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高考数学函数图象变换


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2.4 函数图象与变换
——图象是研究函数的工具,是数形结合的载体,“数形结合千般好,数形分离万事 休”,新课标和高考提高了对作图和用图能力的要求

一、明确复习目标
1、理解函数图象的意义,掌握两种画图方法——描点法和图象变换法; 2、会利用函数图象,进一步研究函数的性质、方程、不等式中的问题; 3、理解图象变换与函数式变换之间的关系,领会知识间的联系。

二.建构知识网络
1、函数 y=f(x)的图象是由坐标为(x,f(x))的点构成的;要证明点(a,b)在函数 y=f(x) 的图象上,只须证明 b=f(a); 2、画图象的方法——描点法和图象变换法.要掌握这两种方法; 由函数解析式,用描点法作图象应①化简解析式;②分析函数的性质如:分布范围、 变化趋势、对称性、周期性等,③选算对应值,列表描点; 3、要理解图象变换与函数式的变换之间的关系,常见的 图象变换有:平移、伸缩、对称、旋转等 (1)平移变换 函数 y=f(x+a)(a≠0)的图象——把函数 y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移 |a|; 函数 y=f(x)+b(b≠0)的图象——把函数 y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移 |b| 函数 y=f(x+a)+b(b≠0)的图象呢? 函数 y=f(x)的图象按向量 a =(h,k)平移后得函数 y=f(x-h)+k (2)伸缩变换 函数 y=Af(x)(A>0,A≠1)的图象——把函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A >1)或缩短(0<A<1)成原来的 A 倍; 函数 y=f(ωx)(ω>0,ω≠1)的图象——把函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长 (0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 1/ω; 说出 y=Asin(ωx+φ)与 y=sinx 之间的关系—— (3)对称变换 函数 y=f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称(即把(x,y)换成(-x,y); ) 函数 y=-f(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称;(即把(x,y)换成(x,-y) ) 函数 y=-f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于原点对称(即把(x,y)换成(-x,-y); ) -1 函数 y=f (x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称; 函数 y=f(|x|)的图象——把 y=f(x)在 y 轴右方的图象换成 y 轴左边的对称图形即可; 函数 y=|f(x)|的图象——把 y=f(x)的图象在 x 轴下方的翻折到 x 轴上方而得到. 4、奇偶函数图象的对称性,互为反函数的图象的对称关系; 5、若 f(x)满足 f(a+x)=f(b - x)则 f(x)的图象以 x = f(a+x)=f(a-x)则 f(x)的图象关于 x=a 对称。
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a+b 为对称轴;特例:若 2

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6、若 f(x)满足 f(a+x)=-f(b-x)则 f(x)的图象以 ( f(a+x)=-f(a-x)则 f(x)的图象以点(a,0)为对称中心。

a+b ,0) 为对称中心;特例:若 2 a+b c , ) 中心对称。 2 2

7、若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c 则 f(x)的图象关于点 ( 证明:设 P(x,y)是图象上任一点,则 y=f(x); 由中点公式得 P 关于点 (

a+b c , ) 对称的点为 Q(a+b-x,c-y). 2 2

设 t=b-x 即 x=b-t 代入 f(a+x)+f(b-x)=c 得 f(t)=c-f(a+b-t)即 f(a+b-x) =c- f(x)=c-y,即 Q 在图象上。 所以 f(x)的图象象关于点 (

