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湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试数学(文)试题(含解析)


黄冈中学 湖北省 孝感高中

2013 届高三上学期期末联合考试

文 科 数 学
一、选择题:大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

? x ?1 ? 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? 0 ? , B ? x x ≥1 ,

则集合 x x ≤ 0 等于() x ? ?

?

?

?

?

A. A ? B 【答案】 :D

B. A ? B C. ? ? A ? B ? D. ? ? A ? B ? U U

【提示】 A ? x 0 ? x ? 1 , B ? x x ≥1 ,则 x x ≤ 0 ? ? ? A ? B ? . : U

?

?

?

?

?

?

?1? i ? 2.已知 i 是虚数单位,则 ? ? ?1? i ?
A. i B. ?i C. 1 D. ?1 【答案】 :A 【提示】 :

2013

的值是()

1? i ? i ,而 i1 ? i, i 2 ? ?1, i 3 ? ?i, i 4 ? 1 ,即 i n 的值是以 4 为周期出现的,故 1? i
?1? i ? ?1? i ? ? ?
2013

? i1 ? i

∶ 10 3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是 8 7∶ ,用分层抽样的方法从三个年
级抽取学生到剧院观看演出,已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多 2 人,则高三观 看演出的人数为() A.14B.16 C.20D.25 【答案】 :C 【提示】 :高三年级观看演出的人数为

2 ?10 ? 20 . 8?7

4.已知命题 p : ?x ? R ,使 2 x ? 2 ? x ? 1 ;命题 q : ?x ? R ,都有 lg x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .下列结 论中正确的是() A.命题“ p ? q ”是真命题 B.命题“ p ??q ”是真命题 C.命题“ ?p ? q ”是真命题 【答案】 :C D.命题“ ?p ? ?q ”是假命题

?

?

【提示】 :由判断有: p 假 q 真,故命题“ ?p ? q ”是真命题. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5. 已知平面向量 a 、b 满足 a ? 2 , b ? 1 , 2a ? 5b 与 a ? b 垂直, a 与 b 的夹角是 且 则 () A.

?
4

B.

?
3

C.

?
2

D.

2? 3

【答案】 :B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】 :由 2a ? 5b 与 a ? b 垂直得: 2a ? 5b ? a ? b ? 0 ,即 a ? b ? 1 ,

?

??

?

? ? ? ? a ?b 1 ? ? ? 故 cos<a , b >= ? ? ? , <a , b >= . 3 a b 2
6.已知 a ? R , x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,则“ a ≤ 8 ”是“

1 4 ? ≥ a 恒成立”的() x y

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 :A

1 ? ?x ? 3 ?1 4? 1 4 y 4x ? 【提示】 :当 x ? y ? 1 时, ? ? ? x ? y ? ? ? ? ? 5 ? ? 时 ≥ 5 ? 2 4 ? 9 ,当 ? x y x y ?x y? ?y ? 2 ? 3 ?
取等号,因此,

1 4 ? ≥ a 恒成立 ? a ≤ 9 ,而 ?a a ≤8? ? ?a a ≤9? , x y 1 4 ? ≥ a 恒成立”的充分不必要条件. x y

故“ a ≤ 8 ”是“

7. 过点 M ?1, 2 ? 的直线 l 与圆 C: x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 交于 A、 两点, 为圆心, ?ACB B C 当 ( 最小时,直线 l 的方程是() A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 3 ? 0 【答案】 :C 【提示】 :当且仅当 AB 最小时 ?ADB 最小,而此时直线 AB 与直线 MC 垂直,直线 MC 的 斜率为 1,则求得直线 l 的方程是 x ? y ? 3 ? 0 . 8.定义在 D 上的函数 f ? x ? ,如果满足:对 ?x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x) |≤ M 成 立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数.则下列定义在 R 上的函数中,不是有界函数的是 () A. f ? x ? ? sinx2 B. f ? x ? ?

1 x2 ? 1

C. f ? x ? ? ?2 【答案】 :D

1? x

D. f ? x ? ? ?log2 x ? 1

?

