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2013-2014学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试li理科(五)


2013-2014 学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(五) 安阳一中 郸城一高 扶沟高中 鹤壁高中 淮阳中学 济源一中 开封高中 灵宝一高 洛阳一高 林州一中 内黄一中 南阳一高 平顶山一中 濮阳一高 商丘一高 太康一高 温县一中 新乡一中 夏邑高中 虞城高中 叶县一高
(学校名称按其拼音首字母顺序排列

一、选择题:本大题共 12 小题,

每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)已知集合 A ? ? x | ax ? 1? ,B ? ?0,1? , 若 A? B, 则由 a 的取值构成的集合为 (A) ?1? (B){0} (C){0,1} ( D) ? (2)设 i 为虚数单位,复数 z 的共轭复数为 z ,且 ( z ? 1)(1 ? i) ? 2i ,则复数 z 的模为 (A)5 (B) 5 (C)2 -i (D)1 (3)执行如图所示的程序框图,当输入的 x=9 时,则输出的 k= (A)2 (4)已知椭圆 C :
2 2
2

(B)3
2

(C)4

(D)5

x y ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,P 为椭圆 C 上一点, 2 a b

若 ?F1F2 P 为等腰直角三角形,则椭圆 C 的离心率为 (A) (B)
2 ?1

(C)

2 ?1或

2 2

(D)

2 4

(5)如果一个几何体的三视图如图所示(长度单位:cm) ,则此几何体的体积是
2 1 (D) cm3 3 3 ? 2 (6)已知 ? 为锐角,且 sin(? ? ) ? ,则 tan 2? ? 4 10 4 3 24 24 (A) (B) (C) ? (D) 3 4 7 7 8 (7)已知 (1 ? 2 x) 展开式的二项式系数的最大值为 a,系数的最大 b 值为 b,则 : a 128 256 512 128 (A) (B) (C (D) 5 7 5 7 x (8)已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 ,若命题“ ?x1 , x2 ? ? a, b ? 且 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”为真命题,

(A)

8 cm3 3

(B)

4 cm3 3

(C) cm3

则下列结论一定正确的是 (A) a ? 0 (B)a<0 (C) b≤0 (D)b>l (9)已知 a, b ? ? ?1,1? ,则函数 f ( x) ? ax ? b 在区间(1,2)上存在一个零点的概率为
1 16 (10)已知正三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在球 O 上,且 PA =PB =PC = 2 5 ,AB= BC=CA

(A)

1 2

(B)

1 4

(C)

1 8

(D)

=2 3 ,则球 O 的表面积为 ( A)
25?

(B)

125? 6

(C)

5? 2

(D)

20?

(11)函数 f ( x) ? ?

?1 ? x 2, x ? 1 ,若方程 f ( x) ? mx 恰有四个不同的实数根,则实数 m 的取值 ? f ( x ? 2), x ? 1

范围为 (A) (8 ? 2 15, 4 ? 2 3) (B) (4 ? 2 3,8 ? 2 15,) (C) (4 ? 2 3,8 ? 2 15) (D) (8 ? 2 15, 4 ? 2 3) (12)若曲线 C1 : y ? x 2 与曲线 C2 : y ? ae x (a ? 0) 存在公共切线,则 a 的取值范围为
8 ? (A) ? ? 2 , ?? ? ?e ? 8? (B) ? ? 0, 2 ? ? e ? 4 ? (C) ? ? 2 , ?? ? ?e ? 4? (D) ? ? 0, 2 ? ? e ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 (a ? b)2 ? c 2 ? 4 ,且 C ? 60 ,则 ab 的值为________.
?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? (14)设变量 x,y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z=2x-y 的最大值为_________. ?x ? 3 ?

(15)已知 a ? b ? 2 ,若函数 f ( x) ? a ? xb ( x ? R) 的最小值为 1,则 a ? b ? _______.
y2 (16)如图,B,C 两点在双曲线 x ? ? 1 的右支上,线段 BC 的垂直平 4 7 分线 DA 交 y 轴于 点 A(0, 4) ,若 cos ?BAC ? ? ,则点 A 到直线 15
2

BC 的距离 d=________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)已知 | Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且
a2 ? S 2 ? 31, an ?1 ? 3an ? 2n(n ? N ? ) .

(I)求证: ?an ? 2n ? 为等比数列;

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

(18)(本小题满分 12 分)为了解当前国内青少年网瘾的状况,探索青少年网瘾的成因, 中国青少年网络协会 调查了 26 个省会城市的青少年上网情况,并在已调查的青少年 中随机挑选了 100 名青少年的上网时间作参考,得到如下的统计表格.平均每天上网时 间超过 2 个小时可视为“网瘾”患者,

(I)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况,则在中国随机挑选 3 名青少年,求 至少有一人是“网瘾”患者的概率;高 考 资 源 网 (Ⅱ)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况,则在中国随机挑选 4 名青少,记 X 为“网瘾”患者的人数,求 X 的分布列和数学期望.

