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全国高中数学联赛一试专项训练


全国高中数学联赛一试专项训练—向量
1. 空间四点 A、B、C、D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11 , | DA |? 9 , 则 AC ? BD 的 取值为 .

2. 如图,设点 O 在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积的比为 .

3. 如图,设 P 为 ?ABC 所在平面内一点,并且 AP ?

1 2 AB ? AC ,则 5 5


?ABP 的面积与 ?ABC 的面积之比等于

4. 已知 a, b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13, c ? a ? 3, c ? b ? 4 , 则对于任意实数 t1 , t2 , | c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是 .

5. ?ABC 的三条边长 BC ? a, AC ? b, AB ? c ,若三顶点 A,B,C 对于某定点 O 的位置 向量为 ?、、 ? ? ,且 a? ? b? ? c? ? 0 ,则点 O 是 ?ABC 的 重、垂) . 6. 两个向量 a, b 满足 | a ? 2b |? 1,| 2a ? 3b |? 心(内、外、

1 ,则 (5 a ? 3b )( ? a? 9b ) 的值为 3



7. 已知 I 是 ?ABC 的内心, AC ? 2, BC ? 3, AB ? 4 .若 AI ? x AB ? y AC ,则 x ? y 的 值为 .

8. 已知非零向量 AB 、 AC 满足 ( 为 三角形.

AB AC 1 AB AC ? ? ,则 ?ABC ? ) ? BC ? 0 ,且 | AB | | AC | 2 | AB | | AC |

9. 已知集合 M ? {1,2,3}, N ? {1,2,3,4}.定义函数 f : M ? N ,且点

A(1, f (1)), B(2, f (2)),C (3, f (3)) . 若 ?ABC 的 内 切 圆 圆 心 为 D , 且

DA ? DC ? ? DB(? ? R) ,则满足条件的函数有

个.

10. 手表的表盘在一平面上.整点 1,2, …,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 圆 周 上 , 从 整 点 i 到 整 点 (i ? 1) 的 向 量 记 作 titi ?1

2 的 2
, 则

t1 t?2

t2 ?t3

t ?2 t3 ?t3 t4?

? t1 . 2t ? 1 t 1t

2

11. 已知向量 a, b 满足 | a |? 2,| b |? 1 ,且夹角为 60°,则使向量 a ? ? b 与 ? a ? 2b 的夹角 为钝角的实数 ? 的取值范围是 .

12. 已知 a ? (cos ?,sin ?), b ? (cos ?,sin ?) ,a, b 之间有关系式 | ka ? b |? 3 | a ? kb | , 其中 k ? 0 ,则 a ? b 的最小值为 .

13. 如图,菱形 ABCD 的边长为 1, ?ABC ? 120 ? ,若 E 是 BC 延长 线上任意一点,AE 交 CD 于点 F,则向量 BF 与 ED 的夹角的大 小等于 . . .

t n C ?c o t A 的最小值为 14. 在 ?ABC 中, D 是边 BC 的中点, 若 AD ? AC ? 0 , 则a
15. 已知在四边形 ABCD 中,AC ? l1, BD ? l2 , 则( AB ? DC) ? (BC ? AD) ? 16. 在 ?ABC 中,已知 G 是重心,三内角 ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c ,且

56aGA ? 40bGB ? 35cGC ? 0 ,则 ?B ?



17. 在 ?ABC 、 ?AEF 中,B 是 EF 的中点, AB ? EF ? 1, BC ? 6, CA ? 33 .若

AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于



18. 设 ?A、?B、?C 是 ?ABC 的三个内角,若向量 m ? (1 ? cos( A ? B), cos

5 A? B 9 n t a n tA ? n ? ( , cos ), 且m?n ? . 则a 8 2 8

A? B ), 2


B?



ab sin C 的最大值为 a ? b2 ? c2
2

19. 在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别为 A(?1,0), B(1,0) ,平面内 两点 G、M 同时满足下列条件:① GA ? GB ? GC ? 0 ;② | MA |?| MB |?| MC | ;③ (1)求 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程; GM // AB . (2)过点 P(3,0) 的直线 l 与(1)中轨迹交于 E、F 两点,求 | PE ? PF | 的取值范围.


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