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【浙大论文】高中数学函数教学的思考和对策


全国优秀教育硕士专业学位论文 推荐表
单位名称:浙江师范大学 论文题目 作者姓名 钱卫红 填表日期:2008 年 10 月 30 日 高中数学函教数学的思考和对策 论文答辩日期 2007 年 6 月 2 日 学科专业方向 学科教学(数学)

1. 《数学教学中学生主体参与意识的培养刍议》刊登在《数学 攻 硕 期 间 及 获 得 硕 士 学 位 后 一

年 内 获 得 与 硕 士 学 位 论 文 有 关 的 成 果 教学通讯》杂志 2006 年 3 月, 教学研究专栏第一篇:11-13 页 2. 《对新课程理念下合作学习的认识和思考》刊登在《中国教 发表学 术论文 (题目, 刊名,时 间, 社会 影响) 育理论与实践杂志》2006,3(4):52-53 3. 《关于积化和差公式的一个历史注记》刊登在由中华人民共 和国教育部主管的《数学教学》2006.11: 41-43 4. 《一道不等式的互动教学案例》刊登在由山东省教育厅主管 的《中学数学杂志》 (高中)2007 年第 6 期 22-24 页 5. 《一道不等式的互动教学案例》被收录在中国人民大学书报 资料中心复印报刊资料《中学数学教与学》2008.2(上)/G35 6. 《传统高中数学教育评价与过程性评价的整合》刊登在《中 国科教杂志》2007 年 11 期 24-25 页 论文所 产生的 实际影 响 ( 对作 者工作 及所在 单位工 作) 论文运用问卷和访谈调查的研究方法,对高中生函数概念 的理解水平、高中生理解函数概念存在的困难、教师应采取的 对策进行了较为深入的研究。研究所发现的高中生对数学学习 不自信、高中生忽视对函数本质特征的认识和理解,存在过分 形式化的倾向、以及对于高中生函数概念理解困难的原因的深 入分析都对实际课堂教学有很好的指导意义,论文所提出的教 学对策有助于促进高中生对函数概念的理解,有一定的现实意 义。作者任班主任的班级在 2008 年高考中 1 名学生获嘉兴市 理科状元, 2 名学生进入省前 100 名, 7 名学生进入县前 10 名。 出版专 著(名 称、 出版 社、 出版 时间)
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1.《构筑理解概念的平台——充分条件与必要条件》在浙江省 高中数学学科教学设计评比中荣获一等奖,浙江省教育厅教研 室,2007.12 2.《函数与方程(二) 》在浙江省高中数学学科教学案例评比 中荣获三等奖,浙江省教育厅教研室,2005.12 3.《对新课程理念下合作学习的认识和思考》经中国国际教育 学会和中国教育理论与实践杂志编辑委员会审核,被评为二等 奖,2006.05 4.嘉兴市中小学教坛新秀,嘉兴市教育局,2006.7 5.《新课程数学教学中怎样突出学生的主体性》在嘉兴市中学 数学论文评比中荣获二等奖,2004.4 6.《数学课堂合作学习的反思与实践》在嘉兴市三项教学评比 中荣获二等奖,2005.6 7.《不曾预约也精彩》在嘉兴市三项教学评比中荣获二等奖, 2006.5 8.《新课程背景下数学教师专业成长的思考》嘉兴市教育学会 2006 年“教师专业发展”专题研讨二等奖,2006.11 9.《为有源头活水来——课堂互动教学模式的实践》在嘉兴市 获奖项 教学论文评比中荣获二等奖,2007.6 目(名 10. 《试卷讲评课的有效性研究》在嘉兴市论文评比中荣获一 称、 等级 等奖,2008.10 及时间) 11. 嘉善县“十佳青年科技人才” ,中共嘉善县委组织部、嘉 善县人事局、共青团嘉善县委、嘉善县科技局、嘉善县科学技 术协会、嘉善县青年科技人才联谊会,2007.4 12.嘉善县中小学教坛新秀,嘉善县教育局,2006.5 13.嘉善县第四届学科带头人称号,任期三年(2004 年 12 月— 2007 年 11 月) ,嘉善县教育局,2004.12 14.第七届嘉善县学科带头人称号,任期三年(2007 年 12 月— 2010 年 11 月) ,嘉善县教育局,2007.12 15. 主持的县级课题《数学教学中实施分层教学的研究》在嘉 善县第六届教育科学研究成果奖中 , 获 “ 优秀课题成果奖 ” , 2006.2.22 16.主持的嘉兴市教育科学规划课题《新课程背景下高中学生 数学学业过程性评价的研究》获县第八届教育科学研究成果一 等奖;2008.4 17. 《新理念 新设计——“用二分法求方程的近似解”教学 设计》在“2005 年浙江师范大学教育硕士优秀教学案例大赛” 中荣获三等奖 18.学位论文《高中数学函数教学的思考和对策》被评为 2007 年度优秀教育硕士学位论文,浙江师范大学,2008.1.15

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函数概念是近、现代数学的基石,是高中数学教学的主线,所 以对高中生函数理解的调查研究可以作为数学概念理解研究的突破 口.目前国内外关于函数概念学习的研究虽然已取得了多方面的成 果,但是学生对函数概念理解困难还是个不争的事实,所以许多研 究仍待进一步发展. 为了了解高中生对函数这一重要概念的理解状况,设计二份调 查问卷,问题的选择是笔者在十余年的省一级重点中学教学经验的 基础上,分析高中数学的课程标准和教学要求,参照国内外专家编 制的有关函数概念研究的测试题,按本研究的目的精心挑选和改编 而成.利用重测法及用公式分半信度法估计测验的信度,测出这份 问卷可信度高. 调查的对象在两所中学随机选取,其中 900 人做问卷一,另外 中文论 文摘要 (论文选 题的意 义,论文 运用的 主要研 究方法, 主要研 究成果, 主要参 考文献) 309 人做问卷二,样本容量较大,较具代表性.针对问卷中出现的 典型错误,为进一步摸清学生的思维活动过程,又根据学生数学成 绩及答卷的典型性抽取 6 位学生进行访谈. 实证调查的数据用 Excel 的统计函数进行平均数检验、方差分析和 z 检验,并绘制出统计 图.同时结合访谈资料,得出研究结果: ?高中生对数学学习不自信.不同年级的学生对函数的认知水 平呈迂回上升的形式,高三最高,其次是高一,最低是高二.但高 三学生的函数测试成绩离散程度最大,分布最广.对数学不感兴趣 的比例,高一、高二、高三呈明显递增趋势.高中生普遍认为从高 一开始感觉数学难学. ?高中生忽视对函数本质特征的认识和理解,存在过分形式化 的倾向.在判断一个对象是否为函数时更多的学生是根据函数概念 在头脑中的表象,他们对函数本质特征的认识非常匮乏.当教师讲 解某一个新问题时, 学生更希望得知的是 “具体如何去解这种问题” . ?高中生对生活中的函数关系不敏感.当函数关系以一个较为 熟悉的生活现象出现时,学生对做出的答案显得明显不够自信.大 部分学生认识不到存在于生活中的函数关系,用函数解决生活中问 题的水平较低. ?高中生函数概念理解困难的原因:函数概念本身的复杂性, 初高中教学衔接的失败,学生思维发展水平和数学语言理解能力不 强,教学过程中某些环节不当等. 了解了高中生在学习函数概念时的认知困难,这为教师提供了函数 教学的第一手材料,在今后的教学中应注意运用以下教学对策:

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(一) 合理铺垫, 循序渐进, 促进初高中的函数教学良好衔接. (二) 借鉴函数概念发展的历史.让学生明白函数概念发展的来龙去脉, 学习数学家思考问题的方法和解决问题的途径,借鉴他们的经验和 其中蕴涵的数学思想,从而更好地理解函数概念的本质. (三)运用 元认知提问, 真正体现教师的主导作用,真正发挥学生的主体意识; 鼓励学生对学习过程进行反思, 加强元认知教学. (四) “淡化形式, 注重实质” ,深刻把握函数概念的本质属性. (五)重视不同表示法 之间的转换,正确理解和掌握函数性质,加深对函数思想的认 识. (六) 重视函数概念的实际应用.在教学中把概念应用到一些具 体的实例中,与具体情境联系起来. 主要参考文献 中文文献 [1] 李吉宝.有关函数概念教学的若干问题[J] .数学教育学 报,2003,12(2):95-98 [2] 王尚志,张饴慈,李延林.课程标准的设计思路[R].2006 年暑假高 中数学新课程国家级培训 [3] 朱 文 芳 . 函 数 概 念 学 习 的 心 理 分 析 [J] . 数 学 教 育 学 报 1999,8(4):23-25,44 [4] 朱文芳 , 林崇德 . 初中生函数概念发展的研究 [J]. 心理发展与教 育,2001,4:40-46 [5] 曾国光 . 中学生函数概念认知发展研究 [J]. 2002, 数学教育学 报,11(2):99-102 [6] 王智明.中学函数课程与教学初探[D]:[硕士学位论文].保存地 点:南京师范大学,2003 [7] 汤服成,王兄.图式理论与函数概念学习[J].辽宁师范大学学报(自 然科学版), 2001,24(3):263-265 [8] 贾丕珠.函数学习中的六个认知层次[J].数学教育学报,2004,13 (3):79-81 [9] 李 士 锜 .PME: 数 学 教 育 心 理 [M]. 上 海 : 华 东 师 范 大 学 出 版 社,2001.64,80-87 [10] 郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育——数学学习心 理学的现代研究[M].第二版.上海:上海教育出版社,2002 [11] 陈 琼 , 翁 庆 凯 . 试 论 数 学 学 习 中 的 理 解 学 习 [J]. 数 学 教 育 学 报,2003, 12(1):17-19 [12] 张奠宙 , 李士琦 , 李俊 . 数学教育学导论 [M]. 北京 : 高等教育出版 社,2003 [13] 张奠宙,宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社,2004 [14] 张 大 均 . 教 育 心 理 学 [M]. 第 二 版 . 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社,2004:250-251 [15] 陈向明.教师如何做质的研究[M].北京:科学教育出版社,2001 [16] 王孝玲 . 教育统计学 [M]. 修订二版 . 上海 : 华东师范大学出版 社,2001
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[17] 蔡 春 晖 . 多 元 智 能 数 学 教 学 方 式 实 验 初 探 [J]. 数 学 通 报 , 2005(1):46-50 [18] 曹才翰等.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社,1999 [19] 陈蓓.函数概念的发展与比较[J].数学通讯,2005(7):1-3 [20] 陈国正.高中函数定义的商榷[J].数学通报,1999(9):10-11 [21] 陈 志 云 , 邓 乐 斌 . 函 数 概 念 与 中 学 数 学 [J]. 高 等 函 授 学 报,1999(5):6-10 [22] 杜玮 . 函数概念 的发展历 程 [J] . 濮阳 教育学院 学报 ,2003,16 (4):10-11 [23] 何小亚. 全日制义务教育阶段数学课程标准 (试验稿)刍议[J]. 数 学教育学报,2003,12 (1):45-49 [24] 郝妍琴.对高中生函数概念理解的调查研究[D]:[硕士学位论 文].保存地点:华东师范大学,2006 [25] 黄燕玲,喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学 报,2002,11(3):40- 43 [26] 孔 凡 海 . 函 数 的 两 种 概 念 与 教 学 [J]. 中 学 数 学 教 学 参 考,2002(10):15-17 [27] 李善良.数学概念学习中的错误分析[J].数学教育学 报,2002,11(3):6-11 [28] 刘 静 . 函 数 的 学 习 困 难 与 课 程 设 计 [J]. 课 程 · 教 材 · 教 法,2006,26(4):45-48 [29] 陆书环 . 美国中学数学教材中的函数概念特点分析 [J]. 中学数 学,1999(3):6-8 [30] 孙熙椿.从现代数学看中学数学[M].北京:中国林业出版社,1991 [31] 孙晓庆 . 数学 课 程发展 的国际 视野 [M]. 北京 : 高 等教育 出版 社,2003 [32] 涂荣豹.谈提高对数学教学的认识[J].中学数学教学参 考.2006(1-2) [33] 汪晓勤,韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京:科学出版社,2002 [34] 徐斌艳.数学教育展望[[M].上海:华东师范大学出版社,2001 [35] 曾 峥 . 关 于 函 数 概 念 及 其 教 学 的 整 体 思 考 [J]. 肇 庆 学 院 学 报,2001,22(2):61-63 [36] 郑毓信.数学教育:从理论到实践[M].上海:上海教育出版社,2001 英文文献 [1] T. J.Cooney & Wilson M. R. 1993. Teachers’ thinking about functions: historical and research perspectives. In: T. A. Romberg, et. al. (eds.). Integrating Research on the Graphical Representation of Function. Hillsdale: Lawrence Erlbaum Association Publishers, 131-158. [2] J.P.Ponte.1993.The history of concept of function and some educational implications. Mathematics Educator, 3(2). [3] S.Vinner.1983.Concept definition, concept image and the notion of function. International Journal of Mathematics Education in Science & Technology, 14 (3): 293-305 [4] S.Vinner & T.Dreyfus.1989. Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education. 20(4):
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专家推 荐理由

函数是中学数学教学的重点和难点,本论文选题具 有前瞻性和前沿性,对我国基础教育发展、改革具有重 要现实意义。论文对有关函数教学的已有研究梳理深 入,对研究现状把握准确,运用数学理解、建构主义和 元认知理论, 采用调查和访谈相结合的方法对中学生函 数理解现状、存在的困难进行了分析,并提出了相应的 教学对策。全文研究目标明确、材料详实,叙述条理性 强,论证推理严密,自编的调查问卷适切,其对高中不 同年级学生对函数的认知水平分布状况与描述有独到 见解,所提建议切实可行。特推荐本论文参评全国优秀 教育硕士学位论文。

专家签字:张维忠

同意推荐。 单位推 荐意见 学位评定委员会分会主席(签章) :吴锋民 单位公章 2008 年 12 月 29 日 说明:学科专业方向包括教育管理、教育技术、小学教育和学科教学,其中学科教 学要说明具体方向,如学科教学(数学) 。本表可复印、附页。

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学校代码

10345

研究类型

应用研究

浙江师范大学
教育硕士专业学位论文
题 目: 高中数学函数教学的思考和对策 ON THE TEACHING OF FUNCTION AT HIGH SCHOOL

学 科 年 研 究

专 级: 生:

业: 2003 级 钱卫红 G633.6

学科教学(数学)



号:

2003200 陈淼森教授

指导教师:

中图分类号:

答辩时间: 2007 年 6 月 2 日

浙江师范大学教育硕士专业学位论文

高中数学函数教学的思考和对策

On the teaching of Function at High School

研 究 生:钱卫红 Postgraduate: Weihong Qian 指导教师:陈淼森 Tutor: Miaosen Chen

浙江·金华 Jin hua·Zhe jiang 二 00 七年三月 March, 2007

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摘 要 函数概念是近、现代数学的基石,是高中数学教学的主线,所以对 高中生函数理解的调查研究可以作为数学概念理解研究的突破口.目前 国内外关于函数概念学习的研究虽然已取得了多方面的成果,但是学生 对函数概念理解困难还是个不争的事实, 所以许多研究仍待进一步发展. 为了了解高中生对函数这一重要概念的理解状况,设计二份调查问 卷,问题的选择是笔者在十余年的省一级重点中学教学经验的基础上, 分析高中数学的课程标准和教学要求,参照国内外专家编制的有关函数 概念研究的测试题,按本研究的目的精心挑选和改编而成.利用重测法 及用公式分半信度法估计测验的信度,测出这份问卷可信度高. 调查的对象在两所中学随机选取,其中 900 人做问卷一,另外 309 人做问卷二,样本容量较大,较具代表性.针对问卷中出现的典型错误, 为进一步摸清学生的思维活动过程,又根据学生数学成绩及答卷的典型 性抽取 6 位学生进行访谈.实证调查的数据用 Excel 的统计函数进行平 均数检验、方差分析和 z 检验,并绘制出统计图.同时结合访谈资料, 得出研究结果: ?高中生对数学学习不自信.不同年级的学生对函数的认知水平呈 迂回上升的形式,高三最高,其次是高一,最低是高二.但高三学生的 函数测试成绩离散程度最大,分布最广.对数学不感兴趣的比例,高一、 高二、高三呈明显递增趋势.高中生普遍认为从高一开始感觉数学难学. ?高中生忽视对函数本质特征的认识和理解,存在过分形式化的倾 向.在判断一个对象是否为函数时更多的学生是根据函数概念在头脑中
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的表象,他们对函数本质特征的认识非常匮乏.当教师讲解某一个新问 题时,学生更希望得知的是“具体如何去解这种问题” . ?高中生对生活中的函数关系不敏感.当函数关系以一个较为熟悉 的生活现象出现时,学生对做出的答案显得明显不够自信.较多的学生 认识不到存在于生活中的函数关系, 用函数解决生活中问题的水平较低. ?高中生函数概念理解困难的原因:函数概念本身的复杂性,初高 中教学衔接的失败,学生思维发展水平和数学语言理解能力不强,教学 过程中某些环节不当等. 了解了高中生在学习函数概念时的认知困难,这为教师提供了函数 教学的第一手材料,在今后的教学中应注意运用以下教学对策: (一)合 理铺垫,循序渐进,促进初高中的函数教学良好衔接. (二)借鉴函数 概念发展的历史.让学生明白函数概念发展的来龙去脉,学习数学家思 考问题的方法和解决问题的途径,借鉴他们的经验和其中蕴涵的数学思 想,从而更好地理解函数概念的本质. (三)运用元认知提问,真正体现 教师的主导作用,真正发挥学生的主体意识;鼓励学生对学习过程进行 反思,加强元认知教学. (四) “淡化形式,注重实质” ,深刻把握函数概 念的本质属性. (五)重视不同表示法之间的转换,正确理解和掌握函数 性质,加深对函数思想的认识. (六)重视函数概念的实际应用.在教学 中把概念应用到一些具体的实例中,与具体情境联系起来.

