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第十部分《电磁感应》


高三物理竞赛练习(十)
2010-08-25

电磁感应
学号 ____ 姓名 __________

【知识提要及应用】 知识提要及应用 知识提要
一、楞次定律 1、定律:感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 注意点:阻碍“变化”而非阻碍原磁场本身;两个磁场的存在。 2、能量实质:发电结果总是阻

碍发电过程本身——能量守恒决定了楞次定律的必然结果。 【题 1】在图 10-1 所示的装置中,令变阻器 R 的触头向左移动,判断移动过程中线圈的感应电 流的方向。

使用法拉第电磁感应定律)—— ①直导体平动,L⊥B ,L⊥v ,但 v 与 B 夹α角(如图 10-5 所示) ,则ε= BLvsinα; ②直导体平动,v⊥B ,L⊥B ,但 v 与 L 夹β角(如图 10-6 所示) ,则ε= BLvsinβ; 推论:弯曲导体平动,端点始末连线为 L ,v⊥B ,L⊥B ,但 v 与 L 夹γ角(如图 10-7 所示) ,则ε= BLvsinγ;

【题 1】 【解说】法一:按部就班应用楞次定律; 法二:应用“发电结果总是阻碍发电过程本身” 。由“反抗磁通增大”→线 圈必然逆时针转动→力矩方向反推感应电流方向。
【题 2】如图 10-2 所示,在匀强磁场中,有圆形的弹簧线圈。试问:当 磁感应强度逐渐减小时,线圈会扩张还是会收缩? =

③直导体转动,转轴平行 B、垂直 L、且过导体的端点,角速度为ω(如图 10-8 所示) ,则ε
1 BωL2 ; 2

推论:直导体转动,转轴平行 B、垂直 L、但不过导体的端点(和导体一端相距 s) ,角速度 为ω (如图 10-9 所示) 则ε1 = BLω(s + , (s +
L ? 2s )(轴在导体内部) ; 2 L 1 ) 轴在导体外部) ε2 = Bω(L2-2s) = B(L-2s) ω ( 、 2 2

【题 2】 【解说】解题途径一:根据楞次定律之“发电结果总是阻碍发电 过程本身” ,可以判断线圈应该“反抗磁通的减小” ,故应该扩张。
二、法拉第电磁感应定律 1、定律:闭合线圈的感应电动势和穿过此线圈的磁通量的变化率成正比。 即 ε= N
?φ ?t ?φ 有瞬时变化率和平均变化率之分,在定律中的ε分别对应瞬时电 ?t ?φ 对应图线切线的斜率。 ?t

④直导体转动,转轴平行 B、和 L 成一般夹角θ、且过导体的端点,角速度为ω(如图 10-9 所示) ,则ε=
1 BωL2sin2θ ; 2

物理意义:N 为线圈匝数; 动势和平均电动势。

图象意义:在φ-t 图象中,瞬时变化率

2、动生电动势 a、磁感应强度不变而因闭合回路的整体或局部运动形成的电动势成为动生电动势。 b、动生电动势的计算 在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,当长为 L 的导体棒一速度 v 平动切割磁感线,且 B、L、v 两两垂直时,ε= BLv ,电势的高低由“右手定则”判断。这个结论的推导有两种途径—— ①设置辅助回路,应用法拉第电磁感应定律; ②导体内部洛仑兹力与电场力平衡。导体两端形成固定电势差后,导体内部将形成电场,且 自由电子不在移动,此时,对于不在定向移动的电子而言,洛仑兹力 f 和电场力 F 平衡,即 F = f 即 qE = qvB 而导体内部可以看成匀强电场,即
ε =E L

推论:弯曲导体(始末端连线为 L)转动,转轴转轴平行 B、和 L 成一般夹角θ、且过导体的 端点,角速度为ω(如图 10-10 所示) ,则ε=
1 BωL2sin2θ。 2

统一的结论:种种事实表明,动生电动势可以这样寻求——即ε= BLv ,而 B、L、v 应彼此垂 直的(分)量。 【题 3】面积为 S 的圆形(或任何形)线圈绕平行环面且垂直磁场的 轴匀速转动。已知匀强磁场的磁感应强度为 B ,线圈转速为ω,试求: 线圈转至图 19-4 所示位置的瞬时电动势和从图示位置开始转过 90°过程 的平均电动势。