a+b c , ) 中心对称。 2 2 b?a 对称。 2

特例:若 f(a+x)+f(a-x)=2c 则 f(x)的图象以点(a,c)为对称中心. 8、函数 y=f(a+x)与 y=f(x-b)的图象关于直线 x =

证明:略 特例:函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图象关于直线 x=0 对称。

三、双基题目练练手
1、若把函数 y=f(x)的图像作平移,可以使图像上的点 P(1,0)变换成点 Q(2,2), 则函数 y=f (x)的图像经此变换后所得图像对应的函数为 ( ) A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2 C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2 -1 2、(2006 广东 7) 函数 y=f(x)的反函数 y=f (x)的图 (2006 y 象与 y 轴交于点 P(0,2)(如图所示),则方程 f(x)=0 的根是 4 x= ( ) 2 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3、设函数 y=f(x)的定义域为R,则函数 y=f(x-1)与 1 x y=f(1-x)的图象关系为 ( ) 0 -1 3 A、直线 y=0 对称 B、直线 x=0 对称 C、直线 y=1 对称 D、直线 x=1 对称 4、函数 f ( 2 x ? 3) 的图象,可由 f ( 2 x + 3) 的图象经过下述变换得到( ) A.向左平移 6 个单位 C.向左平移 3 个单位 5、方程 log a ( x + 2) = B.向右平移 6 个单位 D.向右平移 3 个单位

? x (a>0 且 a≠1)实数解的个数是

6、方程 f(x,y)=0 的曲线过点(2,4) ,则方程 f(2-x,y)=0 的曲线必过点 7.已知函数 f(x)=x2+2x+1,若存在实数 t,当 x∈[1,m]时,f(x+t)≤x 恒成立,则实数 m 的最 大值为________
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简答:1-4、ACDD; 5、1; 6、 (0,4)
2、f (x)交 y 轴于点(0,2),则 f(x)交 x 轴于点(2,0), 4、由 f [2( x + 3 )]与f [2( x ? 3 )] = f [2( x ? 3 + 3 )] 可知—(或由换元法,
2 2 2
-1

6、即把(x,y)换成(2-x,y);图象关于 x=1 对称;或 2-x=2,y=0。 7、 f(x+t)即把 f(x)左右平移,只能向右平移,最多移到 f(1+t)=1 时 m 最大.算得 mmax=4. 法二:只须 ?

? f (1 + t ) ≤ 1 有解. ? f (m + t ) ≤ m

四、经典例题做一做
【例 1】图①是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.
y(元) y(元) y(元)

10 O 5 O B 10 20 x(人) B x(人) -10 5 10 20 x(人) A -20 -20 A -20 O







(1)试说明图①上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义. (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图②③ 所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)图①、图②中的票价是多少元?图③中的票价是多少元?票价在图中的几何意 义是什么? 解: (1)点 A 表示无人乘车时收入差额为-20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收入差 额为 0 元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图②的建议是降低成本,票价不变,图③的建议是增加票价. (3)图①②中的票价是 2 元.图③中的票价是 4 元. 票价在图中的几何意义是直线的 斜率. 知识.感悟:图象的意义和函数式中系数(斜率、截距)的实际意义。 【例 2】 (1)若方程 2 x + 1 = x + m 有两个不同的实数根,求实数 m 的范围。 (2)求不等式 2 x + 1 ≥ x +

1 的解; 2 解: (1)方程的根就是函数 y = x + m 和 1 y = 2 x + 1即y 2 = 2 x + 1,( x ≥ ? ) 2
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y _

x _ 1 _ - O _2 _ _ 百万教学资源免费下载

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的图象交点的横坐标,当 y = x + m 在如图两直线之间时有两交点。
2 2 2 由 ( x + m) = 2 x + 1 得 x + 2( m ? 1) x + m ? 1 = 0

由 ? = 4( m ? 1) ? 4( m ? 1) > 0 得 m < 1
2 2



1 ≤ m <1 2 1 1 3 1 3 得x =? 或 , 结合图形知, 不等式的解集为 [ ? , ] 2 2 2 2 2

(2) 解方程 2 x + 1 = x +

点评:利用函数图象的交点研究方程的根、不等式的解;这是数形结合的典范,要 能熟练运用。
【例 3】已知函数 f ( x ) =

a ax + a

(a > 0且a ≠ 1)

(1)证明函数 y=f(x)的图象关于点(1/2,1/2)对称 (2)求 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值 证明(1)设 P ( x, y ) 是 f ( x ) 图象上任一点,则 y = 又 P 关于点(1/2,1/2)对称点为 Q(1-x,1-y)

a a + a
x

f (1 ? x) =

a a1? x + a a ax + a

=

a ? ax a + a ? ax ax

=

ax a + ax

1? y =1?