关键词

高中数学,函数教学,理解困难,教学对策

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ABSTRACT The concept of Function is the fundament in the contemporary mathematics and also a most important teaching content in the senior math. Although a variety of achievements have been made recently in the research of the concept learning of Function at home and abroad, there’s still a fact that students have difficulty understanding its concept. Therefore, there’s much to be studied further. Two questionnaires are designed to get the information how students grasp the essential concept. The questions are made according to my teaching experience of over a decade in a province-class No. one key middle school, analyzing the curriculum standard and teaching requirements and referring to the related test problems provided by the experts from home and abroad. As a result of adopting the method of Retesting and Half-split Reliability used in teaching result analysis, there’s a high reliability. The objects investigated are chosen randomly from two middle schools, 900 of whom are asked to finish the first set, 309 of whom to do the second one. With a big capacity, it should be representative. Focused on typical mistakes, six students are chosen to be interviewed according to their different levels of testing for a better understanding of their thinking and activity process. The data are tested with Group Means, Analysis of Variance and Notability Test and the One Sample Chi—Square Test in Excel and a statistical graph is also made available. Conclusions are reached through a qualitative and quantitative analysis combined with information from interviews: 1. A lack of confidence in learning. There exist the huge differences in their understanding of Function at high school level: Seniors have a best understanding of function, the junior worst. The seniors show a lowest interest in learning the function; they also demonstrate an upward tendency in their indifference toward Function. Senior students generally regard it hard to learn maths from the very start of senior one. 2. An ignorance of cognition and understanding of the nature of
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Function. Students do not understand the nature of Function when confronted with the question of evaluating and judging what a function is. Students tend to know “how to solve the problem”, instead of reaching a true understanding what it really means. 3. An insensitivity toward the Function matter in daily lives. Students showed great hesitation when making use of Function to solve the problems in their real life. The majority of students show great indifference to function relationship in their work and life. 4. The reasons for above mentioned problems: the complication of Function concept itself; unsatisfactory transition from junior middle to senior high teaching; limit of students’ intellectual development; inadequate teaching methodology, etc. With the first-hand knowledge gathered from the experiment, the following strategies are proposed to tackle the cognitive difficulties rampant in learning process: a. A step-by-step method of teaching is encouraged to smooth the transition of learning Function from junior to senior middle school. b. The history of function could facilitate students’ understanding of Function; skills and strategies adopted by other mathematicians could be made reference to for an essential understanding of the concept of Function. c. A meta-cognition method is proposed to manifest the leading role teacher play in teaching. Students’ subjectivity as active learners is compounded to encourage a reflection of their learning process. d. Neglect the form but emphasize the essence, the nature of the concept of Function should be understood deeply. e. A deepened understanding of Function will be achieved by paying attention to shifting methods in teaching. f. An emphasis on the application of Function. Function would be better understood in a more concrete situation.

KEY WORDS: high school math, Teaching of Function, difficulty in comprehension, teaching strategies
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要 ???????????????????????????????Ⅰ

ABSTRACT ?????????????????????????????Ⅲ 一 问题的提出 ????????????????????????????1 (一)研究的必要性 ???????????????????????? 1 1.函数概念是近、现代数学的基石 ????????????????? 2.函数是高中数学教学的主线 ?????????????????? 1 3.高中数学新课程函数内容的变革 ???????????????? 1 4.函数是高中生学习的难点 ??????????????????? 2 (二)国内外相关研究 ???????????????????????? 1.学生对函数的理解 ?????????????????????? 3 2.函数的教学 ????????????????????????? 4 (三)研究的目标 ?????????????????????????? 二 研究的理论基础 ??????????????????????????6 (一)关于数学理解的理论 ?????????????????????? (二)关于建构主义的学习理论 ???????????????????? (三)关于元认知理论 ???????????????????????? 三 高中生函数学习的实证调查与分析 ??????????????????9 (一)研究方法 ??????????????????????????? (二)问卷调查数据统计与分析 ???????????????????10 1.高中生函数认知发展水平的总体分析 ??????????????10 2.高中生对函数定义的理解 ???????????????????12 3.高中生对函数表示方法的理解 ?????????????????13 4.高中生函数概念及性质的应用水平 ???????????????14 (三)访谈结果统计和分析 ?????????????????????15 1.被试访谈结果初步统计和分析 ????????????????? 15 2.访谈学生的学习策略典型错误分析 ???????????????15 (四)对调查结果的反思 ??????????????????????16 1.高中生对数学学习不自信 ??????????????????? 16
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2.高中生对函数本质特征的认识不深刻 ??????????????17 3.高中生对生活中的函数关系不敏感 ???????????????17 4.高中生函数概念理解困难的原因分析 ??????????????18 四 克服高中生函数概念理解困难的教学对策 ???????????????21 (一)促进初高中的函数教学良好衔接 ????????????????21 (二)借鉴函数概念发展的历史 ???????????????????21 (三)加强元认知教学,培养学生主动学习 ??????????????22 (四) “淡化形式,注重实质” ????????????????????23 (五)正确掌握函数的表示法和性质 ?????????????????24 (六)重视函数概念的实际应用 ???????????????????26 五 函数教学设计案例与评析 ????????????????????? 28 (一) 《函数的单调性》 教学设计 ???????????????????28 (二) 《用二分法求方程的近似解》 教学设计 ??????????????31 (三)评析 ????????????????????????????35 参考文献 ?????????????????????????????? 36 附录1 ??????????????????????????????? 38 附录2 ??????????????????????????????? 41 附录3 ??????????????????????????????? 44 致 谢 ??????????????????????????????? 46

攻读学位期间发表的学术论文目录 ??????????????????? 47

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(一)研究的必要性

问题的提出

1. 函数概念是近、现代数学的基石 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学 发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久.自 17 世纪近代数学产生以来,函数 概念一直处于数学思想的核心位置.它不仅是近代数学的主要研究对象,而且自 然科学的绝大部分都受到了函数关系的支配: 分析学借助于刚刚诞生的函数概念, 逐渐摆脱了几何的直观走上了代数化的道路,而这无论从其可操作性上,还是从 其严密性上都进入了一个崭新的时代,于是分析学的许多分支诞生了,天文学、 三角学、力学、物理学中的许多问题被描绘成各种各样的函数并被解决.函数的 出现给数学注入了新鲜血液,导致了数学科学的蓬勃发展,数学中的许多概念或 由函数派生,或由函数统率,或可归之为函数观点研究. 2. 函数是高中数学教学的主线 20 世纪初,在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动 下,函数进入了中学数学.克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想 统一数学教育的内容,他认为: “函数概念,应该成为数学教育的灵魂.以函数概 念为中心,将全部数学教材集中在它周围,进行充分地综合. ” ①曲阜师范大学的 李吉宝老师于 2003 年 5 月在《数学教育学报》发表题为《有关函数概念教学的若 干问题》一文,他指出:函数内容无处不在,函数思想方法是教材体系的灵魂, 它在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中,具有其它思想 方法所不能及的指导作用;同时还能培养学生思维能力、运算能力、分析问题和 ② 解决问题的能力. 因此, 我们毫不夸张地说, 函数是构建整个中学数学的主旋律. 学生对函数概念的理解和掌握还直接影响到不等式、数列、解析几何等内容 的学习.进一步学习的数学分析,包括极限理论、微分学、积分学、微分方程及 泛函分析等课程,也都以函数作为基本概念和研究对象.函数问题还是经久不衰 的高考考查热点,考查内容全面(它不仅有函数知识内部的显性考查,更有与其 他主干知识如数列、不等式、解析几何、导数等相结合的隐性考查) 、设计新颖、 形式多样、综合性强.尤其函数概念、图象及性质(函数定义域、值域、奇偶性、 单调性、周期性、对称性、反函数等)在高考中都得到重点考查. 3. 高中数学新课程函数内容的变革 浙江省从 2006 年秋季开始全面实施人教版的《普通高中课程标准实验教科 书·数学》(A 版),新教材函数部分在处理方式上有较大的变化,在形式、内 容和要求上与老教材均有不同.主要内容包括数学 1(必修)第一章《集合与函 数概念》,第二章《基本初等函数Ⅰ》(指数函数、对数函数、幂函数)和第三章 《函数的应用》.数学 4(必修)第一章《基本初等函数Ⅱ》(三角函数).数 学选修系列 1 之选修 1-1 和数学选修系列 2 之选修 2-2《导数及其应用》.(如 图 1-1) 新课程更注重实际背景和学生的感性认识.在函数的概念一节,教科书(人 教版)给出三个实例,物理的(炮弹发射距离)、环保的(南极臭氧层空洞的面
T. J. Cooney & M. R.Wilson. 1993. Teachers’ thinking about functions: historical and research perspectives. In: T. A. Romberg, et. al. (eds.). Integrating Research on the Graphical Representation of Function. Hillsdale: Lawrence Erlbaum Association Publishers, 131-158. ② 李吉宝. 有关函数概念教学的若干问题[J] .数学教育学报,2003,12(2):95-98


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积)、经济的(我国城镇居民恩格尔系数变化情况),先用集合与对应的语言分 别分析前两例中两个变量的对应关系,然后让学生仿照(1)、(2)描述第三个例子 中恩格尔系数与时间(年)的关系,留给学生思考的余地.然后提出思考:分析 归纳以上三个实例,它们有什么共同特点?接着抽象出三个例子的共同特点,使 用归纳的思想方法引出函数的概念.在第二节中又用这三个例子分别说明函数的 三种表示方法.教材还要求结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和 方法,强调对图像特征的感受和理解,阅读部分还有用 Excel 绘制函数图像的内 容.函数的性质除了原有的单调性和奇偶性,增加了函数的最大值和最小值的概 念,淡化了反函数的内容.基本初等函数中除了原有的指数函数和对数函数,恢 复了幂函数的内容,并强调这三种函数是三类不同的函数增长模型.教材还加强 了函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系,增加了借助计算器用二分法求 方程的近似解,在链接中还有运用 Excel 进行数据拟合的内容.
图 1-1 高中数学新课程内容主线——函数


4. 函数是高中生学习的难点 函数知识体系是学生进入高中首先接触到的知识,函数概念学习前,学生对 数与形的学习基本上是分开进行的(代数主要研究“数” ;几何主要研究“形” ) , 学习中只需对数或形进行单一的思维运算即可.而函数概念具有多种表示(图象 的、列表的、解析的、箭头的) ,每种表示都可独立抽象出函数概念.与数学中其 它使用单一表示的概念相比,由于后者可直接将表示当作抽象概念的替身,而前 者却需要同时考虑几个表示,不断协调几个表示间的关系,因此大大增加了学习 ② 的困难性. 尽管国内外专家对函数教学的研究比较多, 也提出了许多宝贵的经验, 在实际教学中也已经采取了适当渗透、螺旋上升的方法,分段而有循环地安排函 数知识,但教学实践表明,学生的函数概念水平仍然较低,函数概念依然是高中 生感到最难学的数学概念之一.

① ②

王尚志,张饴慈,李延林.课程标准的设计思路[R].2006 年暑假高中数学新课程国家级培训 朱文芳.函数概念学习的心理分析[J] .数学教育学报 1999,8(4):24 -2-

(二)国内外相关研究
1. 学生对函数的理解 Vinner 使用“概念表象”这个词来描述学生是如何看待概念的.①一个人的概 念表象由他对于给定概念的全部有联系的精神想象所构成.Vinner 归纳出几种学 生对于函数的通常的概念表象: ● 函数必须由一个单一规则给定.例如,分段函数通常被看作多个函数. ● 函数必须有一个解析表达式或可操作的东西. ● 认为函数必须是系统化的、规范化的,一个任意的对应不被看作是函数. ● 函数的图像必须是连续的.例如,学生通常不以最大取整函数的图像作为 函数的代表. ● 函数必须是一一的,对于取值范围内的每一个元素恰好有一个值域中的元 素.例如,f(x)=12 通常不被看作是函数,因为它不是一一的. S. Vinner & T. Dreyfus 于 1989 年调查了以色列 271 名不同专业的大学生和 36 名初级中学的教师对函数概念的理解,结果发现,学生对函数概念的理解多种多 样,函数概念的表象和定义之间存在矛盾是很普遍的,他们在处理问题时往往依 据函数的表象而不是函数的定义.② Ed Dubinsky 于 1992 年对美国 62 名大学二、 三年级的数学专业学生进行了 问卷调查,要求学生回答“什么是函数” ,并“写出一些函数的例子” ,以此来了 解学生在函数方面的困难.他把学生对函数定义的回答划分为四个类型: Prefunction,Action,Precess,Unknow,各种类型学生分布比例依次为:40%,24%, 14%,22%.上述结果显示,学生不能很充分地理解函数概念.③ Ruhama Even 于 1987 年 11 月——1988 年 4 月在美国 8 所大学中对 162 位 未来的中学数学教师进行了问卷调查和访谈.问卷考查了被调查者对函数概念的 理解, 并要求他们根据问卷中所呈现的学生的错误结论进行分析解释. 调查表明, 许多未来的中学数学教师没有真正理解函数的现代定义,他们在问卷中对学生的 错误结论进行解释时,许多人用的是其有限的函数概念表象,而不是函数的现代 定义术语.除此之外,问卷中要求被调查者向学生解释什么是函数,许多人通常 不描述函数的定义,只是教给学生一些判断函数的规则方法,例如“通过画函数 图像和作直线来检验,一条垂直于 x 轴的直线最多只能通过函数图像一次” .④ 国内关于函数的研究也比较多,其中不乏许多中学教师长期积累的教学经验 总结. 首都师范大学数学系的朱文芳博士依据心理学, 分别从学生的概念形成水平、 不同数学气质类型上的影响以及学生思维发展水平三方面论述了学生学习数学概 念困难的根源.分析指出,函数是个较难形成的概念,教学时分两次学习来减轻



S.Vinner.1983.Concept definition, concept image and the notion of function. International Journal of Mathematics Education in Science & Technology, 14 (3): 293-305 S.Vinner &T.Dreyfus.1989. Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education. 20(4): 356-366 Ed Dubinsky.1992.Development of the process conception of function, Educational Studies in Mathematics 23,247—285 Ruhama Even.1993.’Subject---matter knowledge and pedagogical content knowledge: prospective secondary teachers and the function concept’, Journal for Research in Mathematics Education 1993,vol.24,No.2,94--116 -3-







