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广东省江门市普通高中2012-2013学年上学期高三调研测试数学(文科)试题


广东省江门市普通高中 2012-2013 学年上学期高三调研测试 数学(文科)试题
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

>
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
⒈已知全集 U ? ?0 , 1 , 2 , 3, 4? ,集合 A ? ? , 2 , 3?, B ? ?2 , 4?,则 (CU A) ? B ? 1 A. ? 2 ? A. 1
2

B. ? 4 ? B. ? 1
2

C. ? , 2 , 3, 4? 1 C. 2

D. ? , 3? 1 D. ? 2

⒉若 (2 ? i )(b ? i ) 是实数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ?

⒊已知双曲线

x y ? 2 ? 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,双曲线与坐标轴的两个交点分别为 2 a b 5 A 、 B ,若 | F1 F2 |? | AB | ,则双曲线的离心率 e ? 3 5 5 4 8 A. B. C. D. 3 4 3 3
BC ? DEF ,则该几何体的正视图(或称主视图)是

⒋如图 1,将一个正三棱柱截去一个三棱锥,得到几何体

A.

B.

C.

D.

⒌设命题 p :函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 命题 q :函数 y ? 2 ?
x

? ; 2

A. p 为真

1 是偶函数.则下列判断正确的是 2x B. ? q 为真 C. p ? q 为真 D. p ? q 为真

⒍从等腰直角 ?ABC 的斜边 AB 上任取一点 P ,则 ?APC 为锐角三角形的概率是 A. 1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

2 2 ⒎经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心且与直线 x ? 2 y ? 0 平行的直线方程是

A. x ? 2 y ? 1 ? 0

B. x ? 2 y ? 2 ? 0

C. x ? 2 y ? 1 ? 0

D. x ? 2 y ? 2 ? 0

⒏在一组样本数据 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,?, ( xn , y n ) ( n ? 2 , x1 , x2 ,?, xn 互不

第 1 页 共 8 页

相等)的散点图中,若所有样本点 ( xi , yi )( i ? 1 ,2 ,?,n )都在直线 y ? 则这组样本数据的样本相关系数为

1 x ? 1 上, 2

1 D. 1 2 ⒐如图 2,平行四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, F 是
A. ? 1 B. 0 C.

AE 的中点,若 AB ? a , AD ? b ,则 AF ?

1 1 1 1 1 1 a ? b B. a ? b C. a ? b 2 4 4 2 2 4 ⒑若直线 y ? ax 与曲线 y ? ln x 相切,则常数 a ?
A. A. e B. 1 C. e
?1

D.

1 1 a ? b 4 2

D. e

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
⒒设 f (n) 是定义在数集 N ? 上的函数,若对 ?n1 , n2 ? N ? , f (n1 ? n2 ) ? f (n1 ) f (n2 ) , 则 f (n) ? a n ,a 为常数。 类似地, 若对 ?n1 ,n2 ? N ? , f (n1 ? n2 ) ? f (n1 ) ? f (n2 ) , 则有 . ⒓据《法制晚报》报道,2009 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人,图 3 是对这 28800 人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图, 从左到右各直方块表示的人数依次记为 A1 、 A2 、??、 A8 (例如 A2 表示血液酒精浓 度在 30~40 mg/100 ml 的人数) ,图 4 是对图 3 中血 液酒精浓度在某一范围内的人数进行统计的程序框图。 这个程序框图输出的 s ? ________. 开始 输入 A1 , A2 , ? , A8

s ? 0, i ?1

i ? i ?1
i ? 6?
否 输出 s
图3



s ? s ? Ai

结束

图4

⒔已知 O(0 , 0) 、 A(3 , 4) 、 B(2 , 5) , M ( x , y) 为 ?OAB 内(含三角形的三边与顶点) 的动点,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
⒕(坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系 Oxy 的坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? ) ,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,正六边形

ABCDEF 的顶点都在 C 上,且 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 依逆时针次序排列。若点 A

第 2 页 共 8 页

的极坐标为 (2 ,

?
3

) ,则点 B 的直角坐标为



A E D

B F

⒖(几何证明选讲选做题)如图 5, EF 是梯形 ABCD 的中位线, 记梯形 ABFE 的面积为 S1 ,梯形 CDEF 的面积为 S 2 ,若

AB 1 AB ? ,则 ? CD 2 EF



S1 ? S2



图5

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
⒗(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (?1 , sin x) , n ? (?2 , cos x) ,函数 f ( x) ? 2 m ? n . ⑴求函数 f (x) 在区间 [ 0 ,

?
2

] 上的最大值; A 2 24 B ? 64 , f( ? )? , 5 2 4 13

⑵若 ?ABC 的角 A 、 B 所对的边分别为 a 、 b , f ( ) ?

a ? b ? 11 ,求 a 的值.
⒘(本小题满分 14 分)

如图 6, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长是 1 的正方形, 侧棱 PD ⊥平面 ABCD ,M 、

N 分别是 AB 、 PC 的中点. ⑴求证: MN // 平面 PAD ; ⑵记 MN ? x , V (x) 表示四棱锥 P ? ABCD 的体积,
求 V (x) 的表达式(不必讨论 x 的取值范围) .