?

【提示】 :对于 A: f ? x ? ≤1 ;对于 B: f ? x ? ≤1 ;对于 C: f ? x ? ≤ 2 ;对于 D:

f ? x ? ? log2 ? x ? 1? ≥ 0 ,故 f ? x ? ? ?log2 ? x ? 1? 为无界函数.
9.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,都有点 ? an?1 , Sn ? 在直线

?? ? 2 x ? y ? 2 ? 0 上.若数列 ? S n ? ? n ? n ? 为等差数列,则 λ 的值为() 2 ? ? 1 1 A. B. ? C.2 D. ?2 2 2
【答案】 :C 【提示】 :由题意可得: 2an?1 ? S n ? 2 ? 0. ① 当 n ≥ 2 时, 2an ? S n?1 ? 2 ? 0. ② ①─②得: 2an?1 ? 2an ? an ? 0 ? ∴ ?an ? 是首项为1 ,公比为

1 an?1 1 ? ?n ? 2? ,? a1 ? 1, 2a2 ? a1 ? 2 ? a2 ? , 2 an 2
n ?1

1 ?1? 的等比数列,∴ an ? ? ? 2 ?2?

.

1 2n ? 2 ? 1 ,则 S ? ?n ? ? ? 2 ? 1 ? ?n ? ? ? 2 ? ?n ? ? ? 2 , 解法一: S n ? n 1 2n ?1 2n 2n?1 2n 2n 1? 2 3 9? ? ?2 3? 7 25? 记 bn ? 2 ? ? n ? n ,则 b1 ? 1 ? , b2 ? ? , b3 ? ? , 2 4 2 4 8 2 ? 3 9? ? ? 3? ? ? 7 25 ? ? 则 b1 , b2 , b3 成等差数列,即 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? 4 ? 8 ? , ?2 4 ? ? ? ? ? 1?
解得 ? ? 2 ,当 ? ? 2 时, S n ? 2n ?

? ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ? n ? 成等差数列. ? ? 2 ? ?
1?

2 ? 2n ? 2 ,显然 ?2n ? 2? 成等差数列,故存在实数 2n

1 2n ? 2 ? 1 , S ? ?n ? ? ? 2 ? 1 ? ?n ? ? ? 2 ? ?n ? ? ? 2 , 解法二: S n ? n 1 2n ?1 2n 2n?1 2n 2n 1? 2

? 成等差数列,只须 ? ? 2 ? 0 , ? ? 2 便可,故存在实数 ? ? 2 ,使 2n ? ?? ? 得数列 ?S n ? ?n ? n ? 成等差数列. 2 ? ?
欲使 ?S n ? ? ? n ?

? ?

??

? 2? x ? 2, x ? ? ??,0 ? ? 10.规定 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, f ? x ? ? ? ,若方程 f ? x ? ? ax ? 1 ? x ? ? x ? , x ? ? 0, ?? ? ?

有且仅有四个实数根,则实数 a 的取值范围是()

1? ? ? 1 1? A. ? ?1, ? ? B. ? ? , ? ? 2? ? 2 3? ?
【答案】 :B

? 1 1? C. ? ? , ? ? ? 3 4?

? 1 1? D. ? ? , ? ? ? 4 5?

【提示】当 x??0, ?? ? 时,f ? x ? 是以 1 为周期的函数, f ? x ? ? x ? k , x ??k , k ? 1?? k ? N ? , : 且 故图像为 y

1 O

。。。。。
1 2 3 4 5 x

。 -1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

?x ? y ≤ 4 ? 11.若变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2 ,则目标函数 ? x ≥1 ?
z ? 2 x ? y 的最小值是.
【答案】 :1 【提示】 :如图,在 A(1, ?1) 处目标函数达到最小值 1. 12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.

4
正视图 侧视图

4

4

4

俯视图 【答案】 :

64 3

【提示】 :由三视图知,直观图如图所示:

1 1 64 V ? ? ? 4?8? 4 ? . 3 2 3
13.已知如图所示的程序框图,当输入 n ? 99 时,输出 S 的值是. 【答案】 :

99 100 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100
开始

【提示】 :由程序框图有: S ?