学生认知上的困难是必要的.① 上海市控江中学的曾国光老师通过对学生问卷调查和个案调查,发现学生关 于函数概念的认知发展过程可分成 3 个阶段:作为“算式”的函数、作为“变化 过程”的函数、作为“对应关系”的函数.学生是否真正理解函数概念,关键在 于其表象的形成和发展水平.② 王智明对初中、高中和大学的学生的函数概念做了相关调查,发现学生在函 数概念的理解方面确实存在较大的困难,并从课程和教学两个角度对函数教育的 各种特点作了进一步分析,总结出不同课程观下中外教材中函数内容的不同.③ 2. 函数的教学 M. A. Malik 通过对函数概念历史的考察获得启示:中学阶段应该教简单易懂 的函数概念,为学习微积分打下基础,集合理论下的定义,应放在学习拓扑学之 前讲述.④S. Vinner & T. Dreyfus 认为,如果需要的话,不连续函数、分段函数、 有例外点的函数可以引入课堂,以扩展学生的经验,正规的定义应作为这些例子 ⑤ 的结论而得出. D. Tall 指出, 虽然函数的笛卡儿积定义, 是非常精彩的数学定义, 但它不是好的认知根源,它需要学生重新建构知识,而这又是非常困难的.⑥F. A. Norman 认为图像为研究复杂的函数关系提供了有力的分析工具,并为难以描述 的信息间的沟通提供一种手段.因此教师应该向学生提供读图、释图、作图的活 动机会.⑦T. J. Cooney & M. R.Wilson 的研究表明,教师对函数的认识、思想、信 念无疑在影响着函数的教学,因此教师的函数观应引起足够的重视. ⑧ L. L. Clement 认为学生对函数的理解过于狭隘或者包含着错误的假定,这对教学提出 了信号,课堂上师生之间要更深层次地讨论函数定义、函数的不同表示法、以及 这两者之间的联系.⑨ 广西师范大学的汤服成老师基于图式理论,分别从函数概念图式的特征、函 数概念图式的习得过程、函数概念图式的功能分析以及函数概念学习困难分析几 个方面揭示函数学习的本质. 他还指出图式理论在函数学习中具有很重要的作用, 有利于函数概念知识结构化,有利于学生形成良好的认知结构.⑩ 曲阜师范大学的李吉宝老师指出在宏观上把握渗透函数思想方法的三条基本
① ② ③ ④

朱文芳. 函数概念学习的心理分析[J] . 数学教育学报 1999,8(4):23-25,44 曾国光. 中学生函数概念认知发展研究[J]. 2002,数学教育学报,11(2):99-102 王智明. 中学函数课程与教学初探:[硕士学位论文]2003 M.A.Malik.1980.Historical and pedagogical aspects of the definition of function. International Journal of Mathematics Education in Science & Technology, 11: 489-492 S.Vinner & T.Dreyfus.1989. Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education. 20(4): 356-366 D.Tall.1992. The transition to advanced mathematical thinking: functions, limits, infinity, and proof. In: Grouws, D. A. (ed.) Handbook of Research on Mathematics teaching and Learning. New York: Macmillan Publishing Company. 495-501







F. A.Norman. 1993. Integrating research on teachers’ knowledge of functions and their graphs. In: T. A. Romberg, et. al. (eds.). Integrating Research on the Graphical Representation of Function. Hillsdale: Lawrence Erlbaum Association Publishers, 159-187



T. J.Cooney & Wilson M. R. 1993. Teachers’ thinking about functions: historical and research perspectives. In: T. A. Romberg, et. al. (eds.). Integrating Research on the Graphical Representation of Function. Hillsdale: Lawrence Erlbaum Association Publishers, 131-158.

⑨ ⑩

L. L.Clement. 2001. What do students really know about functions? Mathematics teacher, 94(9): 745-748 汤服成、王 兄. 图式理论与函数概念学习[J].辽宁师范大学学报(自然科学版), 2001,24(3):263-265 -4-

途径:与其它数学思想方法有机结合;与其它数学知识相结合;与生活实际密切 联系.他还指出,函数教学可按“早、实、清”3 个字进行导学,所谓“早” ,是 指在初一、初二的教学中,抓住相关内容及早向学生渗透函数的思想方法;所谓 “实” ,是指由实例引入函数概念,由实例引入概念,反映了概念的物质性和现实 性,符合学生的认识规律,给学生留下的印象比较深刻和长久;所谓“清” ,是指 一定要向学生讲清函数定义的“语言框架” ,通过辨识练习,对函数有一个完整的 ① 认识. 内蒙古师范大学的贾丕珠老师根据函数概念的特点和学生的认知结构,将函 数知识建构分为 6 个层次,即经历认识变量;突出关系;区别函数与算式;掌握 “对应” ;把握形式化描述;形成函数对象等主要环节.他还认为对函数概念的认 识不是简单的积累,需要有认识——反馈——再认识的往复过程.其中前 3 个在 初中完成,后 3 个适用于高中.②

(三)研究的目标
函数的概念从其诞生以来就不断被争论、改进,同时对函数的教学和理解的 研究也不断地进行.本文主要参阅近十多年来的研究文献,上述西方文献中的实 证研究部分以及国内所有文献主要对初高中、大学和中职学生的函数概念认知情 况进行探讨,有从教育学角度研究的,也有从心理学角度研究的,或者侧重于从 数学概念的角度来认识和理解函数, 或者侧重于对学生函数的学习过程进行研究, 对教学提出建议. 尽管关于函数概念学习的研究工作取得了多方面的成果,但是学生对函数概 念理解困难还是个不争的事实,所以许多研究仍待进一步发展,必须对数学学习 过程作细致的观察、调查实验、分析.我们高中教师让学生做的大量练习几乎都 是解题技能的训练,很少是关于概念理解的,这方面的习题也的确少.教师对概 念理解的教学也常是一笔带过,没给予重视.所以,学生对概念的理解水平究竟 如何?是一个有必要去调查和研究的问题.函数是中学最重要、最复杂的概念之 一,对高中生函数理解的调查研究可以作为数学概念理解研究的突破口.关于数 学概念学习的研究,必须始终围绕“认知——发展——教学”进行.用认知和发 展的观点去考察教学,在教学情境中研究学生的认知和发展的一般规律.本课题 研究的主要问题是: 1) 高中生对函数概念的理解水平究竟如何? 2) 高中生理解函数概念存在哪些困难? 3) 教师应采取怎样的对策来帮助学生克服这些困难? 根据以上研究问题,本文首先设计相应的研究内容,在两所学校进行实证调 查,以高中生为研究对象,通过问卷调查、个案访谈等方法,客观地揭示目前高 中生理解函数概念的现状,探讨造成高中生函数概念理解困难的主要原因;进而 提出克服高中生函数概念理解困难的一些教学对策.通过这样的研究,能够对高 中生函数的有效教学带来一定的借鉴作用.

① ②

李吉宝. 有关函数概念教学的若干问题[J] .数学教育学报,2003,12(2):95-98 贾丕珠. 函数学习中的六个认知层次[J]. 数学教育学报,2004,13 (3):79-81 -5-


(一)关于数学理解的理论

研究的理论基础

数学教育家 R.Skemp 认为数学理解有“工具性理解”和“关系性理解”之分. 工具性理解是指知道法则但并不懂得其理由,即知道符号所代表的事物或操作的 规则,但不知道其逻辑依据;而关系性理解是指对符号的意义、获得符号所代表 的事物意义的途径、规则的逻辑依据等有深刻的认识. “理解”不是单方面的,它 有多个侧面、多个成分,它是一个发展、变化的“范围” .① 另外,Pirie 和 Kieren 将数学理解划分成 8 个水平:初步了解、产生表象、形 成表象、关注性质、形式化、观察评述、组织结构和发现创造.这 8 个水平的关 系可以用 8 个嵌套的圆来表示,每一个圆代表了一种水平,一个圆既包含前面的 圆,同时又被后面的圆所包含,逐步拓广.这一模式描述了理解水平之间的相互 关系.它将理解看作整体的、动态的、分水平的而不是线性的发展.这表明理解 ② 是人们知识结构的不断连续的组织, 是一个动态的过程, 而不是各种认识的获得. 值得指出的是,戴维斯教授在《数学学习:数学教育的认知科学研究》一书 中曾从十分一般的角度对语言理解的过程进行了总结,而如果用我们现在所使用 的语言对这一著作中所采用的某些直接建立在“人机类比”之上的术语进行转述 的话,这就是指: ?通过阅读一个语句或一段文字在阅读者记忆中激活了某个或某些已有的图 式; ?阅读者将词语吸收(同化)到所说的图式之中,从而达到对于这一语句或 这段文字意义的理解; ?除去以上方式所获得的信息外,其他的信息来自图式自身,而后者则就体 现了这类情景的普遍特征; ?如果不能由外部的文字输入或内在的图式获得必要的信息,这时读者就不 能达到真正的理解,从而也就不可能作出适当的反应,即如不可能对有关的问题 作出解答; ?这一过程并包括所有对激活的图式是否适当及是否达到了真正的理解力评 价; ?从这一时刻起,几乎所有从属性的思维活动,包括计划、交流、行动等, 都是由通过将这一特例吸收到一般性的图式之中所获得的整体性信息所决定的, 人们事实上也根本不再注意这些信息的来源. 由以上的分析我们也就可以正确地去指明“理解”的真正涵义.这就正如斯 要普所指出的, “理解就意味着被纳入(同化)到适当的图式之中. ”③ 学生对函数的几种表示的理解是一个包含多种水平、不断建构、发展的过 程.在教学中,根据学生的问题解决表现确定他们理解的程度和水平,以利于采 取更加有效的教学手段促进学生理解水平的提高.

(二)关于建构主义的学习理论


K .Collis. 1986. Learning intellectual skills and school mathematics: A Psychological Viewpoint, Proceedings of the 10th International Conference for the Psychology of mathematics Education ,Vo1.1.London. ② 李士锜.PME:数学教育心理[M].上海:华东师范大学出版社,2001.64,80-87 ③ 郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研究[M].第二版.上海:上海教育 出版社,2002:40-41 -6-

建构主义学习理论是由行为主义发展到认知主义以后的进一步发展.行为主 义认为学习就是通过强化建立刺激与反应之间联接的链;教育者的目标在于传递 客观知识,学习者的目标是在这种传递过程达到教育者所确定的目标,得到与教 育者完全相同的理解.行为主义者则根本无视在这种传递过程中学生的理解以及 心理过程.认知主义者较行为主义进步之处在于确认了学习者内部的认知过程, 认为教学的目标在于学习这些事物及其特征,使外界客观事物内化为其内部的认 知结构.建构主义者则更进一步认为世界是客观存在的,但是对世界的理解和赋 予意义却是由每个人自己决定的.由于个体的经验不同,对外部世界的理解便也 不同. 尽管建构主义流派纷呈,各有研究侧重,但是大部分建构主义者对学习有以 下共识:学习者以自己的方式建构自己的理解;新的学习依靠原有的经验;社会 性的互动可以促进学习;有意义的学习发生于真实的学习任务中. 建构主义的学习观认为:第一,知识并不能简单地由教师或其它人传授给学 生,而只能由每个学生依据自身已有的知识或经验主动的加以建构.第二,相对 于一般的认识活动而言,学习活动的一个主要特点就在于:这主要是一个“顺应” 的过程,也即是认知框架的不断变革或重组,而后者又正是新的学习活动与认知 结构相互作用的直接结果.第三,学生学习活动的特殊性还在于:这主要是在学 校这样一个特定的环境中,并是在教师的直接指导下进行的,而且,这主要地又 是一种文化继承的行为.显然,这也就十分清楚地表明了学习这样一种特殊的建 构活动的社会性质,或者说,这即是一种高度组织化了的社会行为.① 就建构主义对于教育界的冲击而言,一个最为突出的问题显然在于:我们究 竟应当如何去认识教师的作用?例如,强调知识建构性是否就意味着对于教师作 用的彻底否定?特别是,这是否就意味着发现法应当被看成唯一合理的教学方 法?合作学习能否被看成彻底解决教学问题的一种灵丹妙药? 建构主义的教学观认为,作为一个建构主义者,我们应当充分肯定教师在教 学活动中的主导作用,特别是,无论我们采取怎样的教学形式,包括发现学习或 合作学习等,教师都应当在其中发挥必不可少的导向作用.具体来说,第一,由 于主体已有的经验和知识在新的学习过程中发挥了十分重要的作用,因此在数学 教学中教师就应十分重视如何帮助学生去获得必要的直观经验和预备知识. 第二, 应当帮助学生把抽象的数学概念与他们已有的知识和经验联系起来,从而建立适 当的心理表征.第三,除正面的作用外,我们还应看到,学生已有的经验和知识 在新的学习活动中也可能造成一定的负面影响.从而,在教学中教师也就应当十 分注意分析和消除学生已有的素朴观念和经验对于新的学习活动可能造成的消极 影响.② 可见,数学学习不是一个被动的吸收过程,而是一个以已有知识和经验为基 础 的 主 动 建 构过 程 .学 生 学 习 数 学的 过 程实 际 上 是 一 个“ 做 数学 ” ( doing ③ mathematics)的过程, 只有在“做”数学的过程中才有可能理解数学、学会数 学.这也是弗赖登塔尔说的“再创造”理论,它强调学生学习数学是一个经验、 理解和反思的过程,强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性,强 调激发学生主动学习的重要性,并认为做数学是学生理解数学的重要条件.因为


郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研究[M].第二版.上海:上海教育出 版社,2002:171-176 ② 郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研究[M].第二版.上海:上海教育出 版社,2002:220-226 ③ 张奠宙,宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社,2004:169 -7-

任何数学知识的获得都必须经历“建构”这样一个由外向内的转化过程.学生的 数学学习只有通过自身的操作活动和再现创造性的“做” ,才可能是有效的学习.

(三)关于元认知理论
元认知通常被简单地认为是“对思考的思考” (thinking about thinking) ,或对 自己的认知过程的认知.它最先由弗拉维尔提出.他指出,元认知通常被广义地 定义为任何以认知过程及其结果为对象的知识,或是任何调节认知过程的认知活 动,它之所以被称为元认知,是因为其核心意义是对认知的认知.①元认知主要包 括元认知知识、元认知体验、元认知监控三种成分.② ?元认知知识就是个人关于自身或他人在认知过程中,有哪些因素,这些因 素是以何种方式发生作用及相互作用,从而影响认知活动的过程及结果的认识. ?元认知体验是伴随认知活动的一种情绪体验,它可能发生在认知活动的任 一时刻.如在教学中,某学生意识到,他已理解并记住了大部分教学内容,从而 产生轻松、愉悦的心情,另一个学生意识到自己理解这段文字相当困难,从而产 生悲观、焦躁的情绪.弗拉维尔认为,元认知体验最可能发生在思维活动水平较 高的情况下.例如,在学习一个较难的数学定理时,每向前推进一步,都伴随着 成功与失败.理解后的喜悦,百思不解的困惑,兴奋与焦虑等交织在一起,直到 整个认知过程结束. ?元认知监控是指人们在进行认知活动的过程中,对自身认知活动所进行的 积极的、自觉的监视、调节与控制.它包括认知活动前制定计划;认知活动中实 施监控、评价和不断反馈;认知活动后对结果的不断检查、调节和修正.元认知 这一概念包含两方面的内容,一是有关认知的知识,二是对认知的调节.也就是 说,一方面,元认知是一个知识实体,它包含关于静态的认知能力、动态的认知 活动等知识;另一方面,元认知也是一种过程,即对当前认知活动的意识过程、调 节过程.作为“关于认知的认知” ,元认知被认为是认知活动的核心,在认知活动 中起着重要作用. 数学解题中所谓的“元认知” ,亦是指解题者对于自身所从事的解题活动(包 括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作 用等)的自我意识、自我分析(包括评估)和自我调整.不成功的解题者往往不 加思考地采取某一方法或解题途径,或总是在各种可能的“解题途径”之间徘徊, 而对自己在干什么,特别是对为什么要这样干缺乏明确的认识;另外,在沿着某 一途径走下去时,则又往往不能对自己目前的处境作出清醒的评估并由此而作出 必要的调整,而只是“一股劲地往前走” ,直到最终陷入僵局而一无所措.一个好 的解题者则清醒地表现出如下的 “素质” : 在具体地采用某一方法或解题途径前应 对各种可能性进行仔细的考虑;在整个解题过程中则能做到“心中有数” ,即清楚 地知道自己在干什么和为什么要这样干; 他们并能对目前的处境作出清醒的评估, 从而作出必要的调整,特殊地,即使出现了错误 ,他们也不会简单地抛弃已有的 工作,而是力图从中吸取有益的成分;最后,在成功地解决了问题以后,他们又 ③ 能自觉地对所进行的工作进行回顾, 特别是考虑是否存在更为有效的解题途径.



