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四川省绵阳南山实验高中2015届高三数学一诊模拟考试试题 理


绵阳市“一诊”模拟考试试题 理科数学
本试卷分 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工

整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效。 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 ) 1.集合

M ? ??2,0,1, 2?



N ? ? x 2 x ? 1 ? 1?

,则 N ? M =(

)

A.{-2,1,2} B.{0,2}

C.{-2,2} D.[-2,2]

? ? b ? ? x,3? a a 2.已知 =(2,1), ,且 // b ,则 x 的值为( )
A.2 B.1 C.3 D.6

a11 ? a13 1 ? 3 a , a , 2 a 1 3 2 an ? ? a ? a 2 8 10 3.在各项均为正数的等比数列 中, 成等差数列,则 ( )
A. ?1 或 3 B.3 C.1 或 27 )
2

D.27

4.下列说法错误的是 (
2

A.若 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;

sin ? ?
B.“

1 2 ”是“ ? ? 30 ”的充分不必要条件;

C.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”;
2 p ? ?q ”为假命题. D.若 p : ?x ? R, cos x ? 1 , q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则“

y ? cos( 2 x ?
5.为了得到函数

?

) 3 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( 5? B.向右平移 12 个单位



5? A.向左平移 12 个单位

-1-

5? C.向左平移 6 个单位

5? D.向右平移 6 个单位

f ? f ( x) ? e x ? ? ? e ? 1( e 6.设 x ? R ,若函数 f ( x ) 为单调递增函数,且对任意实数 x ,都有 ?
是自然对数的底数) ,则 f (ln 2) 的值等于( A. 1 B. e ? 1 C.3 D. e ? 3 )

?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ? ?2 x ? y ? 5 ? 0 ? x, y 满足约束条件 ? x ? 0 7.若实数 ,则函数 z ?| x ? y ? 1| 的最小值是( )
8 C. 3
若 a, b, c 互不相等,且 C.[2,2015] 满足

A.0 8. 已知函数

B.4

7 D. 2

f ? x? ?

?

sin ? x ,0? x ?1 log 2014 x , x ?1

f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ?
D.(2,2015) ,且函数

, 则 a ? b ? c 的取

值范围是( ). A.(1,2014) B.(1,2015) 9.已知定义为 R 的函数 递增.如果

f ? x?

f ? ? x ? ? ? f ? x ? 4?

f ? x?

在区间

? 2, ??? 上单调

x1 ? 2 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 4 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的值(
B.恒大于 0 的导函数为 C.可能为 0 D.可正可负



A. 恒小于 0 10.设函数

f ? x?

f ' ? x?

,对任意 x ? R 都有

f ' ? x? ? f ? x?

成立,则(



A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

? 2, 4 ? ,则 m = 11.幂函数 y ? (m ? 3m ? 3) x 过点
2 m

. .

log3 6 ? log3 2 ? 4 2 ? 3log3 4 的结果为 12. 计算
?

1

13 已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上,

BC ? 3BE , DC ? ? DF . 若 AE ? AF ? 1 ,则 ? 的值为

.

x, y ? R ? , x 2 ?
14.已知

1 y2 x 1? y2 ?1 2 2 ,则 的最大值为

.
-2 -

15.已知

A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?? x1 ? x2 ?

是函数

f ? x ? ? x3 ? x

图象上的两个不同点, 且在 A, B

x2 x 两点处的切线互相平行,则 1 的取值范围为

.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

? ?? ? ? ? ? ?? ? ? f ? x ? ? 2cos ? x ? ? ?sin ? x ? ? ? 3 cos ? x ? ? ? 3 ?? ? 3? 3 ?? . ? ? 已知函数
(Ⅰ)求

f ? x?

