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2015年全国高中数学联赛江西赛区预赛


3 2  

中 等 数 学 

2 0 1 5年全 国高 中数学联赛江 西赛 区预赛 
中圈分 类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识 码 : A   文章编 号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 0 6— 0 0 3 2— 0 4  



、<

br />
填空题 ( 每小题 8分 , 共6 4分 )  


1 . 若三位数 / / , =a b c 为 平方 数 , 其 数 字 和 
口 + b +c 也为平方数 , 则 称  为 “ 超 级 平 方 



8 . 在前一万个 正整数 构 成 的集合 { 1 , 2 ,   1 0   0 0 0 } 中, 被 3除余 2 , 且被 5除余 3 、 被  个.   二、 解答题 ( 共8 6分 )  

7除余 4的元 素有 

数” . 这种 超级平方 数 的个数为— — .  

2 . 函数 Y =J 8 X 一   一 ̄ / 1 4 x 一  一 4 8 的  
最 大值 为— —. .  

9 . ( 2 0分 ) 正整数数列 { a   } 满足 
=2 口 n + 1= 口 2 t / , 1   =  , , 口 n + 1=口 n—  n+ a n+1    ? .  




3 . 设直线 Z 过点 M( 1 , 2 ) . 若 直线 Z 被 两 
平行线 4   + 3 y + 1 = 0与 4  + 3 y + 6= 0所 截 
得 的线段长为  , 则直线 Z 的方程为— — .  
4.   一   =  

证明: 数列 的任何两 项均互素.   1 0 . ( 2 2分 ) 如图2 , 日 为锐 角 △ A B C的  垂心, 在线 段 C H上 任取 一 点 E , 延长 c 日到 

点 F, 使 邪 =C E, 作F D上 B C于点 D, E G上  B H于点 G ,   为线段 C F的 中点 , 0  0 : 分别 
为△ A B G 的外接 圆圆心 、 △B C H 的外接 圆 圆 

5 . 满足, / 1 一  ≥  的实数 的取值范围 
是一  

心, oD 1 与o0   的另一交点 为 Ⅳ .  

6 . 若实数 、   ≥O , 且 
+Y+z=3 0,3 x+Y 一   =5 0,  

则T = 5 x+ 4 y +   的取值范 围是— — .  
7 . 如图 1 , 正 四面 体 A B C D 的各 棱 长 均  为2 , A l 、 J 石 } 1 、 C 1 分 别为棱 D A 、 D B 、 D C的 中   点, 以 D为 圆心 、 1 为半径 , 分别在 面 D A B 、 面  D B C内作  1 B   。 c 。 , 并将 两弧各分成五等  份, 分点顺次为 A   、 P 。 、 P 2 、 P 3 、 P 4 、   以及  Q  Q   、 Q 。 、 Q   、 C 。 . 一 只 甲虫欲从 点 P   出发 ,   沿 四面体表 面爬行 至点 Q   , 则 其爬行 的最短  距离为一  
2  

证 明: ( 1 ) A 、 B 、 D 、 G四点共 圆 ;   ( 2 ) D  D   、  、 Ⅳ四点共 圆.  
C 

1 1 . ( 2 2分 ) 对 于任 意给定 的无理 数 口 、 b  

及 实数 r > 0 , 证明: 圆周  (  一 口 )  +( Y一 6 )  = / . 2   上至多 只有 两 个 有理 点 ( 纵、 横 坐 标均 为有 
图 1  

理数 的点 ) .  

2 0 1 6年第 6期 

3 3   1  

1 2 . ( 2 2 分) 从集合 M ={ 1 , 2 , …, 3 6 } 中   删去 n 个数 , 使得剩下 的元 素 中, 任两个数之  和均不为 2   0 1 5的因数. 求/ 1 , 的最小值  

寻 c 。 s   1 0 。 一 √ 5 3 - s i n   1 0 。  


参 考 答 案 


4×  



1 .1 3 .  