(19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面四边形 ABCD 为矩形,PA=PD,AD= 且平面 PAD ? 平面.4BCD. (I)求证:PC ? BD; (Ⅱ)若四棱锥 P - ABCD 的体积为
4 2 ,求二面角 A -PC -D 的余弦值. 3

2 AB=2,

(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 的直线 Z 交抛 物线 C 于 A,B 两点,且抛物线 C 在 A,B 两点处的切线相交于点 M (I)若△MAB 面积的最小值为 4,求 p 的值; (Ⅱ)在(I)的条件下, 若△MAB 的三边长成等差数列, 求此时点 M 到直线 AB 的距离.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 2ln x ? 1 , (I) h( x) ? 4 f ( x) ? g ( x) ,试求 h( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 x≥1 时,恒有 af ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围,

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,E,P,B ,C 为圆 O 上的四点,直线 PB,PC,BC 分别交直线 EO 于 M,N 三点,且 PM= PN. ( I)求证: ?POA ? ?BAO ? 90 ; (Ⅱ)若 BC∥PE,求
PE 的值. PO

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ?
? x ? 1 ? t cos a (t 为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴, ? y ? 2 ? t sin a

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ,且 C1 与 C2 相交于 A,B 两点. ( I)当 tan a ? ?2 时,求 AB ; (Ⅱ)当 a 变化时,求弦 AB 的中点 P 的参数方程,并说明它是什么曲线. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 3x ? 1 ? ax ? 1 (a ? 0) . ( I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4 的解集; (Ⅱ)若对任意的 x∈R,都有 f ( x) ? f ( ) ,求 a 的取值范围.
1 3

2013-2014 学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试参考答案 一,选择 (1)C (2)B (3)B (4)C (5)B (6)C (7)A (8)B (9)C (10)A (11)A (12)D 二、填空(13)
4 3

(14)7

(15) ?2 3

(16)

4 10 5

三.解答题: (17)解: (Ⅰ)由 an+1 = 3an - 2n 可得 an+1 - 2n+1 = 3an - 2n - 2n+1 = 3an - 3? 2n 3(an - 2n ) ,又 a2 = 3a1 - 2 ,则 S 2 = a1 + a2 = 4a1 - 2 ,
an+1 - 2n+1 = 3 ,故 {an - 2n } 为等比数列 . ? 得 a2 + S2 = 7a1 - 4 = 31 ,得 a1 = 5 ,? a1 ? 2 ? 3 ? 0, \ n an - 2
1

(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an - 2n = 3n- 1 (a1 - 21 ) = 3n ,故 an = 2n + 3n ,
? Sn ? 2(1 ? 2n ) 3(1 ? 3n ) 3n ?1 7 ? ? 2n ?1 ? ? . ?(12 分) 1? 2 1? 3 2 2

(18)解:由题意得,该 100 名青少年中有 25 个是“网瘾”患者. (Ⅰ)设 Ai (0≤i≤3) 表示“所挑选的 3 名青少年有 i 个青少年是网瘾患者” , “至少有一人是
75 3 37 . ?(4 分) ) ? 100 64 3 81 3 1 27 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4 , P( X ? 0) ? ( )4 ? , P( X ? 1) ? C14 ( )3 ( ) ? , 4 256 4 4 64 3 1 27 3 1 3 1 1 2 2 3 4 , P( X ? 3) ? C3 , P( X ? 4) ? C4 . ?(10 分) P( X ? 2) ? C2 4( ) ( ) ? 4 ( )( ) ? 4( ) ? 4 4 128 4 4 64 4 256 X 的分布列为

网瘾患者”记为事件 A ,则 P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 1 ? P( A0 ) ? 1 ? (

X

0
81 256

1

2

3

4

27 27 3 1 64 128 64 256 81 27 27 3 1 则 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .??????????(12 分) 256 64 128 64 256 (19)解: (Ⅰ)取 O 为 AD 的中点,连接 CO, PO ,如下图.
P

CD DO 2 ,可得 R t△CDO∽R t△DAB , ? ? AD AB 2 则 ?OCD ? ?BDA, 故 ?OCD ? ?CDB ? 90? , 故 BD ? OC , ?(3 分)

则在矩形 ABCD 中,有

由 PA ? PD , O 为 AD 中点,可得 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD . 则 PO ? 平面ABCD ,则 PO ? BD . 又 OC ? 平面 POC , PO ? 平面 POC ,则有 BD ? 平面 POC , 又 PC ? 平面 POC ,故 PC ? BD . ?(6 分) (Ⅱ)由 VP ? ABCD ? S矩形ABCD ? PO ? ? 2 ? 2 ? PO ? 建立如图所示空间直角坐标系,则有
A(1, 0, 0), P(0, 0, 2), C( ?1,2, 0), D( ?1, 0, 0) ,

1 3

1 3

4 2 ,可得 PO ? 2 ?(7 分) 3

故 AP ? (?1, 0, 2), AC ? (?2,2, 0) , DP ? (1, 0, 2), DC ? (0,2, 0) . ?(8 分) 设平面 PAC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则有 ? ?
?n1 ? AP ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0

,即 ? ?