=

ax + a

= f (1 ? x)

所以,函数 y=f(x)的图象关于点(1/2,1/2)对称; (2)由对称性知 f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。

归纳方法:
(1)会求对称点的坐标; :证对称性就是证图象上任一点(x,y)关于“xx“对称的 点仍在图象上; (2)注意解析式的变换运用和既得结论的应用。 【例 4】 (88 年全国)给定实数 a,a≠0 且 a≠1,设函数 y= x≠

x ?1 (其中 x∈R 且 ax ? 1

1 ),证明:①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴; ②.这 a
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个函数的图像关于直线 y=x 成轴对称图像。

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【证明】 ① 设 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ) 是函数图像上任意两个不同的点,则 x1 ≠ x2 , 假设直线 M 1M 2 平行于 x 轴,则必有 y1 = y2 ,即

x1 ? 1 x2 ?1 = ,整理得 ax1 ? 1 ax 2 ? 1

a ( x1 ? x2 ) = x1 ? x2
∵ x1 ≠ x2 ∴ a=1, 这与已知“a≠1”矛盾,

因此假设不对,即直线 M 1M 2 不平行于 x 轴。 ② 由 y=

y ?1 x ?1 得 axy-y=x-1,即(ay-1)x=y-1,所以 x= ,即原函数 y ax ? 1 ay ? 1

x ?1 x ?1 的反函数为 y= ,图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线 y=x 对 ax ? 1 ax ? 1 x ?1 称可以得到,函数 y= 的图像关于直线 y=x 成轴对称图像。 ax ? 1


评注.提炼
对于“不平行”这样否定性结论可使用反证法,假设“平行” ,经推理,导出矛盾。 第②问中,对称问题运用了反函数图象的对称性,方法巧妙,体现了知识间的联系和解 题思路的灵活性。 【研究.欣赏】(2006 春上海) 设函数 f ( x) = x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2)设集合

A = { x f ( x) ≥ 5 }, B = ( ? ∞, ? 2 ] ∪ [ 0, 4 ] ∪ [ 6, + ∞ ) .
试判断集合 A 和 B 之间的关系,并给出证明; (3)当 k > 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x) 图像 的上方.

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解:(1)

( 2 ) 方 程 f ( x) = 5 的 解 分 别 是

2 ? 14 , 0, 4 和 2 + 14 ,由于 f ( x) 在 ( ? ∞, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和
[ 5, + ∞ ) 上单调递增,因此

A = ? ∞, 2 ? 14 ∪ [ 0, 4 ] ∪ 2 + 14 , + ∞ .
由于 2 + 14 < 6,

(

]

[

)

2 ? 14 > ?2, ∴ B ? A

(3)[解法一] 当 x ∈ [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) = ? x 2 + 4 x + 5 .

g ( x) = k ( x + 3) ? (? x 2 + 4 x + 5)
= x 2 + (k ? 4) x + (3k ? 5)

4?k? k 2 ? 20k + 36 ? =?x ? ? ? 2 ? 4 ?
又 ?1≤ x ≤ 5 , ① 当?1≤

2

∵ k > 2, ∴

4?k <1. 2

4?k 4?k < 1 ,即 2 < k ≤ 6 时,取 x = , 2 2

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g (x) min = ?

1 k 2 ? 20k + 36 2 = ? (k ? 10) ? 64 . 4 4
则 g ( x) min > 0 .

[

]

∵ 16 ≤ (k ? 10) 2 < 64, ∴ (k ? 10) 2 ? 64 < 0 ,
② 当

4?k < ?1 ,即 k > 6 时,取 x = ?1 , g (x) min = 2k > 0 . 2

由 ①、②可知,当 k > 2 时, g ( x) > 0 , x ∈ [ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y = k ( x + 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方. [解法二] 当 x ∈ [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) = ? x 2 + 4 x + 5 .