=4   x  
Z  S 1   n  lU  ?   C  OS  l U 

可顺次列举 出  
1 0 0 、 1 2 1 、 1 4 4   1 6 9   1 9 6   2 2 5 、 3 2 4 、 4 0 0  
  .



4   x  

=4.  

4 1  48 4、 5 2 9、 9 0 0、 9 61 。   2. 2   .  

5 . [ - 1 ,  
令Y = √ 1 一  , 此为单位圆的上半圆, 其 
与直线 y =  交于点 \ [



注意 到 ,  

Y= ̄ /   ( 8 一  )一√(  一 6 ) ( 8 - x )  
=  

1 /

(   一厢

)  
① 

W 厶 

√ 2√ 2,  

/ , 半 圆位 于交 点 

6 , / 8一   q 一 %a t - 0 』 x . . . . - . . . . 6 一     ●  

左侧 的图像均在直线 Y " - X 上 方.  

其定义域 为 6 ≤   ≤8 .   当  =6时 , 式 ① 的分 子 最 大 而 分 母 最  小, 此时 , 分式 的值 达到最大 , 其值 为 2   .  
3 . 戈+ 7 y=1 5或 7  一Y= 5 .  

因 此 ,   ∈ 【 - 1 '  
6 . [ 1 2 0 , 1 3 0 ] .   注意到 ,  
T=5 x+4 y+2 z  


(  + y + 彳 )+( 4 x + 3 y +   )  
3 0+( 4  + 3 , , +   ) .  
T=1 1 0+( Y+ z ) .  

设直线 2 : y一 2=   (  一 1 ) .   将此方 程 分 别 与题 中两 平 行 线 方 程 联  立, 解得交点坐标 



由缸 + 2 r= x + ) , + z ) + ( 3 x +  - z ) = 8 0   又2 0 = ( 3   + y —   ) 一 (  +  +   ) = 2 (  一   ) ,   则 一  = 1 0 .  
因为 、   ≥0 , 所 以,   ≥1 0 .   故由  + Y +  = 3 0 , 知Y +   ≤2 0 .   于是 , T=1 1 0+( Y+   ) ≤1 3 0 ( 当  = 0 ,  

a (  ̄ - 7 : . , ’   3   + 4   ) J ’ ,  
B (   ,  
据l A Bl = √ 2  
、  

) .  



=  

= 1 0 , Y = 2 0时取 等号 ) .   再 由4 x + 2 y= 8 0 , y ≥ O , 知x <2  ̄ 0 .  
从而 , Y + z = 3 0一 x >1  ̄ 0 .  

( 3  + 4 )  

于是 , T =1 1 0+( Y +   ) ≥1 2 0 ( 当  = 2 0 ,  

k 1 = 7 , k 2 =一 寺.  
分 别代人所设方程得 
+ 7 y = 1 5或 7  一 Y = 5 .  
4 . 4 .  

Y= 0 ,   = 1 0时取等号) .  
因此 , 1 2 0 ≤  ≤1 3 0 .  
7. 2s i n   4 2。 .  

作两种展 开 , 然后 比较.  
注意到 , 弧A  1 被点 P  P 2 、 P 3 、 P 4 分 成 

注意到 ,  

中 等 数 学 

五段 等弧 , 每段 弧对应 的中心角各 为 1 2 。 ; 弧 
\  

队而 。 A H  K F . 故A K/ / H F .  
由   K A B= 9 0 。 =   K D B=   K G B, 知  A 、 j 5 } 、 D 、 G四点共 圆.  

j 5 } 。 C   被Q  Q : 、 Q , 、 Q   分 成五段 等弧 , 每段弧  对应 的中心角也各 为 1 2 。 .   若将 △ D B C绕 线 段 D B旋 转 , 使 之 与 
△D A B 共面 , 这两段 弧均与 圆心为 D、 半径 为 

1的圆周重合 , 则弧P   Q   对应 的圆心角为 8 ×  
1 2 。 = 9 6 。 , 此时, 点P  Q   之 间的直 线距离 为 
2 s i n   48O .  