J.H.Flavell.1979,Meta-Cognition and Cognitive Monitoring: A New Area of Cognitive-Developmental Inquiry. American Psychologist,34,pp.906-911 ② 张大均.教育心理学[M].第二版.北京:人民教育出版社,2004:250-251 ③ 郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研究[M].第二版.上海:上海教育出 版社,2002:85-88 -8-


(一)研究方法

高中生函数学习的实证调查与分析

1. 问卷的设计 为了解高中生对函数这一重要数学概念的理解状况,笔者设计了二份调查问 卷 (为了方便统计, 卷(一)为选择题, 卷(二)是相应的问答题, 以下若无特别说明, 均指卷(一)) .问题的选择是笔者在十余年的省一级重点高中教学经验的基础上, 分析中学数学的课程标准、教学目标、教材内容和教学要求,参照国内外的专家 所编制的有关函数概念研究的测验题,按本研究的目的精心挑选和改编而成.其 中问题 1 到 3 是了解学生的背景信息; 问题 4 到 20 分别考查学生对解析式、 表格 和图形所表示的函数的理解程度,目的是了解学生识别判断函数的方法和函数概 念表象,从而了解学生对函数概念的本质特征的掌握程度,其中问题 11、19 和 20 与函数的现代定义有关,这在我国中学课程中没有涉及,其目的是查看学生对 函数本质的认识;问题 21、22、23 和 25、26 也是考查学生对函数的本质的认识, 其中 21、25 和 26 主要考查学生对函数的“单值性”和“任意性”的理解;问题 24 到 30 又是考查学生综合运用函数多种表示方法的水平;卷(二)的问题 29 是想 了解学生所认识的函数是什么;卷(二)的 28、30 和 31 主要考查学生对函数概念 的应用水平和利用函数概念解决实际问题的能力. (详见附录) 2. 问卷的信度 利用教育测量学说的重测法,用问卷(一)测试同一水平由不同教师任教的两 组学生,测试的结果相关程度高.同时,用公式分半信度法估计测验的信度,用 电脑 Excel 计算两半测验的相关系数, 得出随机选取的 47 个样本测验的信度系数 为 0.791,说明这份测验题的可信程度高. 3. 被试的选取 笔者随机选取嘉善高级中学高一、高二和高三各四个班的学生,嘉善中学高 一、高二、高三各二个班的学生,共 900 人,做问卷(一).另高一、高二、高三 各二个班的学生,共 309 人,做问卷(二).容量比较大,包括省一级重点中学和 普通中学,样本较具代表性.这次调查问卷(一)发出 900 份,收回 897 份,有效 问卷 796 份,有效回收率 88.4%(没有正确填写考号,导致阅卷失败,视为无效 问卷) ;卷(二)发出 309 份,收回 297 份有效问卷,回收率 96.1%. 问卷调查安排在 2006 年 4 月, 高三学生已经完成高中阶段的全部课程, 函数、 三角函数都系统复习过,尤其是通过选修部分的极限和导数的学习,应该说对函 数的概念有了更深的理解;而高一、高二学生也均学完了函数和三角函数. 4. 个案访谈内容 访谈的目的主要是为问卷调查作补充和说明,针对问卷中出现的典型错误和 不明白的地方,进一步摸清学生的思维活动过程,试图诊断做题困难的主要原 因.事先设计的问题是: (1)根据你自己的理解什么是函数?请举一个函数的例子. (2)你认为函数的本质特点是什么? (3)你用什么方法判断一个对象是不是函数? (4)你知道函数主要有几种表示方法吗?请一一说出来. (5)下面式子、图形、表格是否表示了 y 是 x 的一种函数关系? (6)为什么你认为这不是函数?你能否改变一下使它成为函数吗?为什么你
-9-

认为这是函数?我这样改变一下还是表示函数吗?(详见附录 3) 5. 个案访谈对象 主要根据学生数学成绩好、中、差的分布或答卷的典型性来抽样访谈.选取 嘉善高级中学学生 G1b80231、G1g80808(G1 代表高一年级,b 代表男生,g 代表 女生,80231、80808 代表学号),G2b70545、G2g71009 (G2 代表高二年级,b 代 表男生,g 代表女生,70545、71009 代表学号),G3b60341 、G3g60109 (G3 代表 高三年级,g 代表女生,60341、60109 代表学号)六名学生,具有一定的代表性. 6. 问卷调查和访谈程序 2006 年 4 月 19 日(周三)下午第三节课,统一对抽取的班级进行问卷调查, 问卷调查采用闭卷测验的形式,由各班班主任监考,被试在答题时不允许相互讨 论.卷(一)测试时间为 30 分钟,卷(二)测试时间 50 分钟.1—3 题主要是了解学 生的背景信息,不计分;4—26 题答对一题得 4 分,错误得 0 分;27—30 题答对 一题 2 分,错误得 0 分,满分 100 分. 4 月 20—21 日阅卷(卷(一)由电脑阅卷,卷(二)人工阅卷) ,22—25 日对问卷 进行统计分析, 26—28 日及 5 月 9—11 日利用午休的时间根据预先设计的访谈内 容分别对六名学生进行访谈. 每次访谈时间约 25 分钟, 人员有三名, 两名教师 (一 名提问,一名记录)和一名学生(其中 G1b80231、G1g80808 和 G3b60341 由笔 者访谈,另三位学生由他们任课教师访谈,笔者作为记录人员参加) .访谈有笔录 和录音. 7. 问卷的统计方法 依据教育测量学和教育统计学的原理, 本实证调查的数据用 Excel 软件管理, 并用 Exce1 的统计函数进行统计分析并绘制出统计图.对调查数据采用平均数检 验、方差分析和独立大样本平均数差异的显著性检验(或称 z 检验),同时结合访 谈资料,采用定量与定性相结合的方式得出了研究的结果.

(二)问卷调查数据统计与分析
1. 高中生函数认知发展水平的总体分析
表 3-1 年级 高一 高二 高三 函数测试成绩平均数和标准差 人数 样本平均数
X

N
279 268 249

样本标准差 ?X 13.138 14.583 16.437

58.49 55.08 62.39

计算公式:

? X ,? X?
N

X

?

? (X ? X )
N

2

?

?X
N

2

? ?? ? ? ?

?X ? ?
N ? ? ?

2

,

其中 X 为考生成绩,N 为考生人数. 从表 3-1 的平均分来看,高中生对函数的认知水平体现出迂回上升的形式, 高三最高,其次是高一,最低的是高二,这与郝妍琴的研究结果一致.图 3-1 成 绩分布曲线图体现出三个年级调查问卷总成绩的分布曲线呈正偏态,峰值处接近 平均分, 峰值区范围小, 说明考生群体水平较为发散, 考生成绩相对差距偏大. 图 3-2 显示出高一的成绩较集中, 高二相对分散, 高三离散程度最大, 成绩分布广. 表
- 10 -

3-1 的标准差分析同样证明了这一点.峰值区右边的高分区曲线下降速度较快, 说明这一分数区域的考生成绩差距快速拉开,结合本次命题更注重函数概念的本 质属性的考查特点,考试结果说明高中生对函数概念的本质属性掌握不深刻.这 与部分高中教师对一些基本概念的教学没有引起足够的重视有关系.
图 3-1
240 210 180
人数

函数测试成绩分布曲线图

150 120 90 60 30 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

分数段

图 3-2
100 90 80 70
人数

高一、高二、高三成绩分布对比图

60 50 40 30 20 10 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

高一 高二 高三

分数段

图 3-3
100 90 80 70
百分比

高一、高二、高三成绩累计人数百分比分布对比图

60 50 40 30 20 10 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

高一 高二 高三

分数段

图 3-3(高一、高二、高三年级的对比分析图)反映出,不同年级上同一分 数线上的人数比例并不相同, 分与分之间的比例差也不尽相同. 高三从上 60 分线 的比率开始高于高一、高二;但与高一、高二相比较,高三的离散程度更大,高
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一的成绩相对较集中.这与表 3-1 的样本标准差体现的意思相一致.另外,由表 3-2 可以看出,三个年级对函数的认知水平都有显著差异.
表 3-2 函数测试成绩平均数的显著性检验
高二 高三 高一 2.87** 2.99** 高二 5.33** **代表 p ? 0.01 , 差异极其显著

2. 高中生对函数定义的理解
表 3-3 高中生函数定义回答的分类 定义总类 映射 对应关系 变量 三要素 一一对应 依赖关系 解析式 集合 其它 不回答 高一 (N=103) 11.8% 40.9% 19.4% 9.7% 4.3% 4.3% 5.4% 0.0% 2.2% 12.9% 高二 (N=98) 2.0% 55.1% 20.4% 4.1% 6.1% 4.1% 0.0% 2.0% 0.0% 6.1% 高三 (N=96) 3.1% 21.9% 34.4% 3.1% 6.3% 0.0% 0.0% 6.3% 3.1% 21.9% 总样本 (N=297) 7.1% 39.1% 21.2% 6.5% 4.9% 3.3% 2.7% 1.6% 1.6% 12.0%

问卷(二)第 29 题要求学生根据自己的理解叙述什么是函数,考查学生对函 数定义的理解.学生的回答多种多样,详细分析了每个学生的答卷,把答案进行 分析归类, 表 3-3 和图 3-4 显示了高中各年级学生对函数定义回答的分类情况. 从 图表中看出,对于函数这个数学概念,高中生的理解呈现出多样性.高一、高二 学生集中于从对应的角度来理解函数,所占比率高一为 40.9%,高二为 55.1%; 高三学生的回答分散些,34.4%的学生从变量的角度来理解函数的定义,21.9%的 学生从对应角度来理解.回答函数是一个映射的学生高一比率最高为 11.8%,高 三其次,高二最低.这说明学生对函数概念的认识不是简单的积累和直线上升, 需要有认识—反馈—再认识的往复过程.
图 3-4 高中生函数定义回答的分类
60.0% 50.0% 40.0% 30.0% 20.0% 10.0% 0.0%

高一 (N=103) 高二 (N=98) 高三 (N=96) 总样本 (N=297)

映 对 射 应 关 系

变 量

集 合

在学习函数的过程中,学生先后学习了函数的两种定义: “变量说”和“对应
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三 要 一 素 一 对 依 应 赖 关 系 解 析 式

其 它 不 回 答

说” , 所以很多学生从对应的角度或从变量的角度来理解函数. 另外学生从实际中 也体会到函数有时是一个式子,有时是一种图象,有时是一种运算,正是由于这 种函数概念呈现形式的多样性、复杂性,使学生对函数的理解只停留于具体的函 数形式,停留于表面现象,而未真正把握函数的本质. 从另一视野来看,学生给出的定义包含了自莱布尼兹到布尔巴基学派期间诸 多数学家的定义,这表明学生对函数的认识过程与函数的历史发展过程是相似 的.我们知道,函数是一个古老的概念,是经过众多数学家的努力逐步发展起来 的,函数概念的产生和发展是一个从直观到抽象、从含糊到清晰的漫长历程,这 一历史进程对教材的安排以及我们的教学具有一定的启示作用. 3. 高中生对函数表示方法的理解 问题一到三即第 4 到 18 题考查了学生对函数表示方法的理解. 从表 3-4 和表 3-5 看出,高一与高三无显著差异,高二与高一或高二与高三差异极其显著.样 本标准差说明高二学生 4 至 18 题的测试成绩离散程度较大,数据较参差不齐.
表 3-4 学生对函数表示法的理解数据分析
年级 高一 高二 高三 人数 N 279 268 249 样本平均数 样本标准差

表 3-5 学生对函数表示法的理解平均数 的显著性检验
高一 高二 高三 3.32** 1.03 4.22** 高二

X
63.42 56.67 65.41

?X
22.374 25.040 22.046

从图 3-5 可以看出,不同年级的学生对图像表示的函数判断正确率均最高, 都在 72% 以上;其次是对解析式表示的函数的判断,正确率在 51%至 60%之间; 正确率最低的是表格形式给出函数,平均正确率只有 32.3%.数据说明高中生对 表格表示的函数理解存在困难.另外,表格表示的函数高三学生的理解水平远高 于高一和高二,差异极其显著.而解析式表示的函数高一正确率最高,其次是高 三,最后是高二.这主要是因为 y 2 ? 2 x 和 x 2 ? y 2 ? 25两题,高一的正确率远超 过高三和高二,通过个案访谈了解这是因为高二和高三学了二次曲线后对函数的 概念引起了干扰.
图 3-5 学生对函数表示方法的理解的平均正确率
90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% (N=279) (N=268) (N=249) (N=796) 高一 高二 高三 总样本 解析式 表格 图象

表格1某公司职员工资表和小蚂蚁爬行的题目(第 11、19 题) ,正确率只有
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13.3%和 25.4%,认为 y 不是 x 的函数的原因,主要有以下几个方面: ● x 的集合不是数集; ● y 与 x 间无固定的对应法则; ● y 与 x 之间没有一定的规律,不能构成函数解析式; ● 有不同的 x 对应的 y 值一样; ● 不是一一对应关系. 其中 65.9%的学生认为 y 与 x 间无规律,或者说无固定的对应法则;11.2%的 学生认为函数的定义域是数集,而所给出的定义域是成员的名字或是位置,不能 构成函数.笔者在和教师交谈中得知,有很多教师也认为这两题不是函数,因为 他们也认为构成函数关系的两个集合必须是数集.这些教师不知道函数概念发展 的历史,对函数概念的理解有很大的局限.教师狭隘的函数概念知识必然影响学 生函数内容的学习,学生出现同样的错误就在所难免了.除此之外,这两题的答 题情况还表明了学生对生活中的函数现象显得不太敏感. 第 22 题正确率是 95.6%,而 23 题的正确率只有 55.7%.说明学生对函数的 三 要 素 掌 握 得 比 较 好 , 但 学 生 学 习 了 函 数 概 念 , 在 遇 到 y ? f ( x)(x ? R) 与
s ? f (t )(t ? R) 时却认为是二个不同的函数. 说明许多高中生对数学知识是缺乏深

刻理解的,对数学概念的掌握仅停留在表面层次,不能举一反三,不能有效地进 行知识的迁移. 通过对学生的解释进行分类,结合个案访谈结果,发现高中生在判断一个对 象是否为函数时更多的学生是根据函数概念在头脑中的表象. 4. 高中生函数概念及性质的应用水平 第 21、24 到 30 等题主要考查学生对函数多种表示方法的综合理解和应用水 平.第 24 题要求学生“把圆的直径表示为圆面积的函数” ,结果只有 20.6%的同 学回答正确,大部分学生把函数表达式写成 s ?
?d 2
4

.此结果表明,当函数以表达

式 y ? f ( x) 给出时,学生知道 x 是自变量,y 是 x 的函数.但若用文字表达时,许 多学生会出现错误,说明学生对函数概念中自变量和因变量的认识存在困难. 第 21、25 和 26 题主要考查学生对函数的“单值性”和“任意性”的认识, 三题平均正确率分别为 45.98%、43.1%和 37.1%,说明高中生对函数本质特征的 认识是很匮乏的,相对于“函数的单值性”而言,对“函数任意性”的认识更加 困难.他们认为函数必须有一个解析表达式或可操作的东西;函数对应法则应该 是有规律的,一个任意的对应不被看作是函数;函数必须是一一的;函数图象要 “美观”和“合理” ,并且函数是熟悉已知的,函数集合是数集等等.
表 3-6 平均 正确率 27 题 28 题 29 题 30 题 高一 (N=279) 55.2% 88.2% 88.5% 54.1% 27 至 30 题的平均正确率 高二 (N=268) 58.6% 89.6% 84.3% 58.2%
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高三 (N=249) 70.7% 90.4% 89.2% 69.5%

总样本 (N=796) 61.2% 89.3% 87.3% 60.3%

第 27 至 30 题的平均正确率如表 3-6 所示,说明学生认图识图的能力随年级 而增强,对于熟悉的函数图象学生更易把握. 卷(二)的 30 题是一个数学建模问题,旨在考查学生运用函数概念解决实际应 用问题的能力.以高二年级为例,45%的学生完全正确;16.2%的学生列对了函数 解析式,但没做对第二问;32.6%的学生在建立函数关系时出错;还有 6.2%的学 生没有做此题. 卷(二)的第 31 题有一定的难度,需要综合运用函数图像和单调性的知识.有 28.8%的学生画图正确,39.7%的学生感觉无从下手,15.2%的学生画成了线段, 还有 16.3%的学生搞错了单调性. 此结果表明,较多的学生认识不到存在于生活现象中的函数关系,用函数概 念解决生活实际问题的水平较低.

(三)访谈结果统计和分析
1. 被试访谈结果初步统计和分析 一方面,学生回答问题具有不确定性.访谈时发现,有些学生容易改变他的 判断,难以作出一个确定的判断.这说明他对函数概念的理解还处于模糊的,似 是而非的状态,常常只是根据头脑内模糊的函数表象作猜测,自己也并不明白为 什么.没有认识到函数各种表征形式的内在的“质”的学生就容易发生这种现象. 另一方面,学生的判断和真实的理解有时是不一致的. 如第 5 题:下面式子、图形、表格是否表示了 y 是 x 的一种函数关系? 为什 么你认为这不是函数? (1) y ? 0 ; (4) xy ? 1 ; (2) y 2 ? 2 x ;
? ?1 ( x是有理数) (5) y ? ? ; ? 1 ( x 是无理数 ) ? ?