的值域和最小正周期;

? ?? x ? ?0, ? ? ? ? 6 ? ,使得 m ? f ? x ? ? 3 ? ? 2 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)若对任意

17.(本小题满分 12 分) 设公差不为 0 的等差数列 (Ⅰ)求数列

?an ? 的首项为 1,且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

?an ? 的通项公式;

b b1 b2 1 ? ? ... ? n ? 1 ? n ?b ? a a2 an 2 , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn (Ⅱ)若数列 n 满足 1

18. (本小题满分 12 分)

f ( x) ? 3 sin(? x ? ? )(? ? 0, ?
已知函数

?
2

?? ?

?

2 的图像关于直线

)

x?

?
3 对称,且图像上
-3-

相邻两个最高点的距离为 ? . (I)求 ? 和 ? 的值;

? 2? 3? ? 3 ?? ? cos(? ? ) f( )? 3 ),求 2 的值. 2 4 ,( 6 (II)若
19. (本小题满分 12 分)

?a ? 已知二次函数 f ( x) ? Ax ? Bx( A ? 0), f (1) ? 3, 其图象关于 x ? ?1 对称, 数列 n 的前 n 项
2

? n, S n ? ? n ? N ? 均在 y ? f ( x) 图象上. S 和为 n ,点
*

(Ⅰ)求数列

?an ? 的通项公式,并求 Sn 的最小值;
bn ? 1 1 1 3 1 ? ? Tn ? ? Sn , ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: 3 4n 4 n?3 .

(Ⅱ)数列

?bn ? ,

20. (本小题满分 13 分)

f ( x) ?
设函数

1? a 2 x ? ax ? ln x 2 (a?R) .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? R 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若对任意 a ? (2,3) 及任意 数 m 的取值范围.

x1 , x2 ? ?1,2?,恒有 ma ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ln x ? mx(m ? R) .
-4-

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 过点 P(1, ?1) ,求曲线在 P 点处的切线方程;

?1, e? 上的最大值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间
x ,x x x ?e . (Ⅲ)若函数 f ( x ) 有两个不同的零点 1 2 ,求证 1 2
2

绵阳南山中学. 南山中学实验学校 绵阳市“一诊”模拟考试试题 理科数学参考答案 一、CDDBA CADAB 二、填空题

11.2

3 12. -1 13.2 14. 8

2
15.(-1,0)

三、解答题

? π? ? π? ? π? 16.解: (1)f(x)=2sin?x+ ?cos?x+ ?-2 3cos2?x+ ? 3 3 3? ? ? ? ? ?
2π ? 2π ? ? ? ? ? =sin?2x+ ?- 3?cos?2x+ ?+1? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 2π ? 2π ? ? ? =sin?2x+ ?- 3cos?2x+ ?- 3 3 ? 3 ? ? ? π? ? =2sin?2x+ ?- 3. 3? ? π? ? ∵-1≤sin?2x+ ?≤1. 3? ? π? 2π ? ∴-2- 3≤2sin?2x+ ?- 3≤2- 3,T= =π , 3 2 ? ? 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π . π ?π 2π ? ? π? (2)当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?, 6? 3 ? 3 ?3 ? π? ? 3 ? ? 故 sin?2x+ ?∈? ,1?, 3? ? 2 ? ? π? ? 此时 f(x)+ 3=2sin?2x+ ?∈[ 3,2]. 3? ? 2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=- , m 2 即 3≤- ≤2, m 2 ? ?m+ 3≤0, 即? 2 ? ?m+2≥0,

2 3 ? 2 3 ? 解得- ≤m≤-1.即实数 m 的取值范围是?- ,-1?. 3 ? 3 ?

-5-

17.解: (I)设等差数列

?an ? 的公差为 d,(d ?