? y = k ( x + 3), 由? 得 x 2 + (k ? 4) x + (3k ? 5) = 0 , 2 ? y = ? x + 4 x + 5,
令 ? = (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) = 0 ,解得 k = 2 或 k = 18 , 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k = 2 时, y = 2( x + 3) 的图像与函数 f (x) 的图像只交于一点

( 1, 8 ) ; 当 k = 18 时, y = 18( x + 3) 的图像与函数 f (x) 的图像没有交点.
如图可知,由于直线 y = k ( x + 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k > 2 时,直线 y = k ( x + 3) 是由 直 线 y = 2( x + 3) 绕 点 ( ? 3, 0 ) 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 . 因 此 , 在 区 间 [ ? 1, 5 ] 上 ,

y = k ( x + 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方.

五.提炼总结以为师
1、函数图象的意义—— 两种画图方法—— 2、理解图象变换与函数式变换之间的关系——平移变换、伸缩变换、对称变换、对 称轴、对称中心和函数式表示—— 3、利用函数的图象讨论函数的性质、方程的根和不等式的解;

例题简答:

同步练习

2.4 函数图象与变换

【选择题】 1、(2006 陕西 4) 设函数 f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过 点(2,8),则 a+b 等于 ( )
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A 6

B 5

C 4
x ?b

D3 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确

2、 (2005 福建)函数 f ( x) = a 的是 ( )

A. a > 1, b < 0 C. 0 < a < 1, b > 0

B. a > 1, b > 0 D. 0 < a < 1, b < 0

3、 设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, x≤1 时, 在 f(x)=(x+1)2-1,则 x>1 时 f(x) 等于 ( ) B f(x)=(x-3)2-1 A f(x)=(x+3)2-1 C f(x)=(x-3)2+1 D f(x)=(x-1)2-1 4、设偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,在 0≤x≤1 时 f(x)=x2,则 f(2008)= ( ) A.0 B. 1 C. 2008 D. 2006 【填空题】 5、函数 y=log3(3-x)的图象是由 y= log3(x+3)的图象经怎样的变换而得到
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

6、已知 f(x+199)=4x 2 +4x+3(x∈R),那么函数 f(x)的最小值为____. 简答:1-4、CDBA; 3、数形结合,x≤1 时,f(x)对称轴为 x=-1,最小值为-1,又 y=f(x)关于 x=1 对称, 故在 x>1 上,f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为-1 4、周期为 2,f(2008)=f(0)=0; 5、作直线 x=3 的对称图形而得; 6、y=f(x+199)与 y=f(x),其图象仅是左右平移关系,它们的最小值相等为 2。
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

【解答题】 7.作出下述函数图象: (1) y

= x 2 ? | 2x ?1 | .

(2) y

=

1 . | x | ?1

(3) y 7. (1)

1 =| ( ) |x|?1 ? 1 | . 2
(2) (3)

B

8、 为何值 m 时 , 直 线
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l : y = ? x + m 与曲线 y = 8 ? x 2 + 1 有两个公共点?有一个公共点?无公共点?
解:作出 y ? 1 =

8 ? x 2 的图象(如图半圆)与 y = ? x + m 的图象(如图平行的直

线,将 A(?2 2 ,1) 代入 l 得 m = 1 ? 2 2 ,将 B ( 2 2 ,1) 代入 l 得 m = 1 + 2 2 ,当 l 与半 圆相切于 P 时可求得 m = 5, 则①当 1 + 2 2 ≤ m ≤ 5 时,l 与曲线 有两个公共点; ② 当 1? 2 2 ≤ m < 1+ 2 2 或

m = 5 时,有一个公共点;
③当 m < 1 ? 2 2 或 m > 5 时,无公 共点; 9、 (2003 重庆诊断题)已知函数 f(x)=m(x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. (1)求 m 的值;

