ? ? 4 (8 分)∴ OA ? OB ? x1x2+ y1y2= 0. (10 分) 2 2

24.解(Ⅰ)当 a ? 0 时,由 f ( x ) ? g( x ) 得 2 x ? 1 ? x ,两边平方整理得 3 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 得 x ? ?1 或 x ? ?

, 解

1 1 ∴原不等式的解集为 (??, 1] ? [? , ?) ? ? 3 3

(5 分)

(Ⅱ)由 f ( x ) ? g( x ) 得 a ? 2 x ? 1 ? x ,令 h( x) ? 2 x ? 1 ? x ,则

1 ? ? ? x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? h( x ) ? ? 3 x ? 1,? ? x ? 0 2 ? ? x ? 1, x ? 0 ? ?
故 h( x )min ? h(? ) ? ?

(7 分)

1 2

1 1 ,从而所求实数 a 的范围为 a ? ? 2 2

(10 分)

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