P

N

D
A B
图6

C
M

⒙(本小题满分 14 分) 某班几位同学组成研究性学习小组, 从[25, 55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次日常 生活中是否具有环保意识的调查.若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族” ,否则称 为“非环保族” 。得到如下统计表: 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) 环保族人数 120 195 100 占本组的频率 0.6 本组占样本的频率 0.2

p
0.5 0.4 0.3

q
0.2 0.15 0.1

a
30

第 3 页 共 8 页

第六组

[50,55)

15

0.3

0.05

⑴求 q 、 n 、 p 、 a 的值; ⑵从年龄段在[40,50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外环保活动,其 中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40,45)的概率. ⒚(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点为 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) ,点 P(?1 , ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )与椭圆 C 相交于点 M 、 N ,当 ?OMN ( O 是坐标 原点)的面积取得最大值时,求 p 的值. ⒛(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1 , a n ?1 ? ⑴求证:数列 ?

2 ) 在椭圆上. 2

an ? (n? N ) . 2a n ? 1

?1? ? 为等差数列; ? an ?
1005 的最小 2012

? ⑵设 bn ? an ? an?1( n ? N ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求满足 S n ?

正整数 n . 21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

⑴若 x ? 2 是 f (x) 的极值点,求 a 的值;

1 a ( x ? 1) 2 ? ln x ,其中 a ? R . 2

⑵若 ?x ? 0 , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

第 4 页 共 8 页

广东省江门市普通高中 2012-2013 学年上学期高三调研测试 数学(文科)试题评分参考
一、选择题: BDACD BADAC

二、填空题:
⒒ f (n) ? an , a 为常数(说明: f (n) ? an ”4 分, a 为常数”1 分) “ “ ; ⒓ 24480 ; ⒔ 1 ; ⒕ (?1 ,

2 5 ; , . 3) (说明:对 1 个坐标给 3 分) ⒖ (2 分) (3 分) 3 7

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
⒗解:⑴依题意, f ( x) ? 2(2 ? sin x cos x) ??2 分, ? 4 ? sin 2 x ??3 分,

x ?[ 0 ,

?
2

] ,则 2 x ? [ 0 , ? ] , sin 2 x ? [ 0 , 1] ??4 分,

所以,函数 f (x) 在区间 [ 0 , ⑵由 f ( ) ?

?
2

] 上的最大值为 5 ??5 分

24 4 得 sin A ? ??6 分, 5 5 B ? 64 ? 12 12 由 f( ? )? 得 sin( B ? ) ? ??7 分,从而 cos B ? ??8 分, 2 4 13 2 13 13 5 因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? ??9 分, 13 a sin A 52 a 52 52 ? ? 由正弦定理得 ? ??11 分,所以 ,a ? ??12 分. b sin B 25 a ? b 77 7
⒘证明与求解:⑴取 CD 的中点 E ,连接 ME 、 NE ,则 ME // AD , NE // PD ??2 分, 因为 ME ? NE ? E ,所以平面 MNE // 平面 PAD ??4 分,

A 2

MN ? 平面 MNE ,所以 MN // 平面 PAD ??6 分. ⑵ NE // PD , PD ⊥平面 ABCD ,所以 NE ⊥平面 ABCD ??8 分, ME ? 平面 ABCD , NE ? ME ??9 分,

MN 2 ? ME 2 ? NE 2 ,所以 NE ? MN 2 ? ME 2 ? x 2 ? 1 ??10 分,
由⑴知 PD ? 2NE ? 2 x 2 ? 1 ??11 分,

1 1 2 2 Sh ? ? S ABCD ? PD ??13 分, ? x ? 1 ??14 分. 3 3 3 ⒙解:⑴第二组的频率为: q ? 1 ? (0.2 ? 0.2 ? 0.15 ? 0.1 ? 0.05) ? 0.3 ??2 分,
所以 V ( x) ?

第 5 页 共 8 页

120 200 ? 200 ,第一组的频率为 0.2,所以 n ? ? 1000 ??4 分, 0 .6 0 .2 195 ? 0.65 ??6 分, 第二组人数为 1000? q ? 300,所以 p ? 300 第四组人数 1000 ? 0.15 ? 150 ,所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 ??8 分,
第一组的人数为 ⑵[40,45)年龄段“环保族”与[45,50)年龄段“环保族”人数比值为 60︰30=2︰1, 采用分层抽样法从中抽取 6 人,[40,45)年龄段有 4 人,[45,50)年龄段有 2 人??9 分; 设[40,45)年龄段的 4 人为 a、b、c、d,[45,50)年龄段的 2 人为 m、n,则选取 2 人作 为领队的有(a,b) 、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m) 、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、 (d,m)、 (d,n)、 (m,n), 15 种??11 分; 共 其中恰有 1 人年龄在[45, 50)的有(a,m)、 (a,n)、 (b,m)、 (b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n),共 8 种??13 分; 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)的概率为