1 1 1 1 1 99 ? 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? . 2 2 3 99 100 100
14.已知圆 M : x2 ? y 2 = 4 ,在圆 M 上随机取一点 P ,则 P 到直 线 x ? y ? 2 的距离大于 2 2 的概率为. 【答案】 :

输入 n
S ?0
i ?1
1 i ? i ? 1?

1 4
2 1?1 ? 2 ,故

i ? i ?1


S?S?

i≥ n?
是 输出 S 结束

【提示】 :由计算得 O 到直线 x ? y ? 2 的距离为

到直线 x ? y ? 2 距离为 2 2 的点在直线 x ? y ? 2 关于原点对称 的直线 x ? y ? ?2 上,故概率是 .

1 4

?? ? 15.已知函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ,它的图像的相邻两条对称轴之间的距离 2? ?


?
2

,当函数 f ? x ? 的图像向右平移

?
6

个单位时,得到函数 g ? x ? 的图像,并且 g ? x ? 是奇函

数,则 ? ? . 【答案】 :

? 3

【提示】 T ? 2 ? :

?
2

? ? ,则 ? ?

2? ? 2 ,所以 f ? x ? ? 2sin ? 2x ? ? ? ,故 g ?x ? ? f T

?? ? x ? ? 6? ? ?

? ? ?? ? ?? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? ,结合 g ? x ? 是奇函数有:? ? ? k? ? k ? Z ? ,解 6? 3? 3 ? ? ? ?
得: ? ?

? . 3

16.已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F,准线为 l ,经过 F 且斜率为 k ? k ? 0? 的直线与 抛物线交于 A 、 B 两点(点 A 在 x 轴的上方) ,与准线交于 C 点,若 BC ? 2 BF ,且

AF ? 8 ,则 p ? .
【答案】 :4

【提示】 :作 BD ? l , AE ? l , FM ? AE ,则

y E l O D M A F B x

BD ? BF , AF ? AE ? 8 ,故在 Rt? BCD中,
sin?BCD ? BD 1 ? ? , ?BCD ? ,所以 BC 2 6

?AFM ?

?
6

, AM ? 4 , EM ? 4 ,故 p ? 4.

17.已知数列 ?an ? 、 ?bn ? ,且通项公式分别为

an ? 3n ? 2 , bn ? n2 ,现抽出数列 ?an ? 、 ?bn ? 中
所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新 的数列 ?cn ? ,则可以推断: (1) c50 ? (填数字) ; (2) c2 k ?1 ? (用 k 表示) . 【答案】(1) 5476 ; : (2) c2k ?1 ? ?3k ? 2? .
2

C

?? n ? 1 ?2 ? 2 ? , n为奇数 ?? 3 ? 2 ?? ? 【提示】 cn ? ? : 2 ?? n ? , n为偶数 ?? 3 ? 2 ? 1? ? ??
2 ? 50 ? ? 2k ? ? 2 ? ? ? 3k ? 2 ? . (1) c50 ? ? 3 ? ? 1? ? 742 ? 5476 ; (2) c2 k ?1 ? ? 3 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x . (1)求函数 f ? x ? 的单调增区间;

3 且 (2) ?ABC 中, A、 、 所对的边分别为 a、 、 若 f (C) ? , c ? 2 ,a ? 2 , 在 角 B C b c,
求 b 的值.
1 3 ? 【解析】 : (1) f ( x) ? (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2. ? ? 2 2 4? ?

由 2k? ?

?
2

≤ 2x ?

?
4

≤ 2k? ?

?
2

得:k? ?

3? ? ≤ x ≤ k? ? (k ? Z), 8 8

3? ?? ? , k? ? ? ( k ? Z ). ∴函数 f ? x ? 的单调增区间是 ? k? ? 8 8? ?