所以ε= BLv

当导体有转动,或 B、L、v 并不两两垂直时,我们可以分以下四种情况讨论(结论推导时建议

【题 3】 【解说】 本题是法拉第电磁感应定律的基本应用。 求瞬时电动势时用到极限 lim x →0 求平均电动势比较容易。 【答案】BSω ;
2 BSω π

sin x =1 x



由 ε 总 = πr2
E=
kr 2

ε ?B 和 E= 总 得 ?t 2πr



【题 4】一根长为 L 的直导体,绕过端点的、垂直匀强磁场的转轴匀 角速转动,而导体和转轴夹θ角,已知磁感应强度 B 和导体的角速度ω , 试求导体在图 10-11 所示瞬间的动生电动势。

显然,撤去假想回路,此电场依然存在。 (2)外部情形求解。思路类同(1) ,只是外部“假想回路” 的磁通量不随“回路”的半径增大而改变,即 φ=πR2B 由 ε 总 = πR2 E=
kR 2 2r
?B ?t

【题 4】 【解说】略。 (这个导体产生的感应电动势不是恒定不变的, 而是一个交变电动势。 ) 【答案】ε=
1 4

和 E′= (r>R)

ε总 2πr



BωL2sin2θ 。

三、感生电动势 造成回路磁通量改变的情形有两种:磁感应强度 B 不变回路面积 S 改 变(部分导体切割磁感线) ;回路面积 S 不变而磁感应强度 B 改变。前一种叫动生电动势,后一种 叫感生电动势。 感生电动势的形成通常是用麦克斯韦的涡旋电磁理论解释的。 1、概念与意义 根据麦克斯韦电磁场的理论,变化的磁场激发(涡旋)电场。涡旋电场力作用于单位电荷,使 之运动一周所做的功,叫感生电动势,即 ε感 = 2、感生电动势的求法 感生电动势的严谨求法是求法拉第电磁感应定律的微分方程(*即 ∫ E 感 ? d l = - ∫∫ ? dS ) 。在一 L S ?t 般的情形下,解这个方程有一定的难度。但是, 性解体则可以是问题简化。 【题 5】半径为 R 的无限长螺线管,其电流随时间均匀增加时,其内部的磁感应强度也随时间均匀 增加,由于“无限长”的原因,其外部的有限空间内可以认为磁感应强度恒为零。设内部 试求解管内、外部空间的感生电场。
?B =k , ?t
v v
W涡 q

【答案】感生电场线是以螺线管轴心为圆心的同心圆,具体涡旋方向服从楞次定律。感生电场 强度的大小规律可以用图 10-12 表达。
四、电势、电流、能量和电量 电势、电流、 1、只要感应电路闭合,将会形成感应电流,进而导致能量的转化。关于感应电路的电流、能 量和电量的计算, 可以借助 《稳恒电流》 一章中闭合电路欧姆定律的知识。 但是, 在处理什么是 “外 电路” 、什么是“内电路”的问题上,常常需要不同寻常的眼光。我们这里分两种情形归纳—— 如果发电是“动生”的,内电路就是(切割)运动部分; 如果发电是“感生”的,内、外电路很难分清,需要具体问题具体分析,并适当运用等效思想。 (内电路中的电动势分布还可能不均匀。 ) 2、受中学阶段数学工具的制约,在精确解不可求的情况下,将物理过程近似处理,或在解题 过程中做近似处理常常是必要的。 【题 6】如图 10-15 所示,均匀导体做成的半径为 R 的Φ形环,内套半径为 R/2 的无限长螺线 管,其内部的均匀磁场随时间正比例地增大,B = kt ,试求导体环直径两端 M、N 的电势差 UMN 。

v ?B

v

v ?B 具有相对涡旋中心的轴对称性,根据这种对称 ?t

【题 6】 【解说】 将图 10-15 中的左、 右三段导体分别标示为 1、 3 , 中、 2、 它们均为电源,电动势分别为—— ε1 =
1 kR2(π-arctg2) 2 = ,ε 4

ε3 =

1 kR2 arctg2 4

【题 5】 【解说】将 B 值变化等效为磁感线变密或变疏,并假定 B 线不能凭空产生和消失。在将 B 值增加等效为 B 线向“中心”会聚(运动) 值减小等效为 B 线背离“中心”扩散(运动) 、B 。 (1)内部情形求解。设想一个以“中心”为圆心且垂直 B 线的圆形回路,半径为 r ,根据运 动的相对性,B 线的会聚运动和导体向外“切割”B 线是一样的。而且,导体的每一段切割的“速 度”都相同,因此,电动势也相等。根据 E = 线是曲线,而且是闭合的) 。
?U 知,回路上各处的电场强度应相等(只不过电场 ?d

设导体单位长度电阻为λ,三“电源”的内阻分别为—— r1 = r3 =πλR ,r2 = 2λR 应用楞次定律判断电动势的方向后,不难得出它们的连接方式如图 10-16 所示。 然后,我们用戴维南定理解图 10-16 中的电流 I , 最后 UMN = Ir1 -ε1 =
ε3 r2 r1 + ε3r3r1 + ε1r 2 r3 = r1r2 + r2 r3 + r3r1