(3) x 2 ? y 2 ? 25 ;

?1 ( x ? 0) (6) y ? ? . x (0 ? x ? 1) ?

(1)学生 a:是.理由:定义域确定且符合一一对应关系. 学生 b:否.理由:y=0 是一个数,与 x 无关. (2)学生 a:否.理由:不相互对应. 学生 b:是.理由:符合函数定义. (3)学生 a:否.理由:当 x>5 时无值与 x 对应. 学生 b:否.理由:不是一一对应. 学生 c:否.理由:是方程,而且不知道哪个是自变量. (4)学生 a:是.理由:是反比例函数. (5)学生 a:是.理由:x 的值有唯一的 y 和它对应. 学生 b:不是.理由:等式中只有 y,没有 x. (6)学生 a:是.理由:是分段函数. 学生 b:是.理由:定义域内的每个 x,都有唯一的 y 和它对应. 学生 c:不是.理由:不满足一个 x 有唯一的 y 和它对应. 学生可以由一个不适当的理由作出一个正确的判断;或是根据其对函数正确 的理解得出了正确的判断,但他所写出的理由却是不适当的,还有的写的理由正 确,但判断却错误的现象(因为他没有真正理解或不会应用他写出来的理由,只是 机械地记住了). 2. 访谈学生的学习策略典型错误分析
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学生的困难在于不能全面地理解和掌握函数的对应关系,难以在不熟悉的、 复杂多样的函数表征形式中排除非本质因素的干扰,抽象出其中内在的对应关 系.对函数各种表征形式的识别能力体现了学生函数理解的真实水平,这种能力 (或说理解水平)不是学生记住了函数的对应定义就能获得,而是要在学生有关函 数概念理解的练习(如函数的识别)中形成.

(四)对调查结果的反思
1. 高中生对数学学习不自信 不同年级的高中生对函数概念的理解存在差异,对函数的认知水平呈现出迂 回上升的形式,高三最高,其次是高一,最低是高二.这与课程设置有关系.高 中的函数内容基本上都在高一学的,高二函数内容涉及较少,学生遗忘较严重; 高三阶段,学生经过对函数概念的重新复习和认知,概念更加清晰明确,认知结 构更趋合理和完善.但高三学生的函数测试成绩离散程度最大,分布最广.这应 该引起高中数学教师的重视.
图 3-6 学生对数学感兴趣的程度
45.00% 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00%

高一(N=279) 高二(N=268) 高三(N=249)

很感兴趣

感兴趣

一般

不感兴趣

图 3-7 学生开始感觉数学难的时间
70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% 初中 高一 高二 高三 从不 高一 (N=279) 高二 (N=268) 高三 (N=249)

通过进一步调查,发现对数学不感兴趣的比例,高三明显高于高二,高二又 明显高于高一. (见图 3-6)三个年级的高中生普遍认为从高一开始感觉数学难学 了,其中高一年级有 66%的学生认为随着高一数学学习的不断深入,感觉愈来愈 困难,信心愈来愈差. (见图 3-7)另一方面,三个年级选择“从不感觉数学难学” 的比率均不超过 2%,尤其是高一还没感觉到数学难学的同学,在还没有进入高 二和高三的学习的时候,就已经认定自己从高二或高三起会感觉数学难学.这除
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了学生对数学学习不自信外,还体现了一个观念问题,在学生的潜意识中,数学 是难学的,或是在即将到来的数学学习是困难的.因此,高中数学教师要重视高 一数学的起始教育,帮助学生尽快适应高中学习,提高兴趣,树立信心,在实际 教学中根据学生的现实水平采取适当渗透、螺旋上升的方法. 2. 高中生对函数本质特征的认识不深刻 高中生忽视对函数本质特征的认识和理解,存在过分形式化的倾向.通过对 学生的解释进行分类,结合个案访谈结果,发现高中生在判断一个对象是否为函 数时有的学生是根据定义, 更多的学生是根据函数概念在头脑中的表象. 有 65.9% 的学生认为 y 不是 x 的函数的原因是“y 与 x 间无规律” ,或者说“无固定的对应 法则” . 说明高中生对函数本质特征的认识是非常匮乏的, 相对于 “函数的单值性” 而言,对“函数任意性”的认识更加困难.他们认为函数必须有一个解析表达式 或可操作的东西;函数对应法则应该是有规律的,一个任意的对应不被看作是函 数;函数必须是一一的;函数图象要“美观”和“合理” ,并且函数是熟悉已知的, 函数集合是数集等等. 在函数概念的教学中,对函数概念三要素的认识确实也是高中数学课程中对 函数概念学习的一个重要方面.但是,在以往对函数定义域和值域的训练中,人 为设置的繁难训练的成分过多,而对函数本质的探索、认识、理解和应用显得不 够.调查结果(图 3-8)告诉我们,学生在听教师讲解某一个新问题时,他们更 希望得知的也是“具体如何去解这种新问题” ,而不是“前面所学知识对于这个新 问题的学习具有什么帮助和联系” ,更不是“这个问题是怎样产生的” .这导致高 中生对数学知识缺乏深刻理解,对数学概念的掌握仅停留在表面层次,不能举一 反三,不能有效地进行知识的迁移.
图 3-8 学生更希望听到教师讲解的内容
70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% 高一(N=279) 高二(N=268) 高三(N=249)

联 系 和 帮 助

怎 么 解

3. 高中生对生活中的函数关系不敏感 三个年级的高中生都对给出解析式的函数关系较为熟悉,而当函数关系以一 个较为熟悉的生活现象(如小蚂蚁的爬行问题)出现时,学生对做出的答案显得 明显不够自信,他们很容易改变自己的判断.而让学生自己举出一个生活中接触 到的函数, 学生感觉更难了. 这说明学生认识不到存在于生活现象中的函数关系, 用函数概念解决生活实际问题的水平较低. 分析其中的原因,可能是数学课堂仍保持着传统模式,数学应用仍没有找到 应有的位置.在以往的学校函数教学中,虽然让学生明确了函数的形式化定义, 但给学生提供的函数例子多以解析形式给出,从已有的函数关系出发,去加以研
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怎 样 产 生



究, 很少把函数知识镶嵌于生活现象中. 学生也较少经历在已有实验数据基础上, 自己总结函数关系的过程. 为了升学师生也不愿把宝贵的时间浪费在 “数学以外” 的活动上. 4. 高中生函数概念理解困难的原因分析 ⑴ 函数概念本身的复杂性 函数概念包含两个本质属性——变量和对应法则( “单值性”和“任意性” ) , 及一些非本质属性(如集合、定义域、值域等) ,它研究变量及其关系,是一个辩 证概念.所以,从函数概念本身上看,这是一个较难形成的概念.在教学实践中 发现,学生的函数思想完全包含在“公式”之中.例如在访谈中让学生举一个函 数的例子,两位学生给出的是代数式(分别是 x 2 和 lg x ) ,另四位给出的是函数解 析式, 且都是一次或二次函数, 这种作为公式的概念对学生来说是根深蒂固的. 当 一个函数和一个公式一样的时候, 学生的思维中就没有函数定义域和值域的地位, 对于求函数值的活动,学生只是机械地把数带入字母,他们根本没有建立起可操 作的东西与函数概念本质属性的联系.它无法体现出函数概念作为描述运动、变 化的本质特征.从函数概念形成所需要达到的思维水平来看:理解函数首先就是 要构建一个过程,要求学生反映函数可能出现的一个情形(解析式、表格、或图 象) , 对于这个情形函数的定义域中的每一个特定的值都得到一个函数值, 这就要 求学生在他的思维中构建一个与函数概念相联系的过程来反映这种动态的变化.
X Y

1 2 3 4 ∶
图 3-9

1 4 9 16
∶ 图 3-10

同时,考察学生形成函数概念的一个重要标准是看其能否正确地运用函数概 念的几种表示.函数概念表示的多样性,一方面表现在定义域、值域表示法的多 样性,可以用集合、区间、不等式等不同形式表示;另一方面表现在一个具体函 数表示的多样性,它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示,例如平方函 数的表示: ①用自然语言表示:平方函数; ②用 Venn 图表示:如图 3-9; ③用解析式表示: y ? x 2 ; ④用图像表示,如图 3-10; ⑤用列表表示:如表 3-7.??
表格 3-7 平方函数

x y

? ?

1 1

2 4
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3 9

4 16

? ?

能否从每一种表示中独立地抽象出函数概念来,能否正确地使用函数的不同 表示形式,灵活地对不同的表示进行转换,是考查函数概念形成水平的重要标 准.函数概念符号表示更具有抽象性,随机地翻开任何一本数学教科书,涉及到 函数时,出现的往往是一些符号.因此与其他数学概念相比,函数概念更容易造 成学习上的困难. ⑵初高中教学衔接的失败导致学生函数概念学习困难 调查问卷的第一题告诉我们学生从高一开始觉得数学越学越没兴趣,第三题 三个年级的学生均选择“从高一开始感觉数学较难”的比率最高.这是因为初中 生在学习过程中表现出极大的依附性,机械记忆所起的作用相当大,解题注重套 模式,对知识缺乏整体认识,对知识间的内在联系也把握不够.而高中数学的学 习特别注重理解,注重数学思想与数学方法在解题中的指导意义,注重对解题规 律与方法的总结,元认知能力不断发展.他们不仅要掌握每一个知识点,而且还 要掌握知识的形成过程,弄清各个知识点在知识体系中的地位和作用以及知识间 的内在联系,并不断地构建、完善知识体系.这是初高中学习方法的差异. 在学习内容上,一些与高中联系较大的知识,在初中并不是重点,在教学中 浅尝辄止,没有深入;更甚的是有一些内容(如立方差公式)初中的教材已删除, 而高中教材却没有增加.进入高中后再深入导致难点过于集中,加上中考后假期 较长,部分学生思维松懈,使许多与高中联系较密切的知识被遗忘,造成知识脱 节.而高中教材第一、二章,概念、性质、法则、定理又特别多,不仅有大量抽 象的概念难以理解,如函数、集合、增(减)函数等等,而且还要掌握大量抽象 的数学符号和数学术语,如 y ? f ( x) 等等,我们既要准确理解他们的意义,同时 还要能够运用它们进行推理、运算,而且在这两章中几乎渗透了高中所有必须掌 握的数学思想和数学方法,如集合与对应、分类讨论、数形结合、等价转化等数 学思想及配方法、换元法、反证法、待定系数法等数学方法. ⑶学生思维发展水平和数学语言理解能力方面的原因 函数概念的学习,要求学生进行数形结合的思维运算,符号语言与图形语言 的灵活转换.但在高中生的认知结构中,数与形基本上是割裂的.理解函数概念 时,需要学生在头脑中建构一个情景(解析式的、表格的或图形的) ,使得函数的 对应法则能够得到形象、动态的反映;函数是对应法则、定义域、值域的统一体, 学生应当领会它们之间相互制约的关系,对三者进行整体把握.像这种抽象地、 动态地、相互联系地、整体地认识研究对象,而且要在头脑中把整个动态过程转 化为研究对象来研究,这就需要学生的思维在静止与运动、离散与连续之间进行 转化.但是,高中生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶段,他们看问 题往往是局部的、静止的、割裂的,还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来, 还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任 务.例如,学生常常认为,x“代表”一个单个的数(可能是未知的) ;求函数值 就是把数代入“公式”中的字母的运算;学生举出的函数例子是形如 “ y ? x 2 ? 2 x ? 3 ”之类的代数式.学生常常把函数概念与“解析式”等同起来, 因此函数的动态性、变化性在学生思维中得不到充分反应. 许多数学概念的语言表述都代表了概念产生的条件,是相应事物在数量方面 的发生发展过程的一种抽象,因此,概念的叙述过程实际上表明了概念应用时应 该遵循的一种操作程序.在数学的教和学的过程中,学生除了要有领会一般的自
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然语言的能力外,还需要逐步地了解和掌握数学中独有的语言特点.事实上,有 不少学生的学习困难或错误就是产生于对数学语言的使用和理解. 第 24 题要求学 生“把圆的直径表示为圆面积的函数” ,结果只有 20.6%的同学回答正确,大部分 2 ?d 的学生把函数表达式写成 s ? .他们搞不清楚“谁是谁的函数” ,这种答案的
4

出现不是偶然的,它暴露了学生对数学概念的相关术语不熟悉,不理解.这反映 了学生对数学语言的理解存在困难,学生对数学语言的理解能力,也直接制约着 学生形成概念的水平. ⑷教学过程中某些环节不当导致学生理解困难 为什么就数学的实际应用而言存在如此多的失败实例?特别是,我们的学生 又为什么常常不能将所学到的数学知识成功地应用于日常生活的各个场合?知识 的可迁移性不仅取决于知识本身的性质,而且也与知识是如何获得的有着很大的 关系.某些教师只强调数学知识结果,忽视知识发生过程的教学就容易导致学生 理解困难.这是由于一方面学生的数学理解过程应遵循由具体到抽象、由简单到 复杂的认知发展规律. 直接引入较抽象的数学概念、性质、定理等知识,而忽视 其内在发生过程的教学,显然是不符合这一认识规律的.另一方面忽视知识发生 过程的教学也不利于学生全面认识知识的本质.学生即使通过这种方式获得数学 知识也只能是形式上的,不能够真正的建构起知识的意义,从而也不能将其真正 纳入到原有的数学认知结构中去. 部分教师不注重揭示数学知识间的逻辑关系,不能够将新旧知识联系起来, 而是孤立地呈现一些数学概念、法则,也给学生建立新旧知识的联系及在此基础 上建构知识带来困难. 另外,有些数学教师语言表达能力较差,在教学中使用的语言不合理.其一, 讲授数学知识时,用词不准确,表述不科学,使学生在概念理解时引起歧义;其 二,语言不精练,对一些术语或基础知识讲不清楚;其三,语言缺乏逻辑性和条 理性,语意跳跃性较大.数学教师在语言表达方面的这些缺陷无疑也会增加学生 的学习难度,给他们深刻理解数学知识带来障碍.

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四 克服高中生函数概念理解困难的教学对策
函数的概念是一个非常典型、非常重要的核心概念,高中阶段可以把函数看 作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型; 是联结两类对象的桥梁——对应关系; 还是描述客观世界变化规律的重要数学模型.以上是认识函数的三个不同角度, 它们可以帮助学生更全面地认识函数,也是学生在高中阶段中应留下的知识.本 研究揭示了高中生在学习函数概念时的认知起点和认知困难.这为高中数学教师 提供了函数教学的第一手材料,在今后的函数教学中应注意运用以下教学对策.

(一)促进初高中的函数教学良好衔接
针对初高中教材、教法与学法特点,及学生的认知水平与思维能力,可以采 取以下措施. 1. 合理铺垫,循序渐进 初中生刚升入高中,对新的环境有一个适应的过程,好多学生对初中所学的 知识已经遗忘,因此在讲授高中新课时要对初中的知识进行回顾.在函数教学过 程中,要处理好与初中时学习的函数内容有一个较为自然的衔接,让学生认识到 再次学习函数的必要性,通过典型的例子、适当的教学方式、适当的组织教学形 式,为进一步学习函数做一些准备,为学习新课打下坚实的基础.对教材中难度 较大的内容采取分步到位的策略,如求函数的值域或最值既是一个重点同时也是 一个难点,讲授时通过求一些简单的一次函数、二次函数的值域让学生理解值域 的概念;单元复习时介绍几种求值域(或最值)的基本方法如配方法、换元法或 单调性法等,在教学中不过于要求学生思维的严谨性,降低逻辑门槛,同时注重 数学的生活化、趣味化,充分体现数学的人文精神,让学生消除学习数学的畏惧 心理,从而喜欢学数学. 2. 运用情感,唤起学习热情 搞好初高中衔接,除了优化教学环节外,还应充分发挥情感和心理的积极作 用.教师深入学生当中,从各方面了解关心学生,特别是差生,帮助他们解决思 想、学习及生活上存在的问题.给他们多讲数学在各行各业的广泛应用,讲一些 著名数学家在成功之前所受的挫折,使学生提高认识,培养学生正确对待困难和 挫折的良好心态.在提问和布置作业时,从学生实际出发,多给学生创设成功的 机会,使学生体验成功的喜悦,增强学好数学的信心.