?? ?? 2 ? ? ? . 而 C ? ? 0, ? ? ,∴ C ? . (2)∵ f (C ) ? 2 sin ? 2C ? ? ? 2 ? 3 ,∴ sin ? 2C ? ? ? 4? 4? 2 4 ? ?
c a asinC ? ? sinA ? ? sinC sinA c 2? 2 2 ? 1 ,故 A ? ? ,所以 C ? B ? ? ,故 2 4 2

由正弦定理得:

b ? c ? 2.
19. (本小题满分 12 分) 为了解某校高三学生的视力情况, 随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力, 按视力情 况分成 8 组,得到如图所示的频率分布直方图,但不慎将部分数据丢失,只知道前 6 组的频数从左到右依次是等比数列 ?a n ? 的前六项,后 3 组的频数从左到右依次是等差 数列 ?b n ? 的前三项. (1)求数列 ?a n ? 和 ?b n ? 的通项公式; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? 【解析】(1)由题意知: :

35 ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . 3an
频率 组距

a1 ? 0.05 ? 0.2 ?100 ? 1, a2 ? 0.1? 0.2 ?100 ? 2 .
因此,数列 ?a n ? 是一个首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以 an ? 2n?1 .

100 ? ? a1 ? a2 ? ??? ? a5 ? ? 69
所以 3b1 ?

b1 ? a6 ? 32, , b1 ? b2 ? b3 ?

0.10 0.05 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 视力

数列 ?bn ? 是一个首项为 32,公差为 ?9 的等差数列,所以 bn ? ?9n ? 41 . (2) cn ?

3? 2 d ? 69 ,解得 d ? ?9 ,因此, 2
35 ? ? ?9n ? 41? 3 ? 2n?1
0 1

?

3n ? 2 ?1? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? n ?1 2 ?2?
2

n ?1

,则
n ?1

?1? ?1? ?1? ?1? Sn ? 1? ? ? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? ??? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? ?2? ?2? ? 2? ? 2? 1 Sn ? 2 ?1? ?1? ?1? 1? ? ? ? 4 ? ? ? ? ??? ? ? 3n ? 5? ? ? ? ?2? ? 2? ? 2?
1 2



n ?1

?1? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? ② ? 2?

n

1 ?1? ?1? ?1? ?1? 故①-②得: Sn ? 1 ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ??? ? 3 ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
1? ?1? ?1 ? 2? ?2? ? ? ? 1? 1 2
n ?1

1

2

3

n ?1

?1? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? ? 2?

n

1 ∴ Sn ? 1 ? 3 ? 2

? ? n ? 3n ? 4 ? ? 3n ? 2 ? ? 1 ? ? 4 ? 3n ? 4 ,∴ Sn ? 8 ? n?1 . ? ? ? ? n 2 2 ?2?

20. (本小题满分 13 分) 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, AB ? 2 ,PA ? 平面 ABCD, 且
?ABC ? 60? ,E 是 BC 的中点.

(1)求证: AE ? PD ; (2)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成的最大角的正切值为 ①求 PA 的长度; ②当 H 为 PD 的中点时,求异面直线 PB 与 EH 所成角的余弦值. 【解析】 : (1) 由四边形 ABCD 为菱形,?ABC ? 60? , P 可得△ABC 为正三角形.∵E 为 BC 的中点,∴ AE ? BC. 又 BC ? AD ,∴ AE ? AD . ∵ PA ? 平面 ABCD, AE ? 平面 ABCD,∴ PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A , ∴ AE ? 平面 PAD.又 PD ? 平面 PAD,∴ AE ? PD. (2)①连结 AH. 由 (1) AE ? 平面 PAD, ?EHA 为 EH 与平面 PAD 知 ∴ 所 成 的 角 . 在 Rt △ EAH 中 , AE ? 3 , 而
tan ?EHA ? AE 3 ? , 所以当 AH 最短时, EHA 最大, ? AH AH 6 . 2

H

A B E C

D

即当 AH ? PD 时, tan ?EHA ?

