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2015届高考数学(理)一轮复习单元测试 第六章数列


2014 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第六章数列单元能力测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1、 (2013 年高考江西卷理)等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于

A.-24

B.0

C.12

D.24
<

br />2、 (2013 年高考新课标Ⅱ卷理)等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S 3

? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,

则 a1 ? (A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

3、 ( 广 东 省 江 门 佛 山 两 市 2013 届 高 三 4 月 检 测 ) 已 知 数 列 {a n } 是 等 差 数 列 , 若

a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于(
A.1 B.3 C.5

) D.6

4、 【天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理】设 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和,

S5 ? 3(a2 ? a8 ),则
A.

a5 的值为( a3

)

1 1 3 5 B. C. D. 6 3 5 6

5、 【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项 和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 A.1 B. 2

a2 等于 a1
C. 3 D. 4

6、 【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

a5 ? 8, S3 ? 6 ,则 a9 ? (
A .8



B . 12

C . 16

D . 24

7、 【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理】 已知各项均为正数的等比数列{ an } 中, a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10, 则 a4 a5 a6 ? ( )

A. 5 2

B.7

C.6

D.4 2

8、 (安徽安庆 2013 高三三模)在正项等比数列 {an } 中,lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 3 ,则 a1 a11 的值是 ( A. 10000 ) B. 1000 C. 100 D. 10

9、 (福建福州 2013 高三 5 月模拟)已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 , 48 成等差 数列,则 ?an ? 的前 8 项和为 A.127 D.1023 x y2 10.若 m,n,m+n 成等差数列,m,n,m· n 成等比数列,则椭圆 + =1 的离心率为( m n 1 2 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 3
2

B.255

C.511

)

11、已知 an ? ( ) ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状,
n

1 3

10,12 ) 记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( =
( ) A. 1 3
93

( ) B.

1 3

92

C.( )

1 3

94

( ) D.

1 3

112

12 . 【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数且

满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,且 中 S n 为 ?an ? 的前 n 项和) 。则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( A. ? 3 B. ? 2 C. 3 )

3 2

Sn a ? 2 ? n ?1, (其 n n

D. 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线 上)
n 13、 (2013 年高考湖南卷(理) )设 S n 为数列 ?an 的前 n 项和, S n ? ( ?1) an ?

?

1 , n ? N ?, 则 n 2

(1) a3 ? _____; (2) S1 ? S 2 ? ??? ? S100 ? ___________.
14. (2013 年高考重庆数学(理) )已知

?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项

和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____

15. (2013 年高考广东省数学 (理) 在等差数列

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.

16 . 【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列

1, b1 , b2 , b3 , 9是等比数列,则

b2 的值为 a1 ? a2

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)

, 2, 3, ), 且 a1,a2,a3 成公比不 数列 ?an ? 中 , a1 ? 3 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数 , n ? 1
为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式; (3)求最小的自然数 n ,使 an ? 2013 .

18.(本小题满分 12 分) (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学理)在公差为 d 的等差 数列 {an } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? | an | .

19. (本小题满分 12 分) (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学理)设等差数列 ?an ? 的 前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4 S 2 , a2 n ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn .

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2 n (n ? N * ) .求数 2n

20.(本小题满分 12 分) (2013 年高考陕西卷(理) )

设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式; Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列.

21.(本小题满分 12 分)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种 付酬方案:第一种,每天支付 38 元;第二种,第一天付 4 元,第二天付 8 元,第三天 付 12 元,依此类推;第三种,第一天付 0.4 元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的 2 倍,1:作时间为 n 天. (I)工作 n 天,记三种付费方式薪酬总金额依次为 An,Bn,Cn,写出 An,Bn,Cn 关于 n 的表达式; (II)如果 n=10,你会选择哪种方式领取报酬?

22.(本小题满分 12 分) 【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题共 13 分) 定义:如果数列 {an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 {an } 为“三角形” 数列.对于“三角形”数列 {an } ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三角形” 数列,则称 y ? f ( x) 是数列 {an } 的“保三角形函数” (n ? N *) . (Ⅰ)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k (k ? 1) 是数列 {an } 的
x

“保三角形函数” ,求 k 的取值范围; (Ⅱ) 已知数列 {cn } 的首项为 2013 , 且满足 4Sn +1 ? 3Sn ? 8052 , Sn 是数列 {cn } 的前 n 项和, 证明 {cn } 是“三角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 {cn } 的“保三角形函数” ,问数列 {cn } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,

lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )

祥细答案
一、选择题 1、A 2、C

3、B 4、 【答案】D 【解析】由 S5 ? 3(a2 ? a8 ) 得, 5、 【答案】C 【解析】因为 S1 , S 2, S 4 成等比数列,所以 S1 S4 ? S22 ,即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2 a1 ? d 2 ) ,即