(二)借鉴函数概念发展的历史
荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔说过,没有一种数学思想是按照它被发现 时的方式加以发表的.一种技巧发展了、使用了,一个问题得以解决了,就把解 决问题的程序颠倒过来.??于是火热的发明变成了冰冷的美丽.数学教育需要 把这种冰冷的美丽恢复到火热的思考,反璞归真,还数学的本来面目. 从历史的角度看,人类对函数概念的认识经历了一个漫长的过程,而这一过 程在总体上将重现于学生对函数概念的认识活动之中. 历史上, 自 1637 年笛卡儿 的《几何学》问世起,数学才开始有“变量”的概念,但“变量”一词尚未出现, 自然更谈不上函数.一直到牛顿—莱布尼兹时代,数学里还没有给出函数的一般 定义,但这并不妨碍人们对函数、特别是一些具体函数的研究与应用. 后来,欧拉给出了三种定义: ? 变量的函数是一个解析表达式, 它是由这个变量和一些常量以任何方式组
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成的; ? 在 xy 平面上徒手画出的曲线所确定的 x 与 y 之间的关系是函数; ? 如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量,即后面的变量变化时, 前面的变量也变化,则将前面的变量称之为后面的变量的函数. 1837 年,狄利赫莱给出了函数的古典定义:对于 x 的每一个确定的值,y 都 有完全确定的值与之相对应,则 y 就是 x 的函数. 19 世纪 70 年代,康托的集合论出现以后,函数又被定义为集合之间的对应 关系:如果对于集合 M 中的每一个元素 x,都有集合 N 中的一个元素 y 与之相对 应,则称 y 是 x 的函数. 近代,函数又有了新的定义. 本研究结果表明,学生在学习函数概念时所出现的困惑和问题与函数概念发 展史上出现的困惑和问题是相一致的. 上述简史可以给函数的教学以重要的启迪, 即学生对函数概念的认识也应当有一个渐次发展的过程.起初,他们或许不知道 函数的定义,包括它的名称,但不等于说他们不可以研究函数,特别是那些具体 的有实际背景的函数.在教学中教师应适当地穿插数学史内容,呈现函数概念发 展的历史,让学生明白函数概念发展的来龙去脉,学习数学家思考问题的方法和 解决问题的途径,借鉴他们的经验和其中蕴涵的数学思想,从而更好地理解函数 概念的本质.

(三)加强元认知教学,培养学生主动学习
由于学习活动的有效性同样依赖于主体对于自身学习活动(包括认知结构和 学习策略等)的自我意识、自我评价和自我调节,因此,这也就为我们搞好学习 指明了一个更高的努力方向,即应使其成为一种高度自觉的学习活动. 1. 运用元认知提问,发挥教师的主导、学生的主体作用 启发式数学教学最主要也是最基本的方法, 是运用 “元认知提示语” 发问. 要 让学生探究,教师就要教他怎么探究.但不是明白地告诉他如何探究,而是通过 教师“暗中”的引导.最好的引导就是用元认知提问来启发学生,以至发展到学 生学会用元认知提问来引导自己,这就可以达到“教他怎么学”了.这种教学方 法,称之为“元认知提问”的启发教学. 比如上课起始提这样的问题: “这节课我们应该研究什么?” 或者, “通过这几 节课的学习,我们可以研究什么?你想研究什么?” 如果学生提出的课题不到位, 教师可以发问: “能不能把你的问题表述得更加明确一点呢?” 这是元认知提问. 还 可以发问: “如果要研究这个问题的话,那么着重要解决什么问题?” 还有, “达到什么目标就算把问题解决了?”这也是元认知提问.比如在上对 数的运算时, 在学生根据类比猜测出对数的运算性质后, 问, “你认为这个问题应 探索到什么程度,才算真正把问题解决了呢?”学生提出: “如果能证明之并会应 用就好了. ” 这是对探究的结果或者目标做出的预测和估计, 应该说这是科学研究 和数学学习的好习惯.接下来,这些性质能不能证明呢?怎么去证明呢?要证明 的话, 手头上有什么样的材料啊?有什么工具啊?材料——到问题的条件里去找, 工具——到已学的知识和方法中去寻.这样步步深入,层层递进,就是在学习探 索,在学习一般科学研究的方法了.这样做的好处是,真正体现了教师的主导作 用,真正发挥了学生的主体意识. 2. 鼓励学生对学习过程进行反思,加强元认知教学
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数学教育家弗赖登塔尔曾经指出: “反思是数学思维活动的核心和动力. ”在 数学学习中,反思是指学生把自己的数学学习思维活动的过程作为考察对象,然 后加以调整、改进或提炼.在当代认知心理学中,它属于元认知的概念范畴. 从前面访谈可以知道,不少学生不注重解题回顾、反思,从而学生难以建立 函数概念体系网络.我们认为函数概念教学应注意以下几点: (1)老师在课堂教学时,刚开始可以帮助学生进行解题回顾、反思,最后让学 生进行总结. (2)加强变式和题组教学,帮助学生建立概念间的联系. (3)对错误解题的反思. 由于数学理解是一个逐步深入的过程, 决定了高中生 不可能一次性地直接把握数学知识的本质,必须要经过多次地反复思考、自我调 整即坚持不断地反思,才可能洞察数学对象的本质特征.反思是不断提高学生数 学元认知水平的重要手段,也是促进学生数学理解的一个重要途径.因此,教师 在数学教学中应经常鼓励和引导学生对自己的思维过程进行反思,比如教师可以 引导学生去思考:我真正理解了吗?这种解释合理吗?我的方法有没有漏 洞???只有这样,才能不断提高学生的元认知水平,促进学生对数学知识的深 刻理解.

(四) “淡化形式,注重实质”
教学应当“淡化形式” ,也即应当允许非形式化,特别是,应当“淡化概念” , 也即不要把概念放在最前,不要把概念看成是“百分之百的不可变动、神圣不可 侵犯” , “不要单纯在概念本身上下功夫” ,而应把重点放在对实质的领悟上. 函数概念的引入过程应从对实际事物模型的知觉和表象中获得感性认识,再 引导学生把关键、特征、本质抽象出来,加以分析、综合、比较、概括,然后下 定义、揭示内涵.这样学生不但容易理解函数概念,而且可以逐步培养学生学会 透过现象看本质,由浅入深,去伪存真,进行思维的深化,自觉完成感性认识到 理性认识的飞跃.特别是函数概念对初学者有一种空洞的感觉,而实例(如炮弹 的高度与时间的关系、南极臭氧空洞面积从 1979 年到 2001 年变化的图象、“八 五”以来我国城镇居民恩格尔系数变化数据表)的引入可使学生对函数概念所描 述的对象有丰富的感知,有助于学生把感性认识上升为理性认识.函数概念产生 于研究变量之间关系的需要,函数是描述数学和现实问题的有效工具.学生已有 经验中也存在许多可以用以说明函数产生过程的实例.例如考察多边形的边数与 内角和之间的关系,可以用列表的方式来组织信息.
表格 4-2 多边形边数和内角和的关系 边数 内角和 3 180° 4 360° 5 540° 6 720°
E

7 900°
B

通过引导学生对表格进行观察,有的学生 会注意到,边数每增加 1,内角和增加 180° ; 通过归纳,有的学生会猜测到边数与内角和之 间存在下列关系:Sn=180° (n-2).这是一个一 次函数.这个过程可以使学生建立起对变量之 间变化关系的直观感受,这对理解函数概念是 很重要的. 为了使学生获得猜想正确的自信心,教师 应鼓励学生采用不同方法来探索问题.例如,
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A

C D

图 4-1

上述问题还可以用画图的方法进行探索(如图 4-1) : 方法一:从四边形到五边形,增加了一个三角形,故内角和增加了 180° . 方法二:从 n 边形的一个定点(如 B)画出所有对角线,恰好得到(n-2)个 三角形,于是内角和公式得到确证. 方法三:可以用递推的方法, S n?1 ? S n ? 180? . 之所以要鼓励学生采用多种表示方式探索规律,目的是为了使学生由此体验 函数关系的产生过程,为后面的抽象概念学习打下基础.实际上,在探索过程中, 学生可以获得变量之间相互依赖关系的切身感受,这种感受对于理解抽象的函数 概念是非常重要的.因此,教师应当在教学中多采用学生熟悉的具体实例,引导 学生认识其中的变量关系.另外,在上述过程中,学生所使用的主要是归纳的思 维形式:通过归纳,探寻规律.归纳之重要性,不仅在于由它可以猜想结论,可 以培养学生的创新思维,而且还在于它采用了由具体到抽象、由特殊到一般的形 式, 这就可以使推理建立在学生已有经验的基础上, 这是符合学生的认知规律的. 数学概念的学习,更重要的是要真正把握它的本质属性.概念的本质属性是 指一个特定数学对象,在一定范围内保持不变的性质,而可变的性质则是“非本 质属性” .形式多变的非本质属性往往掩盖了本质属性,干扰对本质属性的把握, 因而要真正认识数学对象的本质特征,不在心理上经历一番周折,不经过深层次 的智力参与是不可能的.对于函数,很多学生说不清楚它的定义,要他们举出具 体的函数,大多数人只会举出有解析表达式的例子.在他们的头脑里存在着一种 非本质属性泛化的错误观念: “有数学表达式的才是函数” .许多教师认为“函数 就是数集到数集上的映射”这句话不难理解,实际不然,学生并没有真正掌握函 数的本质特征.函数的本质属性是指:“集合到集合的对应关系” 、 “随处定义”和 “单值定义” .至于对应关系的形式,并不是函数的本质.所以函数的表达形式可 以是独立的解析式, 也可以是其他的形式, 如数表形式、 图象形式、 箭头形式等. 无 论函数关系用什么形式表示,只要具备函数的本质特征,它就是函数.形式不是 函数的本质,符号当然也不是函数的本质,即使以解析式表示的函数,其所用的 字母也可以是任意的,并不是一定要用 x 表示自变量,用 y 表示函数.也可以用 t 表示自变量,x 表示函数.

(五)正确掌握函数的表示法和性质
1. 重视不同表示法之间的转换,促进对函数概念的理解 函数的各种表示法及不同表示法之间的相互转换是理解函数概念的重要途 径.在函数概念的教学中,教师通常会从解析式入手进行函数概念的教学,这样 虽便于学生接受,但与此同时学生往往会把函数看成解析式.为此在教学中要给 出函数的多种表示法(解析式、列表法和图象法).通常,在人们头脑中,函数的 表示主要使用解析式,但实际上,现实生活以及其他学科的学习和研究中,各种 表示(语言的、图像的、表格的、符号的)的应用都非常广泛.因此通过社会实 践及其他学科中的实际问题,可使学生体会函数的不同表示法各自的特点,认识 列表法与图象法也是表示函数的重要方法,并能根据具体问题的需要,对表示法 作出选择,引导学生掌握各种表示法的区别和联系,从而加深学生对函数概念的 理解. 例如下面的例子,要求语言表示与图象表示相互转换. 图 4-2 中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象
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写出一件事. (Ⅰ)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作 业本再去上学; (Ⅱ)我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时 间; (Ⅲ)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.

图 4-2

这是个很好的习题,首先问题来源于学生的生活实际,让学生感觉到原来函 数是和我们的生活息息相关的;其次,学生除了要领会一般的自然语言外,还要 学会自然语言与图形语言的转换. 2. 正确理解和掌握函数性质,有助于加深对函数内涵的理解 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征,函数的变化特征反映了它所刻 画的自然规律的特征.在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性.单调性是在 高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.在高中数学课程中,对于函数 这个性质的研究分两个阶段.第一阶段,用运算的性质研究单调性;第二阶段, 用导数的性质研究单调性. 函数性质第一阶段的研究是在函数概念之后, 对其所做的进一步概括性介绍, 对后面深入研究每一类具体函数有着指导意义.实践证明,最初得到的对函数定 义、图象、定义域、单调性、奇偶性的认识,能使学生在对具体函数研究时始终 联系着“一般” ,用一般作指导,待具体函数都弄清以后,再总结,概括为一般, 而这时的一般是以具体问题为背景,具体问题又是以一般为指导.从新教材编排 来看,这样做可使学生知识结构更加科学系统,更加符合学生的认知规律,更富 启发性. 值得注意的是,定义域、对应法则和值域是构成函数的三个要素,其中定义 域是理解函数问题的前提条件. 函数的性质是由自变量的变化决定的, 如奇偶性、 单调性、最大值最小值、周期性都是针对自变量的变化而言的,而不是针对某一 个函数值.即这些性质是整体的而不是局部的.在求解有关函数问题时,需仔细 考虑函数的定义域,否则会导致解题不完整甚至错误.例如在求函数的解析式, 求函数的值域,求函数的单调区间,判定函数的奇偶性,解无理方程或对数方程 (不等式)及求反函数时,均需要优先考虑函数的定义域. 在高中课程中,函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应 用,包括概率统计中的随机变量等,以及选修系列 3、4 中的大部分专题内容,都 与函数有着密切的联系.用函数(映射)的思想去理解这些内容,是非常重要的 一个出发点.反过来,通过这些内容的学习,可以加深对于函数思想的认识.实 际上,在整个高中数学课程中,都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带 来的“好处”.
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(六)重视函数概念的实际应用
众所周知,抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解.在数学 内部,可以通过用函数性质比较大小、求解方程、求解不等式、证明不等式等活 动,但在教学中应避免抽象地讲解概念的一般应用.教师要把概念应用到一些具 体的实例中,与具体情境联系起来.函数是非常重要的“数学建模”工具,现实 中的许多问题都是通过建立函数模型而得到解决的.同时,在解决实际问题的过 程中,学生对函数概念以及与它相关的变量、代数式、方程等知识都能够加深理 解.通过这种学习,学生可以从多个角度理解概念,并把概念的意义与具体情境 联系起来,形成背景性经验.深化对函数概念的理解.例如在上人教版的《普通 高中课程标准实验教科书·数学》(A 版)的第三章第二节《函数模型及其应用》 的例 6 时,不是直接给出书本上的例题,而是按照以下步骤: ? 问题情境: 某同学称体重时,体重报告: “您的身高是 s,体重是 t,偏胖. ”为什么偏胖? 什么标准来判断?(设计实际背景,抽象出数学问题,引起学生的学习兴趣) ? 具体问题: 有关身体发育状况的问题, 若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖, 低于 0.8 倍为偏瘦,那么某地某校一名男生身高 175cm,体重 78kg,他的体重是 否正常? ? 设问: 想研究未成年人体重与身高的关系问题,需要相同身高男性体重平均值,通 过搜集数据,得到表 4-3,问题:根据表中提供的数据,能否选择一种函数,使 它比较近似地反映该地未成年男性体重 y 关于身高 x 的函数关系?试求出这个函 数的解析式.
表格 4-3 身高 (cm) 体重 (kg) 70 7.90 80 9.99 90 12.15 某地不同身高的未成年男性的体重平均值表 100 15.02 110 17.50 120 20.92 130 26.86 140 31.11 150 38.85 160 47.25

? 追问: ①己知什么?探求什么问题? ②解决问题的关键是什么? ③从提供的数据表中发现身高与体重有什么关系? ④存在函数关系吗?为什么? ⑤它们之间的函数关系还有什么表示方法?如何发现? (通过连续设问,引导学生逐步理解题意,从问题中抽象出数学本质,明确 需解决的问题. ) ? 问题解决: 学生在思考、解答问题的过程中,学习分析问题,寻求解决问题途径的方法. ? 引导学生实验: 将表中的数据输入计算机,画出散点图. ? 问题提出: 所作的散点图与哪个函数的图象最接近,从而选择这个函数. ? 分组实验:
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通过选择尽可能接近的各种函数,进行探索来发现要选择的目标. ?问题解决. 在这个过程中,学生可以体会到,精确的函数知识可以为实践作出科学决策 提供有力依据,还可以体会到,精确的函数知识应用于实践时,常常要根据具体 问题选择相应的函数表示方式,并根据问题的发展进程作出适当的调整.显然, 对函数概念的这一角度的理解,是难以从纯粹的函数理论学习中获得的.当然, 在这一过程中,学生还获得了与函数问题密切相关的关于收集数据以及分析研究 数据之间关系的经历,这对于提高学生的数学能力是大有好处的.

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函数教学设计案例与评析

教与学的理论需要借助于“课堂”实践才能得以发展,如果说医生的真功夫 在病床上,那么教师的真功夫是在课堂上,这种功夫是显现在教学实践情境中的 智慧,是靠实践性知识保障的.教学案例是教师课堂教学实践的表述形式,它使 教师之间可以分享实际的教育与教学经验;提供一种教育、教学研究的资源;提 出问题要求各方面的诊断和支持; 对已经进行的教育与教学进行一种反思 , 进而 调整或改进.