3 6 ? , 因此 AH ? 2 .又 AD=2,所以 ?ADH ? 45? ,∴ AH 2

PA ? AD ? 2 .
②取 PA 中点 F ,连 BF , HF . 则 HF ∥AD ,且 HF =

1 AD,同理可得: HF ∥ BC ,且 2

HF =

1 BC,即 BE ? HF , BE∥HF .故四边形 BEHF 是平行四边形,则 EH ∥BF ,所 2

以异面直线 PB 与 EH 所成的角是 ?PBF 或其补角. 由计算得:PB ? 2 2 , BF ? 5 , PF ? 1 , 故 cos?PBF ?

PB 2 ? BF 2 ? PF 2 3 10 3 10 ? . ,故异面直线 PB 与 EH 所成角的余弦值是 2 PB ? BF 10 10

21. (本小题满分 14 分) 已知线段 MN 的两个端点 M 、 N 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,且 MN ? 4 ,点 P 在线段

MN 上,满足 MP ? mMN ? 0 ? m ? 1? ,记点 P 的轨迹为曲线 W .

????

???? ?

(1)求曲线 W 的方程,并讨论 W 的形状与 m 的值的关系; (2)当 m ?

1 时,设 A 、 B 是曲线 W 与 x 轴、 y 轴的正半轴的交点,过原点的直线 l 与 4

曲线 W 交于 C 、 D 两点,其中 C 在第一象限,求四边形 ACBD 面积的最大值.

???? ???? ? 【解析】 (1)设 M ? a, 0? , N ? 0, b ? , P ? x, y ? ,则 a 2 ? b 2 ? 16 ,而由 MP ? mMN 有: :

x ? ?a ? 1 ? m x2 y2 ,代入得: ? ? 1. ? x ? a, y ? ? m ? ?a, b? ,解得: ? ? 2 2 16 ?1 ? m ? 16m ?b ? y ? m ?
当0? m?

x2 y2 1 时,曲线 W 的方程为 ? ? 1 , W 为焦点在 x 轴上的椭圆; 2 2 2 16 ?1 ? m ? 16m

当m? 当

1 时,曲线 W 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 , W 为以原点为圆心半径为 2 的圆; 2

x2 y2 1 ? ? 1 , W 为焦点在 y 轴上的椭圆. ? m ? 1 时,曲线 W 的方程为 2 2 2 16 ?1 ? m ? 16m
x2 1 ? y 2 ? 1 ,则 A? 3, 0? , B ? 0,1? . 时,曲线 W 的方程是 9 4

(2)当 m ?

设 C ? x1 , y1 ? ,则 x1 ? 0, y1 ? 0 , D ? ? x1 , ? y1 ? ,设直线 l 的方程是 y ? kx ? k ? 0? .

? x2 2 3 9 ? ? y ?1 由? 9 有: x2 ? 2 ,故 x1 ? . 9k ? 1 9k 2 ? 1 ? y ? kx ?
方法 1:

CD ? 2 OC ? 2 x12 ? y12 ? 2 1 ? k 2 x1 ,点 A 到直线 y ? kx 的距离是 d1 ?

3k k2 ?1



点 B 到直线 y ? kx 的距离是 d 2 ?

1 k ?1
2

,故 S四边形ACBD ?

3? 3k ? 1? 1 , CD ? d1 ? d 2 ? ? 2 9k 2 ? 1

∴ S四边形ACBD ? 即k ?

3? 3k ? 1? 9k 2 ? 1

?3

9k 2 ? 6k ? 1 6k 6k 当且仅当 3k ? 1 , ? 3 1? 2 ≤3 1? ?3 2 , 2 6k 9k ? 1 9k ? 1

1 1 时取等号,故当 k ? 时,四边形 ACBD 面积有最大值 3 2. 3 3 1 1 方法 2: S四边形ACBD ? S?BDO ? S?BOC ? S?DOA ? S?COA ? BO ? ? x1 ? x1 ? ? AO ? ? y1 ? y1 ? , 2 2 2 x 2 2 即 S四边形ACBD ? x1 ? 3 y1 ,而 1 ? y12 ? 1 ,即有 x1 ? ?3 y1 ? ? 9 , 9

所以 S四边形ACBD ? x1 ? 3 y1 ≤ 2

x ? ? 3 y1 ?
2 1

2

2

? 3 2 ? x1 ? 3 y1 ? x1 ? ? ? 2 2 ,即 ? 时取 ? 3 2 , 当且仅当 ? x1 2 2 ? ? ? y1 ? 1 ?9 ? y1 ? 2 ?