1 1 1 )的图象与函数 h(x)= (x+ ) x 4 x

a 在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 4x 解: (1)设 P(x,y)为函数 h(x)图象上一点,点 P 关于 A 的对称点为 Q(x′, y′) , 则有 x′=-x,且 y′=2-y. 1 ∵点 Q(x′,y′)在 f(x)=m(x+ )上, x 1 ∴y′=m(x′+ ). x′ 1 将 x、y 代入,得 2-y=m(-x- ). x 1 1 整理,得 y=m(x+ )+2.∴m= . x 4 1 1+ a (2)∵g(x)= (x+ ) ,设 x1、x2∈(0,2] ,且 x1<x2, 4 x
(2)若 g(x)=f(x)+ 则 g(x1)-g(x2)=

x x ? (1 + a ) 1 (x1-x2) 1 2 · >0 对一切 x1、x2∈(0,2]恒成 4 x1 x 2
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立. ∴x1x2-(1+a)<0 对一切 x1、x2∈(0,2]恒成立. ∴由 1+a>x1x2,而 x1x2<4∴a≥3. 10、设函数 f ( x ) = x +

1 ( x ∈ (?∞,0) ∪ (0,+∞)) 的图象为 C1 、 C1 关于点 A(2,1) x

的对称的图象为 C 2 , C 2 对应的函数为 g (x ) , (Ⅰ)求函数 y = g (x ) 的解析式,并确 定其定义域; (Ⅱ)若直线 y = b 与 C 2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交点的坐标. (Ⅰ)设 p (u , v ) 是 y = x + 对 称 的 点 为

1 1 上任意一点,∴ v = u + ① x u

设 P 关于 A(2,1)

?u + x = 4 ?u = 4 ? x Q( x, y ),∴ ? ?? ?v + y = 2 ?v = 2 ? y









2? y = 4?x+

1 1 ? y = x?2+ 4?x x?4 1 ∴ g ( x) = x ? 2 + ( x ∈ (?∞,4) ∪ (4,+∞)); x?4

?y = b ? 2 (Ⅱ)联立 ? 1 ? x ? (b + 6)x + 4b + 9 = 0, ?y = x ? 2 + x ? 4 ? ∴ ? = (b + 6) 2 ? 4 × (4b + 9) = b 2 ? 4b = 0 ? b = 0 或 b = 4,
(1)当 b = 0 时得交点(3,0) (2)当 b = 4 时得交点(5,4). ; 【探索题】设曲线 C 的方程是 y = x 3 ? x ,将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、

s (t ≠ 0) 个单位长度后得到曲线 C1 ,
(1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; (3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s =

t s 2 2

t3 ?t 。 4

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3

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解: (1)曲线 C1 的方程为 y = ( x ? t ) ? ( x ? t ) + s ; (2)证明:在曲线 C 上任意取一点 B1 ( x1 , y1 ) ,设 B2 ( x2 , y2 ) 是 B1 关于点 A 的对称 点,则有

x1 + x2 t y1 + y2 s = , = , 2 2 2 2

∴ x1 = t ? x2 , y1 = s ? y2 代 入 曲 线 C 的 方 程 , 得 x2 , y2 的 方 程 :

s ? y2 = (t ? x2 )3 ? (t ? x2 )
即 y2 = ( x2 ? t )3 ? ( x2 ? t ) + s 可知点 B2 ( x2 , y2 ) 在曲线 C1 上。 反过来,同样证明,在曲线 C1 上的点 A 的对称点在曲线 C 上。 因此,曲线 C 与 C1 关于点 A 对称。 (3)证明:因为曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点, ∴方程组 ?

? y = x3 ? x ? 有且仅有一组解, 3 ? y = (x ? t) ? (x ? t) + s ?

消去 y ,整理得 3tx 2 ? 3t 2 x + (t 3 ? t ? s ) = 0 ,这个关于 x 的一元二次方程有且仅有 一个根, ∴ ? = 9t 4 ? 12t (t 3 ? t ? s ) = 0 ,即得 t (t 3 ? 4t ? 4 s ) = 0 , 因为 t ≠ 0 ,所以 s =

t3 ?t 。 4

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