(一) 《函数的单调性》教学设计
【教学目标】 ?知识与技能 通过已学过的函数特别是二次函数的图象的观察、分析,借助于现代教学技 术逐步建立增(减)函数的概念及其几何意义;能根据函数的图象划分函数的单 调区间;会应用函数的单调性的定义证明函数在指定区间上的单调性. ?过程与方法 由特殊到一般,由具体到抽象,由自然语言到符号语言,培养学生的归纳概 括能力,提升学生的数学思维能力,使学生学会数学地思考问题,数学地解决问 题. ?情感态度与价值观 通过数学本身的“美” ,诱因学生的注意力,通过控制难度,启发诱导激发学 生的情感投入,通过问题的探究、合作学习激发学生的创造欲和兴趣. 【教学重点与难点】 重点:增(减)函数的定义及其证明、利用数形结合思想划分函数的单调区间. 难点:增(减)函数形式化定义的形成过程. 【教学设备】计算机、投影片、科学计算器 【教学过程】 一、引入课题 1. 利用计算机作下列各函数的图象. (1) f ( x) ? x 3 (2) f ( x) ? x 4 ? 2x 2 2. 观察函数图象回答下列问题: 1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数图象的最高点(或最低点)? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 二、新课教学 1. 根据函数 f ( x) ? x 2 的图象,观察其变化规律: 从函数图像、表格验证、解析式三个角度描述函数图象的变化规律,由特殊 到一般,由自然语言到符号语言逐步形成增减函数的概念. 填表格 1:看 y ? x 2 在 (??,0] 上是否随 x 的增大而减小?
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1 4

x
x2

?5

? 4 .5

?4

? 3 .5

?3

? 2 .5

?2

? 1 .5

?1

? 0 .5

0

结论:___________________________________________________. 填表格 2:看 y ? x 2 在 [0,?? ) 上是否随 x 的增大而增大?

x
x2

0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

3 .5

4

4 .5

0

结论:___________________________________________________.
图 5-1 函数 f ( x ) ? x 2 的图象

2. 函数单调性定义 (1)增函数 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内 的任意两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x) 在区间 D 上是增函数. 思考:类比增函数的定义说出减函数的定义. 注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必 须 是 对 于 区 间 D 内 的 任 意 两 个 自 变 量 x1 , x 2 , 当 x1 ? x 2 时 , 都 有 ○
f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

(2)函数的单调性定义: 如果函数 f ( x) 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 f ( x) 在这一

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区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间: 3. 问题探究 已知函数 y ? . 1 这个函数的定义域是什么? ○ 2 根据该函数的图象写出在定义域上的单调区间?证明你的结论. ○ 4. 归纳、强化 利用定义证明函数 f ( x) 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1 , x2 ? D ,且 x1 ? x 2 ; ○ 2 作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,并通过因式分解等手段变形; ○ 3 通过实数运算的符号法则判断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号; ○ 4 根据单调性的定义作出判断: ○ 若 x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 区间 D 上是增函数. 若 x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 区间 D 上是减函数. 5. 练习 证明 f ( x) ? x 2 在 [0,??) 上增函数. 6. 小结和课后反思 (1) 增(减)函数的图象有何特点?如何根据图象划分函数的单调区间?写单 调区间应注意什么? (2) 怎样利用定义证明函数在给定区间上的单调性?一般步骤是什么? (3) 通过增(减)函数概念的形成过程,你学到了什么? 三、布置作业 1. 作业 1:课本 P45 习题 1.3(A 组) 第 1-4 题. 2. 思考: (1)设 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,解不等式: f ( x ? 2) ? f (1) ; (2)设 f ( x) 是定义在 [0,?? ) 上的增函数,解不等式: f ( x ? 2) ? f (1) . (3)通过(1),(2)你得到什么启示?
1 x

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(二) 《用二分法求方程的近似解》教学设计
1.学习任务分析 本课内容选自人民教育出版社出版(2004)普通高中课程标准实验教科书(A 版)数学①. 函数是高中数学的起始课程,本教材以“函数”为核心展开.对方程的认识和 研究, 也从函数出发, 把函数作为整体认识, 方程则被看成是包含于函数的局部. 函 数的重要性主要表现在两个方面, 一是函数思想的价值, 二是函数应用的价值. 为 了充分体现新课标的精神,有效落实新课标的目标,本册教材单独设立了“函数 应用”一章,力图在理念、意义、方法和能力上为高中阶段的进一步学习奠定基 础. 全章内容分三个层次逐渐展开.首先是函数用于方程求解,这里集中研究的 是从函数特征判定方程实数解的存在性及求方程近似解;然后是实际问题中的函 数应用,最后是数学建模.数学应用是贯穿教材始终的.本教材突出了近似和数 值计算,特别是方程的解不仅追求用方程系数表示的精确值,而且关注近似解的 获得和近似程度的判定.在实际中,近似解比精确解应用更多,突出近似解将使 人们可解的范围扩大许多.现在,有了计算机等现代技术,近似计算更加有了可 能. 本节的学习是为后续课程奠定基础.表现在两个方面,一是今后还要进一步 学习重要的函数,如三角函数、导数等;二是以函数的思想和观点分析理解更多 的数学内容,如数列、不等式和算法等. ? 教学重点 用二分法求方程近似解的算法过程. ? 教学难点 二分法的原理. 2.教学目标 ? 知识与技能: 回忆函数与方程之间的关系,解释二分法的原理,会运用二分法求一些简单 方程的近似解,能够运用二分法来解决有关的实际问题. ? 过程与方法: 探究用二分法解方程近似解的步骤,参与数形结合的思想和运动、变化的观 点,关注连续、近似、逼近的思想和算法的思想.
图 5-2 板书设计
3.1.2 用二分法求方程的近 似解 1.二分法:


2


+ 3 + 2.5 - + 2.25 2.5 - + 2.25 2.375 2.5 2.375 2.5 2.437 5 3 + 3 3 3

探 求 方 程 x ? 2x ? 1 ? 0 的
2

2

一个正的近似解. y
x2
2 1

2. 用二分法求方程近似解的 2 步骤: 确定初始区间
2

?

2

? ? ? 2

O1 2 3 4

x1

2 x

x

1

2+ 2 3

f(2 + ) > 2 3 0 3

f(2) < 0

?

不断二分解所在的区间 根据精确度得出近似解

情感态度与价值观: ?
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充分利用函数的应用价值激发学习的兴趣,增强解决问题的自信心,共同分 享成功的喜悦;通过探索与交流,学会与人合作. 3.教学准备 课件,多媒体教室. 4.教学过程设计 ? 板书设计(如图 5-2,其中右半部分是投影屏幕) ? 具体的教学过程 【创设情境、导入新课】 中央电视台《幸运52》栏目曾经有一个猜商品价格的游戏.规则如下:给出 一种商品让参赛者猜价格,主持人给出提示语“高了”或“低了” .例如,若商品 的价格为90元,参赛者猜该商品价格为100元,主持人说“高了” ;参赛者又猜50 元,主持人说“低了” .这样一直猜下去,直到猜中为止.时间规定为 1分钟,猜 中商品价格最多的获胜.如果你去参赛,凡是价格在1024元以内的商品,你有把 握不超过10次就猜中吗? (停顿片刻)今天我们就来学习解决此问题的原理,相信明天的这个时候, 我再来问这个问题,你一定会充满自信地回答“能”了! 设计说明:利用悬念导入法引起学生对课堂教学的极大兴趣,使学生产生刨 根问底的急切心情,在探究的心理状态下发挥学生的学习主体作用. 【分析引导、自主探索】 ① 让我们先从熟悉的一元二次方程 y 开始研究. 3) > 0 回顾函数与方程的关系,不解方程, f( 2 + 2 2 2 如何求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个正的近似
2

x2

1

解? 设计说明: (Ⅰ)学生活动设计起点 低,把教材上找出函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6

?? ?2

O1 2 3 4

x1

x1

x

2+3 3 2

f(2) < 0

图 5-3

在区间(2,3)内的零点,改为求方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的一个正的近似解,旨在让每一 个学生都能做到. (Ⅱ)探究离不开问题,问题式教学有赖于教师对问题情景的创设,以 及对问题的呈现方式. - + 2 3 A.让学生先自行探求,并进行组织交流. - + 设计说明:倡导学生积极主动,勇于探索的学习方 2 2.5 3 - + + 式,有助于发挥学生学习的主动性.
2 2.25


2.5

3 3 3

B.师生共同探讨交流,借助函数 f ( x) ? x ? 2x ? 1 的
2

2 2

+ 2.25 2.375 2.5 2.375 2.5 2.437 5

图象,确定根所在区间,根据 f (2) ? 0, f (3) ? 0 ,可得出根

图 5-4 所在区间为(2,3). C.引发学生思考,如何进一步有效缩小根所在的区间? D.共同探讨各种方法,引导学生探寻出通过不断对分区间,将有助于问题 的解决.

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E.用图例演示根所在区间不断被缩小的过程,加深学生对上述方法的理解. 设计说明:让学生感受连续、近似、逼近的思想. ② 让学生简述上述求方程近似解的过程,教师补充. 设计说明:通过自己的语言表达,有助于学生对概念、方法的理解. 【趁热打铁、建构新知】 ①二分法(bisection method) : 对于在区间[a,b]上连续不断、且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地 把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值的方法叫做二分法. ②引导学生总结用二分法求方程近似解的步骤: 给定精确度ε,用二分法求函数 f ( x) 零点近似值的步骤如下: A.确定初始区间[a,b],验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度ε; B.求区间[a,b]的中点 x1 , C.计算: f ( x1 ) ; 若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是 f ( x) 的零点,计算终止; 若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) 中); 若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b)) 中) . D.判断是否达到精确度ε,即若 | a ? b |? ? ,则得到零点近似值a(或b) ;否则 重复2~4步. 提问:为什么由 | a ? b |? ? ,便可判断零点的近似值为a(或b)? ③及时应用,升华能力: 例1. 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解 (精确到0.1 ) . 设计说明:本例鼓励学生自行尝试,此处教师仅仅是引导学生如何把问题进 行有效转化,让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐,感受数学学习 的乐趣. 【设计题组,评价反馈】 题型一:二分法的概念(全体学生的必做题) ① 方程 ln x ? 2 x ? 6 的根属于区间 ( ). (A)(-2,1) (B) (1,2)

(C) (2,3)

(D) (3, 4)

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② 下列函数图像与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( y y y y

).

x1

x2
(A)

O

x3

x
O

x1

x
O

x
O

x1
(D)

x

x2

(B)

(C)

答案:① (C) ② (B ) 题型二:利用二分法求方程的近似解 ③ 借助计算器或计算机,用二分法求函数 f ( x) ? x 3 ? 1.1x 2 ? 0.9x ? 1.4 在区间 (0,1)内的零点(精确到0.1) . 题型三:创新应用(此例体现了二分法的应用价值,有利于发展学生的应用意 识) 二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的根,它在现实生活中也有许多重要 的应用,请解答: ④ 在一个风雨交加的夜里, 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故 障. 维修线路的工人师傅接到报修电话后, 立马开着汽车呼啸而去. 这是一条10km 长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆, 10km长,大约有200多根电线杆呢. 想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?他至少要爬几根电线杆? 设计说明:学生在题型二和题型三中任选一题练习,这样可使 A 层学生(学 困生)有练习的机会,B 层学生(优等生)也有充分发展的余地,都能享受到成 功的喜悦,提高学习数学的积极性. 【体会交流、反思提高】 ①本节课的学习过程及内容回顾. ②对这些知识你有什么体会?请和同伴交流. ③揭示算法定义,了解算法特点. 设计说明:体会交流是一种“元认知”环节,是学生重新反思自己的认知行 为、认知方法和认知过程的一个经历. 【布置作业、分层落实】 ① 阅读作业:教材第107页《中外历史上的方程求解》 . ② 书面作业:A层学生:习题3.1A组(第108页)的3,4和6. B层学生:习题3.1A组(第108页)的5;B组的2和4. ③ 弹性作业: 猜商品价格的游戏中,价格在1024元以内的商品,如何猜能不超过10次就 猜中? 答案:第一次猜 a1 ? 512 元;第 n 次 (n ? 2) 猜 a n ? ?
10 ? n ? (低了 ) ?a n ?1 ? 2 . 10 ? n ? (高了 ) ?a n ?1 ? 2

设计说明:作业分三种形式,体现作业的巩固性和发展性原则.弹性作业不 作统一要求,供学有余力的学生课后研究.
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(三)评析
函数的单调性是函数非常重要的性质,在初中学习函数时,对这个问题已经 进行了初步的探讨,但探讨比较粗浅,没有给出单调性的定义.函数的单调性从 图象的角度来看,清楚、直观、易理解.因此,这节课的设计是从电脑绘制函数 图像入手,让每个学生体会函数图象的变化情况,并用自然语言描述.通过动画 演示,让学生观察两个点在运动过程中横、纵坐标之间的关系,函数图象的最高 (低)点,函数图象的对称性等,并用抽象的数学语言来刻画.通过类比给出减 函数的定义,并利用反比例函数对函数单调性进行深入探讨.最后通过一道二次 函数的问题,让学生加强对函数概念的理解,进一步明确函数的单调性是函数在 定义域的子区间上的性质,并学会用数学语言进行严谨地证明. 《函数的单调性》这节课是学生在教师的引导下逐步探索的过程.在探索的 过程中,让学生通过观察、实验、归纳以及抽象概括等,体会从特殊到一般、从 具体到抽象、从简单到复杂的研究方法,让学生学会图形语言、自然语言以及抽 象的数学语言之间的相互转化,并渗透数形结合、分类计数等数学思想方法. 《用二分法求方程的近似解》一课的重点是:用二分法求方程近似解的算法 过程,体会函数与方程的思想;难点是:正确理解“二分法”求方程的近似解的 原理;在利用“二分法”求方程的近似解的过程中,由于数值计算较为复杂,因 此对获得给定精确度的近似解增加了困难. 学习是人们对知识内化的过程 ,只有学生通过自己去发现、思考、揭示数学 规律,才能更好地促进素质与能力的提高.因此,本节课的教学设计“重操作、 重发现、 重思想方法” , 教学过程以学生思考、学生解决问题为主,教师意在点拨, 充分体现以学生为主体,教师为主导的教育思想.为突出重点,突破难点,体现 上述教学思想, 《用二分法求方程的近似解》一课做了以下几个方面的设计: ? 从学生的最近发展区入手,逐步打开学生的思维,激发学生的学习兴趣; ? 从问题解决的角度引导学生进入学习情境,抓住学生的思维活动,不断提 高学习的要求,使其思维品质得到进一步优化.通过解题规律的揭示,交给学生 的不仅是问题的解决过程,而且是解题的思想和方法; ? 注意运用现代化教学设备,让学生自行动手计算.学生通过自己操作,深 刻体会探索的过程,强化记忆,加深理解; ? 在探索新知的过程中,有意识地让学生“试错” ,学会从失败中找到通向 成功的“门槛” ,进行认知策略的学习,从而实现了数学思维的监控; ? 设计中还注重及时检测教学效果,从而提高教学中的针对性; ? 通过多处“留白” ,有意给学生以充足的思考余地,通过让学生讨论、交 流等设计,既培养学生自主学习的精神,又培养了学生相互协商、相互合作、相 互竞争的意识. 两节课的设计都较多地站在学生角度审视教材, 学生参与广度和积极性较高, 在教学中尽量多地让学生亲身体验在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合 作”中增知,在“探究”中创新,基本能体现“我们去体验,我们去探索,我们 去发现”的教学构想.同时,让学生有多种机会在不同的情境下去应用他们所学 的知识(将知识“外化” ) .学生活动的设计围绕学生的感觉,起步低层、面向中 层、顾及高层,进行分层教学设计,使人人获得必须的数学,不同的人在数学上 得到不同的发展.