2、自感电动势:自感现象中产生的电动势ε自 = -L

?I ?t Φ ,*对长直螺线管,L =μn2V I

L 为自感系数,简称自感或电感。对于 N 匝闭合回路,L = N (其中 V 为螺线管体积;若无铁芯,μ减小为μ0) 。 值得注意的是,随着 L 、

?I 的增大,ε自可以很大,但是自感电流却不会随之增大,定量的计 ?t

【答案】UMN =

1 kR2(arctg2 4



4+π 2π

) 。

【题 7】在图 10-17 所示的装置中,重 G = 0.50N、宽 L = 20cm 的 П 型导体置于水银槽中,空 间存在区域很窄(恰好覆盖住导体)的、磁感应强度 B = 2.0T 的匀强 磁场。现将开关 K 合上后,导体立即跳离水银槽,且跳起的最大高度 h = 3.2cm ,重力加速度 g = 10m/s2 ,忽略电源内阻。 (1) 若通电时间 t = 0.01s , 忽略导体加速过程产生的感应电动势, 求通电过程流过导体的电量; (2)如果回路外总电阻 R = 0.10Ω,则导体重回水银槽瞬间,消 耗在回路中的电功率是多少?

算(解微分方程)表明,自感电流只会在初始电流的基础上呈指数函数减小。 ...................... 【题 8】在图 10-18 所示的电路中,ε= 12V,r = 1.0Ω,R1 = 2.0Ω,R2 = 9.0Ω,R3 = 15Ω,L = 2.0H 。现让 K 先与 A 接通,然后迅速拨至 B ,求自感线圈上可 产生的最大自感电动势。

【题 8】 【解说】如果选择定义式求解,

?I 不知,故这里只能根 ?t

据自感电流的变化规律解题。 在不做特别说明的情况下,忽略 L 的直流电阻。K 接 A 时,L 上 的稳恒电流 I = 1.0A;K 接 B 后,将 L 视为电动势为ε自的电源,
i=
ε自 R2 + R3

【题 7】 【解说】解第(1)问时,本来因为导体运动而形成的反电 动势(感应电动势)是存在的,这里只能忽略;磁场又是仅仅覆盖住导体的,这就意味着导体棒跳 离水银槽后可以认为是竖直上抛运动。 对上抛过程,v0 = 2gh 对导体离开水银槽过程, F -G)t = mv0 ( 综合以上两式,即 BLq - Gt = m 2gh ,由此可解 q 。 如果说第(1)问的近似处理重在过程的话,第(2)则在解题的规律运用上也不得不运用一些 令人难以接受的“近似处理”—— P=
(ε + ε 感 2 ) R

i 取极大值 I 时(K 接 B 后的初始时刻) ,ε自极大。 【答案】24V 。
六、互感与变压器 1、互感:两线圈靠近放置,当 1 中有变化电流时,2 中会感应出电流,若 2 中的感应电流仍是变 化的,则它又会激发磁场并在 1 中形成电磁感应,这种显现称为互感。 互感电动势:ε12 = -M
?I1 ?I ,ε21 = -M 2 ?t ?t

,其中 M 为互感系数。

(起跳时不计感应电动势,进入水银槽,又没有忽略ε感)

其中 ε感 = BLv0 ε则只有追寻到导体离开的过程,ε= I R = R (这里的问题就大了, I 是电流对时间的平均 值,而在 P =
) (ε + ε 感 2 R q t

2、变压器:两个(或多个)有互感耦合的静止线圈的组合叫变压器。 接电源的线圈叫原线圈,接负载的叫副线圈。 理想变压器:无铜损(导线焦耳热) 、铁损(涡流能 耗) 、磁损(漏磁通) ,空载电流无穷小的变压器,即 P 入 = P 出 。 对于原、副线圈一对一的理想变压器,有 u1 = -ε1 = -(-n1
?Φ1 ) ?t

中的ε应该取方均根值〈即交流电的“有效值” 〉才是严谨的!但是,在这
u2 = ε2 = -n2 ?Φ 2
?t

里求有效值几乎是不可能的,因此也就只能勉为其难了。 ) 【答案】 (1)电量为 0.1125C ; (2)瞬时电功率为 20.88W 。
五、自感 1、自感现象:电路中因自身电流变化而引起感应电动势的现象。

即原、副线圈电压瞬时值 但有效值
U1 n = 1 U2 n2

u1 u2

= -

n1 n2 I1 I2

联系功率关系,可得

=

n2 n1


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