若将△ D B 绕 线段 D A A旋 转 , △D B C绕  线段 D C旋转 , 使之均与 △ D A C共 面 , 在所得  图形 中 , 弧P 1   Q 4 对应 的圆心角为 7× 1 2 。 = 8 4 。 ,   此时 , 点P  Q   之 间的直线距离为 2 s i n   4 2   o .   综上 , 所求最短距离 为 2 s i n   4 2 。 .  
8. 9 5.  

由题意 , 知对 于每个满 足条件 的数 , 数  2 乃 应 当被 3 、 5 、 7除皆余 1 , 且 为偶数.  
因此 , 2 n 一1 应为 3 、 5 、 7的公 倍 数 , 且 为  奇数 , 即2 n一 1 为1 0 5的奇倍 数.  

图 3  

( 2 ) 据( 1 ) , B K为o0   的直径 , 如图 3 , 作  oD 2 的直径  , 联结 c P 、  、   、 0   0  
则  B C P=   B H P= 9 0 。 .  

而当  ∈{ 1 , 2 , …, 1 0   0 0 0 } 时, 2 n一1∈  

于是 , C P / / A I I , i i - e / / a c .  
故 四边形 A H P C为平行 四边形.  
进而, P C Ar .  ̄.  

{ 1 , 2 , …, 1 9   9 9 9 } , 其在 { 1 , 2 , …, 1 9   9 9 9 } 中,   共有 1 9 0个 数 为 1 0 5的倍 数 , 其 中的奇倍 数  恰有 9 5 个.   二、 9 . 改写条件为 
a   + 1 —1=a n ( a   一1 )  
a  一1=a  


因此 , 对角线 K P与 C F互相平分于点  从而, 0 l 、 0   、 M 为△ K B P三边 的中点.  



( a   一 l 一 1 ) .  
( a   一 l 一1 )  

所以, K M/ / 0 1 0 2 .  
又  K N B= 9 0 。 , 0 1 0 2 上B N, 得 

据此迭代得 
口   + l一1=a   口  


} f   0   0   .  



= an a 


l 口 





( a   一 2 —1 )= … 

于是 ,  、 Ⅳ、 K三点共 线.  

= an a 



1 …a l ( 口 1 — 1 )= a r , a   一 l …a 1 .  

因此 , MN / / O 1 0 2 .  
由△ K B P的中位线 知 
M O2= 01 B = 01  

故口   = a r t - 1 口 n ~ 2 …a 1 + 1 .   因此 , 当k <  时, ( a   , 口   )= 1 .   1 0 . ( 1 ) 如图 3 , 设 E G与 D F交 于点 K,  
联结 魍  

故四边形 0 。 0   MN为等腰梯形 , 其顶点 
共 圆.  

由A C 上B H , E K上B I t c i t I 上 

上   , 知 

1 1 . 对于点  ( 口 , b ) , 用 P(  , r ) 表 示 上 
述 圆周上有理 点 的个数.  

C A / / E I C ,  ̄I / / K F .  
又C 日=E F, 于是 , △C A l l  △E K F .  

首先 , 可 以作—个符合条件的圆 , 其上至少 
有两个有 理 点 , 为此 , 取 点 A( O , 0 ) , 曰( 2 , 2 ) .  

2 0 1 6年第 6期 

3 5  

则 线段 A B中垂线 l : x +  = 2 .   在直线 z 上 取 点  ( 1 +   , 1一   ) , 再  取 r = M A=   . 则 以  为 圆心 、 r 为半 径 的  圆周上至少 有 A 、  这两个有 理点.  

则 I 、   : 、   3 三点共线 , 这 与 1 、 A 2 、   。 三 

点共 圆矛盾.  
因此 , 假设不真 , 即这种 圆上 至多有两个 
有理点.  

其次说 明, 对于任何 无理 点 M 以及任意 
正实数 r , e ( M, r ) ≤2 .  