8 ??14 分. 15

⒚解:⑴依题意,设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ??1 分, a2 b2 2a ?| PF1 | ? | PF2 | ??2 分, ? 2 2 ,所以 a ? 2 ??3 分,

x2 ? y 2 ? 1 ??5 分 2 ⑵根据椭圆和抛物线的对称性,设 M ( x0 , y0 ) 、 N ( x0 , ? y0 ) ( x0 , y0 ? 0 )??6 1 分, ?OMN 的面积 S ? x0 ? (2 y 0 ) ? x0 y 0 ??7 分, 2
c ? 1 ,所以 b ? a 2 ? c 2 ? 1 ??4 分,椭圆 C 的方程为

x x x 2 2 2 M ( x0 , y0 ) 在椭圆上, 0 ? y 0 ? 1 ,所以1 ? 0 ? y 0 ? 2 0 ? y 0 ? 2 x0 y0 , 2 2 2 x 等号当且仅当 0 ? y 0 时成立??9 分, 2 2 ? x0 2 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? 2 ? 解? ( x0 , y0 ? 0 )得 ? 2 ??10 分, x0 y0 ? ? ? ? y0 2 ? ? ? 2

2

2

2

M ( x0 , y0 ) 即 M (1 ,
解得 p ?

2 2 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上,所以 ( ) 2 ? 2 p ? 1 ??11 分, 2 2

1 ??12 分. 4

⒛证明与求解:⑴由 a1 ? 1 与 a n ?1 ?

an 得 an ? 0 ??1 分, 2a n ? 1

2a ? 1 1 1 ??3 分, ? n ? 2? an?1 an an
所以 ?n ? N ,
?

1 a n ?1

?

?1? 1 ? 2 为常数, ? ? 为等差数列??5 分 an ? an ?
第 6 页 共 8 页

1 1 ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ??7 分 a n a1 1 1 1 1 bn ? a n ? a n?1 ? ? ( ? ) ??8 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ?9 分, 所以 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? ) ??10 分, ? ??11 分, 2 2n ? 1 2n ? 1 1005 n 1005 1005 1 ? ? 502 ??13 分, 由 Sn ? 即 得n ? 2012 2n ? 1 2012 2 2 1005 所以满足 S n ? 的最小正整数 n ? 503 ??14 分. 2012
⑵由⑴得 21 解:⑴ f ( x) ? 1 ? a ( x ? 1) ?
/

1 ??2 分, x / 因为 x ? 2 是 f (x) 的极值点,所以 f (2) ? 0 ??3 分, 1 1 解 1 ? a ( 2 ? 1) ? ? 0 得 a ? ??4 分, 2 2 1 2 ⑵(方法一)依题意 x ? a ( x ? 1) ? ln x ? 1 , a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) , x ? 0 2
x ? 1 时, a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) 恒成立??6 分 x ? 0 且 x ? 1 时,由 a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) 得 a ?
/ 设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x , x ? 0 , g ( x ) ? 1 ?

??5 分。

2 ( x ? 1 ? ln x) ?8 分 ( x ? 1) 2

1 ??9 分,当 0 ? x ? 1 时 g / ( x) ? 0 , x 当 x ? 1 时 g / ( x) ? 0 ??10 分,所以 ?x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ??12 分 2 所以,当 x ? 0 且 x ? 1 时, ( x ? 1 ? ln x) ? 0 ,从而 a ? 0 ??13 分, ( x ? 1) 2 综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] ??14 分. 1 x ?1 / (1 ? ax ) ??5 分, (方法二)由⑴ f ( x) ? 1 ? a ( x ? 1) ? ? x x 若 a ? 0 ,则 1 ? ax ? 0 ,由 f / ( x) ? 0 得 x ? 1 ??7 分,且当 0 ? x ? 1 时 f / ( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 f / ( x) ? 0 ??8 分,所以 ?x ? 0 , f ( x) ? f (1) ? 1??10 分 1 1 ? 1? / 若 a ? 0 ,由 f ( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ??11 分,取 m ? max?1 , ? 为 1 与 两数 a a ? a?
/ 的 较 大 者 , 则 当 x ? m 时 f ( x) ? 0 ? ? 12 分 , 从 而 f (x) 在 (m , ? ?) 单 调 减 少 ,

f ( x) ? x ?

1 a ( x ? 1) 2 ? ln x 无最小值, f ( x) ? 1 不恒成立??13 分。 2
2 ( ? 3) ??11 a

(说明一:本段解答如举反例亦可,评分如下:若 a ? 0 ,取 x 0 ? 3 ? 分, f ( x 0 ) ? 3 ?

2 1 2 2 2 ? a(3 ? ? 1) 2 ? ln(3 ? ) ? ?1 ? 2a ? ln(3 ? ) ? 0 ? 1 , f ( x) ? 1 a 2 a a a
第 7 页 共 8 页

不恒成立??13 分。说明二:若只讨论一个特例,例如 a ? 1 ,给 1 分) 综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] ??14 分.

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