0 ),则

a2 ,a5 ,a14 构成等比数列,? a2a14 ? a52 ,即(1 ? 4d )2 ? (1 ? d )) 1 ? 13d )
a ? 1+2(n-1)=2n-1 ??????.3 分 解得 d=0(舍去)或 d=2, ? n
b1 b2 b ? ? ... ? n ? 1 ? 1 a a2 an 2n ( n ? N * ) (II)由已知 1
b1 1 a 当 n=1 时, 1 = 2 ;

bn ? 1 ? 1 ?(1 ? 1 ) 1 a 2n ) 2n ?1 = 2n , 当 n ? 2 时, n ( bn ? 1 * ? a n = 2n , (n ? N )

由(I) ,

an ? 2n-1( n ? N ) ,?
*

bn ?

2n ? 1 2n ( n ? N * )????7 分

Tn ?

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 1 2 2 2 2n

1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 2 2 2 2 2
两式相减得

1 1 2 2 2 2 2n ? 1 Tn ? ? ( 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 , 3 1 2n ? 1 ? n ?1 ? 2 2n ?1 , =2
18.解: (I)

3? ? Tn ?

2n ? 3 2n

?????.12 分

2π π π T π π π ?ω = 2 ? x = 为对称轴∴ f ( - ) = f ( ) = 0,且 - ≤ φ< |ω| 3 3 4 12 2 2 π π π π ∴ f(x)= 3 sin 2( x - ) = 3 sin(2 x - ),φ = - .所以, ω = 2,φ = 12 6 6 6 ?由题可知,周期 T = π ∴T =
??????????.5 分 (II)

-6-

α 3 π 3 π 1 ? f ( )= ∴ 3 sin(α - ) = ,即sin(α - ) = 2 4 6 4 6 4 3π π π π 3 π 1 ? cos(α + ) = sin α = sin[(α - ) + ] = sin(α - ) ? + cos(α - ) ? 2 6 6 6 2 6 2 π 2π π π π 15 ? < α < ∴0 < α - < , cos(α - ) = . 6 3 6 2 6 4 3π 1 3 15 1 3 + 15 3π 3 + 15 ∴ cos(α + ) = ? + ? = .所以, cos(α + ) = 2 4 2 4 2 8 2 8
????????12 分

f(1) ? A ? B ? 3,?
19.解: (1)

B ? ?1 2A ,
?????..1 分

2 ? A ? 1,B ? 2,,f(x ) ? x ? 2x



? n, S n ? ? n ? N * ? 均在 y=f(x)图象上,? Sn

? n 2 ? 2n ①??????..2 分

S n ?1 ? (n ? 1)2 ? 2 (n ? 1)( n ? 2 )②
①-②得 又

S n ? S n ?1 ? 2n ? 1 ,即 an =2n+1 ( n ? 2 )?????????.4 分,

a1 ? s1 ? 3 ?????5 分

? an =2n+1( n ? N * ) ??????6 分

(2)

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 ???????.7 分 n ? 2n
2

Tn ?

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 2 3 2 4 n n ?2 ]

1 1 1 1 3 1 1 1 [(1 ? ? ? )] ? ( ? ) 2 n ? 1 n ? 2 = 4 2 n ? 1 n ? 2 ???9 分 =2 3 1 3 1 1 1 ? ? ? ( ? ) n ?3 4 2 n ?1 n ?2 即证 4 2 1 1 ?( ? ) n ?1 n ?2 , 即证 n ? 3
1 1 1 1 ? , ? n ? 3 n ? 1 n ? 3 n ? 2 ,所以右边成立??..10 分,

-7-



Tn 随 n 的增大而增大,

Tn ? T1 ?

1 1 1 ? ? 3 3 4n ,左边成立????..11 分
1 x ?1 ? . x x

所以,原不等式成立 . ?????????.12 分 20.解: (Ⅰ)函数的定义域为 (0, ? ?) ,当 a ? 1 时,

f ( x) ? x ? ln x, f '( x) ? 1 ?

令 f '( x) ? 0, 得x ? 1. ,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,? f ( x)在(0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增, (

? f ( x)极小值 ? f (1) ? 1


,无极大值 ;?? 4 分 )

f'

?

1 x

?a

2

(x

?

(

x ? x

)

a

?