? 3 2 ? x1 ? ? 2 等号,故当 ? 时,四边形 ACBD 面积有最大值 3 2. 2 ? ? y1 ? 2 ?
22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax2 ? 2lnx . (1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 在 ? 0,1? 上的最大值是 ?2 ,求 a 的值; (3)记 g ? x ? ? f ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? 1 ,当 a ≤ ?2 时,求证:对任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,总有

g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ 4 x1 ? x2 .
【解析】(1) f ? x ? 的定义域是 ? 0,?? ? . f ? ? x ? ? 2ax ? :

2 2ax 2 ? 2 ? . x x

当 a ≥ 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,?? ? 上是增函数; 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x1 ? ?

1 1 , x2 ? ? ? (舍去) a a

当 x ? ? 0, ?

? ? ?

? 1? 1? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上是增函数; ? a? a? ? ? ? ? ? ?

当 x ? ? ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? ? , ?? ? 上是减函数. 故当 a ≥ 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0,?? ? ; 当 a ? 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0, ? ? ,减区间是 ? ? , ?? ? . ? ? ? ?

? ? ?

1 a

? ? ?

1 a

? ? ?

? ?

1? a?

? ?

1 a

? ?

(2)①当 a ≥ 0 时, f ? x ? 在 ? 0,?? ? 上是增函数,故在 ? 0,1? 上的最大值为 f ?1? ? a ? ?2 , 显然不合题意;

?a ? 0 ? 1? ? ②若 ? , ?1 ≤ a ? 0 时, 0,1? ? ? 0, ? ? , f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数, 即 则 故在 ? 0,1? ? 1 ? a? ? ? ≥1 ? ? ? a
上最大值为 f ?1? ? a ? ?2 ,不合题意,舍去;

?a ? 0 ? ? 1? 1 ? ? ③若 ? 1 ,即 a ? -1 时, f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上是增函数,在 ? ? ,1? 上为减函数,故 ? ? a? a ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? a
在 ? 0,1? 上的最大值是 f ? ? ?

? ?

1? 1 ? ? ?1 ? 2ln ? ? ?2 ,解得: a ? ?e ,符合. ? a? a
2 a ?1 2a x ? a 1 ? ?2 ax ? , 当 a ≤ ?2 时 , x x

综合①、②、③得: a ? ?e . ( 3 ) g ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? ax2 ? 1 , 则 g ? ? x? ?

g ? ? x ? ? 0 ,故当 a ≤ ?2 时, g ? x ? 在 ? 0,?? ? 上为减函数.
不 妨 设 x2 ≥ x1 ? 0 , 则 g ? x2 ? ≤ g ? x1 ? , 故 g ? x? ? 1

?g ? ≥ 4 2 x

?1 x 等 价 于 2 x

g ? x? ? 1

?g ? ≥ 4? 2 x

?2 x ? ,即 g ? x 1 ? ? 4x1 ≥ g ? x2 ? ? 4x2 . 1 x

记 ? ? x ? ? g ? x ? ? 4 x ,下面证明当 x2 ≥ x1 ? 0 时, ? ? x1 ? ≥? ? x2 ? 由 ? ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? ax2 ? 4x ? 1 得: ? ? ? x ? ?

2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ?4 x 2 ? 4 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ≤ ? x x x

2

≤ 0 ,从而 ? ? x ? 在 ? 0,?? ? 上为减函数,故当 x2 ≥ x1 ? 0 时, ? ? x1 ? ≥? ? x2 ? ,即有:

g ? x 1 ? ? 4x1 ≥ g ? x2 ? ? 4x2 ,
故当 a ≤ ?2 时,对任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,总有 g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ 4 x1 ? x2 .


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