?? x1 ? 2 z1 ? 0 ? ??2 x1 ? 2 y1 ? 0



令z1 ? 1, 得 n1 ? (2, 2 2,1) , 同理,设平面 PAD 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

则有 ? ?

?n1 ? DP ? 0 ? ?n1 ? DC ? 0

,可得 n2 ? (2, 0, ?1) , cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 4 ?1 3 65 ? ? , ??(10 分) n1 ? n2 65 13 ? 5
3 65 . ?(12 分) 65

由图可知二面角 A ? PC ? D 为锐二面角,故二面角 A ? PC ? D 的余弦值为 (20)解: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ?

p , 2 则将直线 l 的方程代入抛物线 C 的方程可得 x 2 ? 2 pkx ? p 2 ? 0 , p p 则 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ? p 2 , (*)故 AB ? AF ? BF ? y1 ? ? y2 ? ? kx1 ? p ? kx2 ? p ? 2 p (k 2 ? 1) . 2 2 x x x2 因直线 MA 为抛物线在 A 点处的切线,则 kMA ? y? x ? x1 ? 1 , 故直线 MA 的方程为 y ? 1 x ? 1 , p p 2p 2 x ?x xx x x 同理, 直线 MB 的方程为 y ? 2 x ? 2 , 联立直线 MA, MB 的方程可得 M ( 1 2 , 1 2 ) , 又由 (*) 2 2p p 2p p p 式可得 M ( pk , ? ) ,则点 M 到直线 l : y ? kx ? 的距离 d ? p k 2 ? 1 , 2 2 3 1 故 S?MAB ? AB d ? p 2 ? k 2 ? 1? 2 ≥p 2 ,由△MAB 的面积的最小值为 4,可得 p 2 = 4 ,故 p = 2 . (6 2

分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 kMA ? kMB ?
x1 x2 ? ?1 ,故 MA ? MB ,则△MAB 为直角三角形, p2

故 | MA |2 ? | MB |2 ?| AB |2 , ① 由△MAB 的三边长成等差数列,不妨设 MA ? MB ,可得 | MA | ? | AB |? 2 | MB |, ② 联立①,②可得 MA : MB : AB ? 3 : 4 : 5 , 由 S△MAB =
d 12 1 1 = , MA MB = AB d ,可得 2 2 AB 25
d 1 12 25 ? ? ,故 , k 2 ?1 ? AB 2 k 2 ? 1 25 24

又 AB ? 2 p(k 2 ? 1) ? 4(k 2 ? 1) , d ? p k 2 ? 1 ? 2 k 2 ? 1 , 则 得此时 M 到直线 AB 的距离 d ? 2 k 2 ? 1 ?

25 . ?(12 分) 12 (21) (Ⅰ)解: h( x) ? 4 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ln x ? 2 ln x ? x 2 ? 4 x ? 5 ,

2( x ? 1) 2 2 ≤0, , x2 x 故 h?( x) 在其定义域 (0, ??) 上单调递减,且有 h?(1) ? 0 ,则令 h?( x) ? 0 可得 x ? 1 ,令 h?( x) ? 0 得

则 h?( x) ? 4 ln x ? 2 x ? , 记 h??( x) 为 h?( x) 的导函数,则 h??( x) ? ?
0 ? x ? 1,

故 h( x) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . ?(5 分) (Ⅱ)令 ? ( x) ? af ( x) ? g ( x) ,则有 x≥1 时 ? ( x)≤0 . ? ( x) ? ax ln x ? 2 ln x ? ax ? x 2 ? a ? 1 ,
? ?( x) ? a ln x ? 2 x ? ,
2 x

记 ? ??( x) 为 ? ?( x) 的导函数,则 ? ??( x) ? (a ? 2 x ? ) ,

1 x

2 x

1 2 x x ① 若 a ? 4≤0 , 即 a≤4 , 此 时 ? ??( x)≤0 , 故 ? ?( x) 在 区 间 [1, ??) 上 单 调 递 减 , 当 x≥1 时 有

因为当 x≥1 时, x ? ≥2 ,故 a ? 2 x ? ≤a ? 4 .