?

( ?a

1 a ?1 x

1
??????5 分

x?

)

x?

x ? 1 ? 0 , f(x )在(0,1)单减,(1,??)单增; ① a ? 1 时,(1 ? a )
1 1 1 ? 1 (1, ) ( ,??) ② 1 ? a ? 2 时, a ? 1 ,f (x )在(0,1)单增,在 a ? 1 单减, a ? 1 单增;

( x ? 1)2 1 1 ?1 ?1 f '( x) ? ? ? 0, f ( x)在(0, ??) x ③当 a ? 1 即 a ? 2 时, 上是减函数;④当 a ? 1 ,
a?2 时 , 令
f ' x( ? ) ,0 得

0? x?



1 或x ? 1 a ?1 , 令

f '( x) ? 0 , 得

1 ? x ?1 a ?1

?????9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (2,3) 时, f ( x)在[1, 2] 上单调递减,当 x ? 1 时, f ( x ) 有最大值,

当 x ? 2 时 , f ( x) 有 最 小 值 ,

?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (1) ? f (2) ?

a 3 ? ? ln 2 2 2 ,

? ma ? ln 2 ?

a 3 ? ? ln 2 2 2 ,

而 a ? 0 经整理得

m?

1 3 1 1 3 ? 由2 ? a ? 3得 ? ? ? ? 0, ? m ? 0 .??13 分 2 2a 4 2 2a

-8-

21.解: (1)因为点 P(1,-1)在曲线上,所以 f(1)=-1,得 m=1

f /(x ) ?

1

x

?1 1

,? f (1)=0,故切线方程为 y=-1. ??3 分

/

f /(x ) ?
(2)

x

?m
=

1 ? mx

x

/ f(x )max =f(e)=1-me; ①当 m ? 0 时, x ? (1,e ); x ? (1,e ), f (x )>0, f (x )单增,

1
② 当m

?e
, 即

0 ? m ? 1
时,即 e

1
/ f(x )max =f(e)=1-me; e 时,x ? (1,e ),f (x )>0, f(x )单增,

1 ?
③ 当

1

m

? e

?

1

m

? 1

时, x ? (1,e ), f (x )在

1 (1, )

m 单增,在 m

(

1

,e )


1 f( ) f(x )max = m = ? ln m ? 1 减, 1
④当 m

? 1

/ f(x )max = f(1)=-m 即 m ? 1 时, x ? (1,e ), f (x ) ? 0 , f (x )单减,

? f (x )在[1,e]上的最大值 f(x )max =

????????????8 分 (3)不妨设

x1 ? x 2 ? 0 , f(x1 ) ? f(x 2 ) ? 0 ,? ln x1 ? mx1 ? 0 ,

ln x 2 ? mx 2 ? 0,ln x1 ? ln x 2 ? m(x1 ? x 2 ), ln x1 ? ln x 2 ? m(x1 ? x 2 ),
要证

x1x 2 ? e 2 , 即 证 ln x1 ? ln x 2 ? 2 , 即 证 m(x1 ? x 2 ) ? 2 , ???10 分
ln x1 ? ln x 2 x1 ? x 2
2 (

m ?

, 即证

ln x1 ? ln x 2 2 ? x1 ? x 2 x1 ? x 2

, 即证

ln x1 ? ln x 2

?

2(x 1 ? x 2)

x1 ? x 2



x1 ? 1) x1 x2 ln ? x x2 1? 1 x 2 ,?????12 分 即证

-9-

x1 t ?1 t ?1 ln t ? ?(t ) ? ln t ? x t ? 1, t ? 1, 令 2 =t,则t ? 1 ,即证
4 (t ? 1)2 ? ? ? 0 / t )在(1,??)单增,? ?(t ) ? ?(1)=0, t ) ? t (t ? 1)2 t(t ? 1)2 则? ( ,函数 ?( ? 原不等式成立. ????????14 分 1

- 10 -


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