- 35 -

主要参考文献
中文文献
[1] 李吉宝.有关函数概念教学的若干问题[J] .数学教育学报,2003,12(2):95-98 [2] 王尚志,张饴慈,李延林.课程标准的设计思路[R].2006 年暑假高中数学新课程 国家级培训 [3] 朱文芳.函数概念学习的心理分析[J] .数学教育学报 1999,8(4):23-25,44 [4] 朱文芳,林崇德.初中生函数概念发展的研究[J].心理发展与教育,2001,4:40-46 [5] 曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J]. 2002,数学教育学报,11(2):99-102 [6] 王智明.中学函数课程与教学初探[D]:[硕士学位论文].保存地点:南京师范大 学,2003 [7] 汤服成,王兄.图式理论与函数概念学习[J].辽宁师范大学学报(自然科学版), 2001,24(3):263-265 [8] 贾丕珠.函数学习中的六个认知层次[J].数学教育学报,2004,13 (3):79-81 [9] 李士锜.PME:数学教育心理[M].上海:华东师范大学出版社,2001.64,80-87 [10] 郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研 究[M].第二版.上海:上海教育出版社,2002 [11] 陈琼,翁庆凯.试论数学学习中的理解学习[J].数学教育学报,2003, 12(1):17-19 [12] 张奠宙,李士琦,李俊.数学教育学导论[M].北京:高等教育出版社,2003 [13] 张奠宙,宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社,2004 [14] 张大均.教育心理学[M].第二版.北京:人民教育出版社,2004:250-251 [15] 陈向明.教师如何做质的研究[M].北京:科学教育出版社,2001 [16] 王孝玲.教育统计学[M].修订二版.上海:华东师范大学出版社,2001 [17] 蔡春晖.多元智能数学教学方式实验初探[J].数学通报, 2005(1):46-50 [18] 曹才翰等.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社,1999 [19] 陈蓓.函数概念的发展与比较[J].数学通讯,2005(7):1-3 [20] 陈国正.高中函数定义的商榷[J].数学通报,1999(9):10-11 [21] 陈志云,邓乐斌.函数概念与中学数学[J].高等函授学报,1999(5):6-10 [22] 杜玮.函数概念的发展历程[J] .濮阳教育学院学报,2003,16 (4):10-11 [23] 何小亚 . 全日制义务教育阶段数学课程标准 ( 试验稿 ) 刍议 [J]. 数学教育学 报,2003,12 (1):45-49 [24] 郝妍琴.对高中生函数概念理解的调查研究[D]:[硕士学位论文].保存地点: 华东师范大学,2006 [25] 黄燕玲,喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报,2002,11(3):40- 43 [26] 孔凡海.函数的两种概念与教学[J].中学数学教学参考,2002(10):15-17 [27] 李善良.数学概念学习中的错误分析[J].数学教育学报,2002,11(3):6-11 [28] 刘静.函数的学习困难与课程设计[J].课程·教材·教法,2006,26(4):45-48 [29] 陆书环.美国中学数学教材中的函数概念特点分析[J].中学数学,1999(3):6-8 [30] 孙熙椿.从现代数学看中学数学[M].北京:中国林业出版社,1991 [31] 孙晓庆.数学课程发展的国际视野[M].北京:高等教育出版社,2003 [32] 涂荣豹.谈提高对数学教学的认识[J].中学数学教学参考.2006(1-2) [33] 汪晓勤,韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京:科学出版社,2002 [34] 徐斌艳.数学教育展望[[M].上海:华东师范大学出版社,2001
- 36 -

[35] 曾峥.关于函数概念及其教学的整体思考[J].肇庆学院学报,2001,22(2):61-63 [36] 张奠宙,邹一心.现代数学与中学数学[M].上海:上海教育出版社,1991 [37] 赵玲云.中职学生函数概念认知发展的研究:[硕士学位论文].保存地点:首都 师范大学,2004 [38] 朱水根,王延文.中学数学教学导论[M].北京:教育科学出版社,2001 [39] 郑毓信.数学教育:从理论到实践[M].上海:上海教育出版社,2001 [40] 鲍建生,王洁,顾泠沅.课堂教学视频案例的研究与制作[M].上海:上海教育出版 社,2005 [41] 马复.设计合理的数学教学[M].北京:高等教育出版社,2003

英文文献
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附录 1

“高中生对函数概念的理解”的调查问卷(一)

亲爱的同学:你好! 函数是中学重要的数学概念,为了解你对函数概念的理解,我编制了这组调 查问卷.本调查是我课题研究的一部分,你在问卷中所提供的信息对我的研究十 分重要,测验结果对你本人没有任何不良影响,诚恳希望你能认真完成下面的题 目.谢谢!

你的背景信息:年级

性别

请在答题卡上涂上你的考号(五位数的学号)和性别. 1.你对数学________. A.很感兴趣 A.初中 B.高一 B.感兴趣 C.高二 C.一般 D.高三 D.不感兴趣 E.我从不感觉数学难学 2.你认为你从_______开始感觉数学较难. 3.在听教师讲解某一个新问题时,你更希望得知的是________. A.前面所学知识对于这个新问题的学习具有什么帮助和联系 B.具体如何去解这种新问题 C.这个问题是怎样产生的

测试题
一、下列式子是否可以看成 y 是 x 的函数? 4. y 2 ? 2 x ; 7. xy ? 1 ; 5. y ? 0, x ? R ; (A.是;B.否) 6. x2 ? y 2 ? 25 ;

? 1 ( x为有理数) 8. y ? ? ; (x为无理数) ?? 1

?1 ( x ? 0) 9. y ? ? ? x (0 ? x ? 1)

二、下列表格中两个量表示的关系是 y 是 x 的函数关系吗?(A.是;B.否) 10.表格 1:国民生产总值
年份(x) 生产总值 (y) 1993 34561 1994 46670

单位:亿元
1995 57495 1996 66850 1997 73142 1998 76967 1999 80423 2000 89404

11.表格 2:某公司职员工资表
姓名(x) 工资(y) 张涛 1700 刘星 600 李达 600 0

单位:元
胡图 吴莺 2700 王琼 1400 鲁楠 600 邓宏 2400

- 38 -

三、指出下列图像是否可以看成 y 是 x 的函数?(A.是;B.否)
y y y


O 12
y x

O 13
y

x

O

x

14
y

O 15

x

O 16

x

O 17

x

X

Y

2 4 8 18

1 2 3

图1

四、如图 1 所示,一只小蚂蚁在一张绘图纸上爬行.请问 19.蚂蚁在绘图纸上的位置是不是关于时间的函数?(A.是;B.否) 20.时间又是不是关于位置的函数呢?(A.是;B.否) 21.直线 x = a 和函数 y ? f ( x) 的图像有 A.0 B.0 或 1 C.1 或 2 个交点. D.无穷多

x2 22.请问 y ? 和 y=x 是同一个函数吗?(A.是;B.否) x

23.y=f(x)(x∈R)与 s=f(t)(t∈R) 是同一个函数吗?(A.是;B.否) 24.把圆的直径表示为圆的面积的函数_________________. A. s ? ? r 2 B. s ?

?d2 4

C. d ?

2 s?

?

D. d ?

s?

?

- 39 -

五、在下图坐标系中画出函数图像,使得图 1 中 A、B,图 2 中 A、B、C、D、E、 F 各点的横坐标和纵坐标分别表示函数的原象及所对应的象(即图像经过这 些点) .试问这样的不同函数有多少个? A.1; B.2; C.大于 2 但有限; D.无限. 25.图 2 中的函数个数为 26.图 3 中的函数个数为 (请从上面选择) . (请从上面选择) .

y

y


A


B 图2

x

. . . . .
E D B C F


A x 图3

六、水滴进玻璃容器(如图 4)所示(设单位时间内进水量相同),那么水的高度是 如何随着时间变化的.请选择匹配的图象与容器. 27. (1)——( 28. (2)——( 29. (3)——( 30. (4)——( ) ) ) )

图4

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附录 2

“高中生对函数概念的理解”的调查问卷(二)

亲爱的同学:你好! 函数是中学重要的数学概念,为了解你对函数概念的理解,我编制了这组调 查问卷.本调查是我课题研究的一部分,你在问卷中所提供的信息对我的研究十 分重要,测验结果对你本人没有任何不良影响,诚恳希望你能认真完成下面的题 目.谢谢!

你的背景信息:年级
1.你对数学________. A.很感兴趣 A.初中 B.高一 B.感兴趣 C.高二

性别

C.一般 D.高三

D.不感兴趣 E.我从不感觉数学难学

2.你认为你从_______开始感觉数学较难. 3.在听教师讲解某一个新问题时,你更希望得知的是________. A.前面所学知识对于这个新问题的学习具有什么帮助和联系 B.具体如何去解这种新问题 C.这个问题是怎样产生的

测试题
一、下列式子是否可以看成 y 是 x 的函数?请说明理由. 表 达 式 4. y 2 ? 2 x 5. y ? 0, x ? R 6. x2 ? y 2 ? 25 7. xy ? 1 是\否 原 因

? 1 ( x为有理数) 8. y ? ? (x为无理数) ?? 1 ?1 ( x ? 0) 9. y ? ? ? x (0 ? x ? 1)
二、下列表格中两个量表示的关系是 y 是 x 的函数关系吗?说明理由. 10.表格 1:国民生产总值
年份(x) 生产总值 (y) 1993 34561 1994 46670

单位:亿元
1995 57495 1996 66850 1997 73142 1998 76967 1999 80423 2000 89404

表格 1 答案:___;理由________________________________________.
- 41 -

11.表格 2:某公司职员工资表
姓名(x) 工资(y) 张涛 1700 刘星 600 李达 600

单位:元
胡图 0 吴莺 2700 王琼 1400 鲁楠 600 邓宏 2400

表格 2 答案:___________;理由________________________________________. 三、指出下列图像中,哪些可以看成 y 是 x 的函数?请说明理由.

y

y

y


O 12
y x

O 13
y

x

O

x

14
y

O 15
X Y

x

O 16

x

O 17

x

答:________________可以看成 y 是 x 的函数; 理由:

2 4 8 18

1 2 3

四、如图 1 所示,一只小蚂蚁在一张绘图纸上爬行.请问: 19.蚂蚁在绘图纸上的位置是不是关于时间的函数? 答:____;理由_____________________________. 20.时间又是不是关于位置的函数呢? 答:____;理由________________________________________.

图1

21.直线 x = a 和函数 y ? f ( x) 的图像有 __个交点,理由___________________. A. 0 22.请问 y ? B. 0 或 1 C. 1 或 2 D. 无穷多

x2 和 y=x 是同一个函数吗? ____;理由______________________. x
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23.y=f(x)(x∈R)与 s=f(t)(t∈R) 是同一个函数吗?

_;理由________________.

24.把圆的直径表示为圆的面积的函数(写出解析式)_____________________. 五、在下图坐标系中画出函数图像,使得图 1 中 A、B,图 2 中 A、B、C、D、E、 F 各点的横坐标和纵坐标分别表示函数的原象及所对应的象(即图像经过这 些点) .试问这样的不同函数有多少个? A.1; B.2; C.大于 2 但有限; D.无限. 25.图 2 中的函数个数为 ,理由__________________________________; 26.图 3 中的函数个数为 ,理由____________________________________. y y A

. .
B 图2 27.用不同的方法表示函数 y ? x2 . x

. . . . .
E D B C F


A x 图3

28.求 y ? x2 ? 2x ? 4, x ? [?1,5] 的最大值和最小值. 29.请根据你自己的理解叙述什么是函数. 30.某网民用电脑上因特网有两种方案可选:一是在家里上网,费用分为通讯费 (即电话费)与网络维护费两部分.现有政策规定:通讯费为 0.02 元/分钟,但 每月 30 元封顶(即超过 30 元则只需交 30 元) ,网络维护费 1 元/小时,但每月上 网不超过 10 小时则要交 10 元;二是到附近网吧上网,价格为 1.5 元/小时. (1)将该网民在某月内在家上网的费用 y(元)表示为时间 t(小时)的函数; (2)试确定在何种情况下,该网民在家上网更便宜? 31.如图 4,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时漏斗盛满液体,经 过 3 分钟漏完,若圆柱中液面上升速度是一常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的 距离,请画出 H 与下落时间 t 分钟的函数关系表示的图像.
H H

O

t

图4

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附录 3

“高中生对函数概念的理解”访谈提纲

1. 你记得函数概念吗?根据你自己的理解什么是函数?请举一个函数的例子. 2.你认为函数的本质特点是什么? 3.你用什么方法判断一个对象是不是函数? 4.你知道函数主要有几种表示方法吗?请一一说出来. 5.下面式子、图形、表格是否表示了 y 是 x 的一种函数关系? 为什么你认为 这不是函数? 你能否改变一下使它成为函数吗?为什么你认为这是函数? 我这样改 变一下还是表示函数吗? (1) y ? 0 ; (4) xy ? 1 ; (7)
y

(2) y 2 ? 2 x ;
? ?1 ( x是有理数) (5) y ? ? ; ? 1 ( x 是无理数 ) ? ?

(3) x2 ? y 2 ? 25 ;

?1 ( x ? 0) (6) y ? ? ; x (0 ? x ? 1) ?

O

x

图1

(8) 表格 2:国民生产总值 年份(x) 生产总值 (y) 1993 1994

单位:亿元 1995 1996 1997 1998 1999 2000

34561 46670 57495 66850 73142 76967 80423 89404 单位:元 胡图 0 吴莺 2700 王琼 1400 鲁楠 600 邓宏 2400

(9) 表格 3:某公司职员工资表 姓名(x) 工资(y) 张涛 1700 刘星 600 李达 600

(10) 如图 a 所示,一只小蚂蚁在一张绘图纸上爬行.请问 ① 蚂蚁在绘图纸上的位置是不是关于时间的函数?为什么? ② 时间又是不是关于位置的函数呢?为什么?
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6.直线 x = a 和函数 y ? f ( x) 的图像有 A.0 B.0 或 1 C.1 或 2

个交点.为什么? D.无穷多

7.在下图坐标系中画出函数图像,使得图 1 中 A、B,图 2 中 A、B、C、D、E、 F 各点的横坐标和纵坐标分别表示函数的原象及所对应的象(即图像经过这些 点) .试问这样的不同函数有多少个? A.1; B.2; C.大于 2 但有限; D.无限. ① 图 a 中的函数个数为 ② 图 b 中的函数个数为 y (请从上面选择) .为什么? (请从上面选择) .为什么? y


A


B 图a

x

. . . . .
E D B C F


A x 图b

8.在函数的定义中明确要求“函数值唯一” ,这是函数很重要的性质.你知道为 什么这样要求吗?

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融融春意,又到浙师大烛光湖畔,看着河边青柳、水中靓影,我不由想起上 个世纪 90 年代初在师大求学, 及四年前的秋天, 来师大参加教育硕士入学考试的 情景。师大的情人坡、师大的狮身人面像、师大的草坪、师大的大排??,一切 都历历在目。光阴如梭,转眼间这么多年过去,烛光湖的春色依然旖旎,而我工 作了十余年又即将教育硕士毕业了。 在师大求学及离开师大参加工作的多年,我的导师----陈淼森教授一直在学 习上给我无微不至的关心;在做人和治学上给我细致入微的指导;对我论文的开 题、框架结构、主体构思等方面,都给予热情细致的指点。没有导师的关怀,我 不可能取得今天的成绩。先生的言传身教,一点一滴,都是我留存心底的一片永 远的温暖。 几年来的求学中得到了张维忠、汪晓勤、徐元根、陈胜敏、张翼等老师们的 指导和帮助,受益匪浅,在此,我向他们致以最诚挚的谢意!多谢诸位恩师的辛 劳和智慧。 感谢三年来一起分享喜怒哀乐,一起听风看雨共沐朝阳的同学们。 感谢给予我支持的嘉善高级中学的领导,感谢嘉善高级中学和嘉善中学参与 调查研究的各位老师和同学,感谢对我的论文给予大力帮助的吴明华、张云云等 老师。 我也感谢我的丈夫曹育新先生,他对我一贯的理解和支持使我的学业得以顺 利完成。儿子的笑脸是我日夜兼程中的光华——感谢生命和爱的力量。同时,也 感谢我的公婆和父母多年来的鼓励和支持。没有他们,我无法顺利地走到今天。 论文写作告一段落,但它却为我打开了一扇门,我知道路还很长。??

钱卫红 2007-3-30

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攻读学位期间发表的学术论文目录
[1] 钱卫红.新理念 新设计——“用二分法求方程的近似解”教学设计,在“2005 年 浙江师范大学教育硕士优秀教学案例大赛”中荣获三等奖,论文署名单位是浙 江师范大学,作者排列顺序为①人排列第①. [2] 钱卫红 . 数学教学中学生主体参与意识的培养刍议 [J]. 数学教学通讯, 2006 (3):11-13,论文署名单位是浙江师范大学,作者排列顺序为①人排列第①. [3] 钱卫红.对新课程理念下合作学习的认识和思考 [J].中国教育理论与实践杂志 2006,3(4):52-53,作者排列顺序为①人排列第①. [4] 汪 晓 勤 , 钱 卫 红 . 关 于 积 化 和 差 公 式 的 一 个 历 史 注 记 [J]. 数 学 教 学 , 2006 (11):41-43,作者排列顺序为②人排列第②. ? 钱卫红.一道不等式的互动教学案例[J]. 中学数学杂志 (高中) 2007 (6) :22-24, 作者排列顺序为①人排列第①. ? 钱卫红.一道不等式的互动教学案例[J]. 中学数学杂志 (高中) 2007 (6) :22-24, 被收录在中国人民大学书报资料中心复印报刊资料《中学数学教与学》2008.2 (上)/G35.

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学位论文独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或 其他机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的 贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。

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