? ?( x)≤? ?(1) ? 0 ,故 ? ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,当 x≥1 时有 ? ( x)≤? (1) ? 0 ,故 a≤4 时,原

不等式恒成立; ②若 a ? 4 ? 0 , 即a ? 4, 令 ? ??( x) ? (a ? 2 x ? ) ? 0 可得1≤x ?

1 x

2 x

a ? a 2 ? 16 , 故 ? ?( x) 4

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 ) 上单调递增,故当 1 ? x ? 在区间 [1, 时, ? ?( x) ? ? ?(1) ? 0 ,故 ? ( x) 在区间 4 4

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 ) 上单调递增,故当 1 ? x ? 时, ? ( x) ? ? (1) ? 0 ,故 a ? 4 时,原不等式 4 4 4? . ??(12 分) 不恒成立. ?(11 分)综上可知 a≤4 ,即 a 的取值范围为 ? ??, [1,

(22)解: (Ⅰ)过点 P 作圆 O 的切线交直线 EO 于 F 点,由弦切角性质可知 ?NPF ? ?PBA , PM ? PN ,??PNO ? ?PMA , 则 ?PNO ? ?NPF ? ?PMA ? ?PBA , 即 ?PFN ? ?BAO . 又 PF 为圆 O 的切线,故 ?POA ? ?PFN ? 90? , 故 ?POA ? ?BAO ? 90 . ????????????(5 分) (Ⅱ)若 BC∥PE ,则 ?PEO ? ?BAO ,又 ?POA ? 2?PEO , 故 ?POA ? 2?BAO , 由(Ⅰ)可知 90 ? ?POA ? ?BAO ? 3?BAO ,故 ?BAO ? 30? ,
PE 3 PE 则 ?PEO ? ?BAO ? 30 , cos ?PEO ? 2 ,即 ? , EO 2 2 EO


PE PE ? ? 3 .??????????????????????? PO EO

?????(10 分) (23)解: (Ⅰ)当 tan ? ? ?2 时,将直线 C1 的参数方程化成直角坐标方程为 y ? ?2 x ? 4 , 曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 , 则圆 C2 的圆心为 C2 (1, 0) ,半径 r ? 1, ????????????????????(3 分) 则圆心 C2 到直线 C1 : y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 则 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ? ?
4 5

2 , 5

2 5 .????????????????????(5 分) 5 (Ⅱ)由直线 C1 的方程可知,直线 C1 恒经过定点 (1, 2) ,记该定点为 Q ,弦 AB 的中点 P 满足

C2 P ^ QP ,故点 P 到 C2Q 的中点 D(1,1) 的距离为定值 1,当直线 C1 与圆 C2 相切时,切点分别

记为 E , F .?????????????????????????????(7 分) 由图,可知 ?EDC2 ? ?FDC2 ? 60 ,则点 P 的参数方程为 í
ì 11π ? x = 1 + cos j 7 π ( <j < ), 6 ? y = 1 + sin j 6 ?

表示的是一段圆弧.????????????????????????????(10 分)
1 ? 5 x ? 2, x ≥ ? 2 ? 1 ? 1 (24)解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 3x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? x, ? x ? ,?????(2 分) 3 2 ? 1 ? ??5 x ? 2, x≤ 3 ? 1 6 当 x≥ 时, f ( x) ? 5 x ? 2≥4 ,得 x≥ ; 2 5

当 ? x ? 时, f ( x) ? x≥4 ,无解; 当 x≤ 时, f ( x) ? ?5 x ? 2≥4 ,解得 x≤ ? ; 综上可知, f ( x)≥4 的解集为 ? x x≥ 或x≤ ? ? .??????????????(5 分)
? ? 6 5 2? 5?
1 3 2 5

1 3

1 2

1 ? ??(a ? 3) x ? 2, x≤ a ? 1 1 ? (Ⅱ)当 a ? 3 时, f ( x) ? 3x ? 1 ? ax ? 1 ? ?(a ? 3) x, ? x ? , a 3 ? 1 ? ?(a ? 3) x ? 2, x≥ 3 ? 1 1 故 f ( x) 在区间 (??, ] 上单调递减,在区间 [ , ??) 上单调递增; a a 1 故 f ( x)≥f ( ) ,与题意不符;????????????????????????(7 a

分)
1 ? ??(a ? 3) x ? 2, x≤ 3 ? 1 1 ? 当 0 ? a≤3 时, f ( x) ? 3x ? 1 ? ax ? 1 ? ?(3 ? a) x, ? x ? , 3 a ? 1 ? ?(a ? 3) x ? 2, x≥ a ? 1 1 故 f ( x) 在区间 (??, ] 上单调递减,在区间 [ , ??) 单调递增; 3 3 1 故 f ( x)≥f ( ) , 3 综上可知,a 的取值范围为 (0,3].????????????????????? (10 分)


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