5(a1 ? a5 ) a 5 ? 3 ? 2a5 ,即 5a3 ? 6a5 ,所以 5 ? ,选 D. 2 a3 6

d 2 ? 2a1d , d ? 2a1 ,所以
6、 【答案】C

a2 a1 ? d a1 ? 2a1 ? ? ? 3 ,选 C. a1 a1 a1

? 【 解 析 】 在 等 差 数 列 数 列 中 , a5 ? a 1 ? 4d ? 8, S 3? 3a 1

3? 2 d ? 3a ? 1 3d ? 6 , 即 2

a1 ? d ? 2 ,解得 a1 ? 0, d ? 2 .所以 a9 ? a1 ? 8d ? 8 ? 2 ? 16 ,选 C.
7、 【答案】A 【 解 析 】 由 a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10, 得 a23 ? 5, a83 ? 10, 又 a4 a5a6 ? a53 , 所 以

a23a83 ? 5 ?10 ? 50 ,即 a23a83 ? (a2a8 )3 =a56 ? 50 ,所以 a53 ? 50 ? 5 2 ,选 A.
8、解析: lg a3 9、 B
3 ? lg a6 ? lg a9 ? 3 ? a3 a6 a9 ? 103 ? a6 ? 103 ? a6 ? 10 , 2 ∴a1a11 ? a6 ? 100,故选 C。

10、 【答案】B 解析 由题意知 2n=m+m+n ∴n=2m,n2=m· m· n,∴n=m2,∴m2=2m ∴m=2,∴n=4,∴a2=4,b2=2,c2=2 c 2 ∴e= = a 2 11 、前 9 行共有 1 ? 3 ? 5 ?

? 17 ?

(1 ? 17) ? 9 ? 81 项,所以 A( 10,12 ) 为数列中的第 2

1 81 ? 12 ? 93 项,所以 a93 ? ( )93 ,选 A. 3
12. 【答案】C

【解析】由 f ( ? x) ? f ( x) ,可知函数的对称轴为 x ?

3 2

3 ,又函数为奇函数,所以有 4

3 3 3 f ( ? x) ? f ( x) ? ? f ( x ? ) ,所以 f ( x ? ) ? ? f ( x) ,即 f ( x ? 3) ? f ( x ) ,函数 2 2 2 S a 的 周 期 为 3. 由 n ? 2 ? n ? 1 得 Sn ? 2an ? n , 所 以 当 n ? 2 时 , n n

an ? Sn ? ?S ? 1n 2

an ? ( n? 2 ?1 n a

? 1 n? )

, 2 ? n a ?1 2 ? a an 1? ? 2an?1 ?1 , 所 以 n即 , 所 以

a2 ? ?3, a3 ? ?7, a4 ? ?15, a5 ? ?31, a6 ? ?63

f (a5 ) ? f (a6 ) ? f (?31) ? f (?63) ? f (?1) ? f (0) ? ? f (1) ? f (0) ,因为函数为奇函
数, 所以 f (0) ? 0 , 由 f (?2) ? ?3 , 可得 f (?2) ? f (1) ? ?3 , 所以 f (a5 ) ? f (a6 ) ? 3 , 选 C. 二、填空题

1 1 1 ; ( ? 1) 16 3 2100 14、 64
13、 ?

[解析] 设数列{an}的公差为 d,由 a1,a2,a5 成等比数列,得(1+d)2=1· (1+4d),解得 8(8-1) d=2 或 d=0(舍去),所以 S8=8×1+ ×2=64. 2 15、20 【解析】依题意 2a1 ? 9d ? 10 ,所以 3a5 ? a7 ? 3 ? a1 ? 4d ? ? a1 ? 6d ? 4a1 ? 18d ? 20 . 或: 3a5 ? a7 ? 2 ? a3 ? a8 ? ? 20 16、 【答案】

3 10

【解析】因为 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,所以 a1 ? a2 ? 1 ? 9 ? 10 。 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列, 所以 b2 ? 1? 9 ? 9 ,因为 b1 ? b2 ? 0 ,所以 b2 ? 3 ,所以
2

2

b2 3 ? 。 a1 ? a2 10

三、解答题 17、解:(1) a1 ? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c , ∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c) ? 3(3 ? 3c) ,
2

解得 c ? 0 或 c ? 3 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , an ? an?1 ? (n ?1)c ,

n(n ? 1) c 2 3 3 2 3, ) 又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ? n(n ? 1) ? (n ? n ? 2)(n ? 2, 2 2 3 2 ? 当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? ( n ? n ? 2)(n ? N ) 2 3 2 2 (3)由 an ? 2013 得 (n ? n ? 2) ? 2013 ,即 n ? n ? 1340 ? 0 2
得 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

? (n ? 1)]c ?