于是 , 对于 所有 的无理 点  及所 有正实 

数r , e ( M, r ) 的最大值为 2 .  
1 2.1 7.  

假设有无 理点 M( 口 , 6 ) 及正 实数 r , 在 以 
为 圆心 、 r 为 半径 的圆周上 , 至 少有 三个有 
理点 A i   X t , Y t ) (   £ 、   ∈ Q, Z =1 , 2 , 3 ) . 则 

注意 到 , 集合  中任两个 元素之 和不大 
于 7 1 .  

(   1 一 口 )  +( Y 1 一 b )  


由于 2   0 1 5= 5× 1 3× 3 1 不 大于 7 1的正 

(   2 一 口 )  +(  一 6 )  

因数有 1 、 5 、 1 3 、 3 l 、 6 5 , 故在集合  的二元子  ①  集中,  



(   3 一 口 )  +( Y 3 — 6 )   .  

故 x 1 一   2 ) 口 +( Y l 一 , , 2 ) b  


÷ (  +  一  一   2 ) ,   睾 (  +  一   ; 一  ) .  

②   ③  

元素和为 5的有 { 1 , 4 } , { 2 , 3 } ;   元素 和为 1 3的有  { 1 , 1 2 } , { 2 , l 1 } , { 3 , 1 0 } , { 4 , 9 } ,  
{ 5 , 8 } , { 6 , 7 } ;   元素 和为 3 l 的有 

(   2 - X 3 ) 口 +( r 2 一  ) 6  


记 告 (  +  一  一  ) =  ,  
( 戈   +  一   ; 一   2 ) = t 2 .  
则t l 、 t 2 ∈Q .   ( 1 ) 若  一   : = 0 , 则 由式② 知 
( , , l 一  ) b = t 1 .  

{ 1 , 3 0 } , { 2 , 2 9 } , { 3 , 2 8 } , { 4 , 2 7 } ,   { 5 , 2 6 } , { 6 , 2 5 } , …, { 1 5 , 1 6 } ;  
元素和为 6 5的有 

{ 2 9 , 3 6 } , { 3 0 , 3 5 } , { 3 1 , 3 4 } , { 3 2 , 3 3 } .   为直观起见 , 将其画成一个图, 每条线段 
两端 的数为上述一个二元子集 , 如图 4 .  

由b 为无理数 , 得Y 1 一   = 0 . 故点 A 1 与  A   重合 , 矛 盾.  
9   3 6  2 9   l 0   21  

类 似地 , 若  一  = 0 , 得点  与 A 3 重合 ,  
矛盾.  

(甲 )  

( 乙)  
1 3   1 8  
1 7  

( 2 ) 若  1 一   2 ≠0 ,   2 一   3   S0 , 由式② 、 ③ 
消去 b 得 

2 3  8   5  26  

1 4  

( 丙)  
●‘?- -● ---— ?● -——— ' 

1 5  
— —  

l 6  

[ (   l 一  ) ( , , 2 一  ) 一 ( , , l - Y 2 ) (  - X   ) ] 口   = t 1 (  一  ) 一 t 2 ( Y 1 一  ) ∈Q .   又 口为无 理数 , 故 
(   l 一   2 ) (  一  ) 一 ( y 1 一 y 2 ) (  一   3 ) = 0  
= 

2 4  7   6  2 5  

3 2  

33  

( 丁)  
图4  

( 戊)  

为了不 构成这些 和 , 每对 数 ( 每条 线段 )  
中至少要 删去一个数.  
于是 , 在图 4 ( 甲) 、 ( 乙) 中各 至 少 要 删 

y 1一y 2   y 3一y 2   — — = — —
.  