∵ n ? N ? ,∴ n ?

1 1 ? 4 335 1 ? 4 ? 18 ? ? 36 2 2 2

令 n ? 37 ,得 a37 ? 2001 ? 2013 ,令 n ? 38 得 a38 ? 2112 ? 2013 ∴使 an ? 2013 成立的最小自然数 n ? 38
18、解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2) 2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
; (Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ?
②当12 ? n 时,

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? a11 ? (a12 ? a13 ? ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? an ) ? 2 ? 11(21 ? 11) n(21 ? n) n 2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? ? ; 2 n ? 21 n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
19、解:(Ⅰ)设等差数列 由

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

S 4 ? 4 S 2 , a2 n ? 2an ? 1 得

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 , d ? 2 an ? 2n ? 1 (n ? N * )
Tn ? ? ? n 2n ?1 n 2
n ?1

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

?

n ?1 2n ?2

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 ) n ? 1 4 1? 4
1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 Rn ? (4 ? ?c ? 9 所以数列数列 n 的前 n 项和 1 3n ? 1 ) 4n ?1

20、解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.

① 当q ? 1时,数列{a n }是首项为a1的常数数列,所以S n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1 . ② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? qS n ? qa1 ? qa 2 ? ? ? qa n ?1 ? qa n . 上 面 两 式 错 位 相 减 :

( 1 - q ) S n ? a1 ? (a 2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa 2 ) ? ? (a n ? qa n ?1 ) ? qa n ? a1 ? qa n .

? Sn ?

a1 ? qa n a (1 ? q n ) ?. 1 . 1- q 1- q

?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) 使用反证法.

(q ? 1) (q ? 1)

设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N *,使得a n ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列. ②当 ?n ? N *,使得a n ? 1 ? 0 成立,则

a n ?1 ? 1 a1 q n ? 1 ? ? 恒为常数 a n ? 1 a1 q n ?1 ? 1

? a1 q n ? 1 ? a1 q n ?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 .这与题目条件 q≠1 矛盾.
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ? 1} 不是 等比数列. 21、 【解析】 (Ⅰ)三种付酬方式每天金额依次为数列 ?an ? , ?bn ? , ?cn ? ,它们的前 n 项和 依次分别为 An , Bn , Cn .依题意, 第一种付酬方式每天金额组成数列 ?an ? 为常数数列, An ? 38n . 第二种付酬方式每天金额组成数列 ?bn ? 为首项为 4,公差为 4 的等差数列, 则 Bn ? 4n ?

n?n ? 1? ? 4 ? 2n 2 ? 2n . 2

第三种付酬方式每天金额组成数列 ?cn ? 为首项是 0.4,公比为 2 的等比数列, 则 Cn ?

0.4 1 ? 2 n ? 0.4 2 n ? 1 . 1? 2

?

?

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当 n ? 10 时,

An ? 38n ? 380,

Bn ? 2n 2 ? 2n ? 220, Cn ? 0.4 210 ? 1 ? 409.2 .
所以 B10 ? A10 ? C10 . 答:应该选择第三种付酬方案 22. (Ⅰ)显然 an ? n ? 1, an ? an?1 ? an?2 对任意正整数都成立,即 {an } 是三角形数列。 因为 k ? 1 ,显然有 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) ? 由 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) 得 k n ? k n?1 ? k n ? 2 ,

?

?

1- 5 1? 5 <k ? 解得 2 2 . k ? (1, 1? 5 ) 时, 2

所以当

f ( x) ? k x 是数列 {an } 的保三角形函数.
(Ⅱ)由 4sn?1 ? 3sn ? 8052 ,得 4sn ? 3sn?1 ? 8052 ,

? 3? cn ? 2013 ? ? 4 c ? 3 c ? 0 两式相减得 n?1 ,所以 ?4? n
经检验,此通项公式满足 4sn?1 ? 3sn ? 8052 . 显然 cn ? cn?1 ? cn? 2 , 因为

n ?1

3 n 3 n ?1 21 3 n ?1 cn ?1 ? cn ?2 ? 2013 ( ) +2013( ) ? ? 2013 ( ) ? cn , 4 4 16 4

所以 {cn } 是三角形数列.

? 3? g (cn ) ? lg[2013 ? ? (Ⅲ) ?4?
所以 {g (cn )} 单调递减.

n ?1

? 3? ]=lg 2013+(n-1)lg ? ? ? 4 ?,

? 3? lg 2013+(n-1) lg ? ? >0 由题意知, ? 4 ? ①且 lg cn?1 ? lg cn ? lg cn?2 ②,

3 (n-1) lg >-lg 2013 由①得 ,解得 n ? 27.4 , 4 3 n lg >- lg 2013 由②得 ,解得 n ? 26.4 . 4
即数列 {bn } 最多有 26 项.


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