1 一  2  

一   2 

中 等 数 学 

2 0 1 5年全 国高 中数学联赛 甘肃赛 区预赛 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编 号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 0 6— 0 0 3 6— 0 6  

填空题 ( 每小题 7 分, 共7 O分 )   1 . 已知△ A B C的外 接 圆半径为 R, 且 




2 R ( s i n 2 A— s i n 2 C )- - = (   口 一 b ) s i n   B ,  

7 . 已知 口 、 b为两 个 互 相垂 直 的单 位 向   量, 且C ? 口=g ? b=1 . 则 对 任 意 的正 实数 t ,  
  l
l  

其中, 0 、 b 分 别 为  A 、   的对 边. 则  C   的大小为— — .   2 . 设集合 A={  I 2 口+ 1 ≤  ≤3 口 + 5 } ,   B={  1 3 ≤  ≤3 3 } , A   C A   n   .   则 口的取值范 围是— — .  

1  

I  
  I

  l c + t a +   l 的最小值为一
8 . 若关 于  的方程 
+a t  

 
=k x 2 有 四个 不 

3 . 6 n+ c l 1 6 加+ c   1 6   + …+ c 1 0 1 6 — 1 被8  
除所得 的余 数为— —. .   4 . 在数列 { 口   } 中, 口   = 2 , a   = 1 0 , 对所 有  的正整数  均 有 口   + 2 =口   + 1 一口   . 则口 2   0 1 5 =  
5 .如 图 1 ,  

同的实数解 , 则 k的取值范 围是一   9 . 设 、 Y为 正 实 数 , 且  +Y=1 . 则 

+ 南 的 最 小 值 为 ——.  
1 0 . 设厂 (   ) 为定 义 在 整 数集 上 的 函数 ,  

P 

满足条件  ( 1   1 ) = 1 ,   2 ) = 0 ;   ( 2 ) 对 任意 的 x , y 均有 

在 底 面 为 直 角 

梯形 的 四 棱 锥  P— A B G D中, A D  

/ / B C .   A B C=   B   9 0 。 , P A   J _ 平 面 

C  
图 1  

+ Y ) =   ) . 厂 ( 1 一 Y ) + 厂 ( 1 一 x ) f ( y ) .   则  2   0 1 5 ) = 一   二、 解答题 ( 共8 O分 )   1 1 . ( 1 4 分) 已知 函数 

A BC D, P A= 3 , A D= 2 , A B= 2 √ 3 , B C= 6 . 则二 

) : 2 s i n 2   a - 一   l -  c 。 s   2   .  
( 1 ) 求f (  ) 的最 小 正 周 期 和 单 调 递 减 
区间 ;  

面角 P— B D— A的大小为—— 一  


2  

2  


6 . 设 双 曲线  一   =1 ( 口> 0 , b> o ) 的 
口  D 

左、 右焦点分别 为 F  F 2 , A为 双 曲线渐 近线  上 的一 点 , A   上F   , 原 点 0到 直 线 A F 。  

( 2 ) 若  ) <   + 2 在   ∈ I o ,   J 上 恒 成  

立, 求实数 m的取值范 围.   1 2 . ( 1 4分 ) 某花 店每天 以每 枝 5元 的价  的距离为÷I   O F 。 1 . 则双曲线的离心率为  格从农 场购进若 干 枝玫瑰花 , 然后 以每枝 1 0  
去1 2 、 3 O 、 4 、 2 2 , 图4 ( 乙) 中删 去 1 1 、 2 9 、 3 、   2 1 , 图4 ( 丙) 中删 去 2 3 、 5 , 图4 ( 丁) 中删 去  2 4 、 6 , 图4 ( 戊) 中删 去 1 3 、 1 4 、 1 5 、 3 1 、 3 2 . 此 

去 四个 数 , 图4 ( 丙) 、 ( 丁) 中各 至少 要 删 去 
两个数 , 图4 ( 戊) 中至少要删 去五个数 , 总共  至少要 删去 1 7个数.   另一方面 , 删去适当的 1 7个 数 , 可 以使 

得余下 的数满足条件. 例如 , 在图 4 ( 甲) 中删 

时, 图中所有的线段均已被断开.   ( 陶平 生 提供 )  


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