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球的切与接


球与多面体的接, 球与多面体的接,切

一,复习

球体的体积与表面积 ②

4 3 ① V = πR 球 3
二,球与多面体的接,切 球与多面体的接,

S球面 = 4π R

2

定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上, 定义 :若一个

多面体的各顶点都在一个球的球面上, 各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 内接多面体, 则称这个多面体是这个球的内接多面体, 这个球是这个多面体的外接球 外接球. 这个球是这个多面体的外接球.

定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 定义 :若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 外切多面体, 则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个多面体的内切球 内切球. 这个球是这个多面体的内切球.

甲球内切于正方体的各面,乙球内切于该正方体的各条棱, 例1 甲球内切于正方体的各面,乙球内切于该正方体的各条棱, 丙球外接于该正方体,则三球表面面积之比为( ) 丙球外接于该正方体,则三球表面面积之比为 A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27 D C A B 中截面 O D1 C1


设为1 设为1

A1

球的外切正方体的棱长等于球直径. 球的外切正方体的棱长等于球直径. B1

S甲 = 4π R 2 =π 1

D A B

C

中截面


O D1 C1

A1

B1 正方形的对角线等于球的直径. 正方形的对角线等于球的直径.

S乙 = 4π R =2π
2 2

D A O D1 A1 B1 B

C 对角面
A
C


设为1 设为1 C1
A1

2R = 3

O
C1

2

球的内接正方体的对角线等于球直径. 球的内接正方体的对角线等于球直径.

S丙 = 4π R =3π
2 3

变题: 变题:
1. 已知长方体的长,宽,高分别是 已知长方体的长, 外接球的体积. 外接球的体积.

3 , 5 ,1 ,求长方体的

2. 已知球 的表面上有 ,A,B,C四点,且PA,PB,PC两两 已知球O的表面上有 的表面上有P, , , 四点 四点, , , 两两 互相垂直, 互相垂直,若PA=PB=PC=a,求这个球的表面积和体积. ,求这个球的表面积和体积. 沿对角面截得: 沿对角面截得:
A

C

A O C

O
A1

C1

P

B

例2,正三棱锥的高为 1,底面边长为 , , 全面积和它的内切球的表面积. 全面积和它的内切球的表面积.
A

.求棱锥的

解法1: 过侧棱AB与球心 作截面( 与球心O作截面 解法 : 过侧棱 与球心 作截面 如图 ) 在正三棱锥中, 是正△ 的高, 在正三棱锥中,BE 是正△BCD的高, 的高

1
O B O1 C

O1 是正△BCD的中心,且AE 为斜高 是正△ 的中心, 的中心

F D E

, 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r,则 OA = 1 -r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E

例2,正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6.求棱锥的 , , 全面积和它的内切球的表面积. 全面积和它的内切球的表面积.

解法二: 解法二: 设球的半径为 r,则 VA- BCD = ,
A VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
2 1 3 VABCD = 2 6 1 = 2 3 3 4 1 D = r S全 = 3 2 + 2 3 r 3

O



( ) (

B C

∴r = 6 2 S球 = 8 5 2

(

)



)

1 S全 r内切球 注意: 割补法, 注意:①割补法,② V 多面体 = 3

例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
作截面α 解法1: 解法 : 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α截球得大圆,截正四面体得△PAD,如图所示, 截球得大圆,截正四面体得△PAD,如图所示,

6 a 3

连 AO 延长交 PD 于 G

P
3 a 2

则 OG ⊥ PD,且 OO1 = OG , ∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D

O
A O1 E

G

D
3 a 6

6 a R R 6 3 ∴ = ∴R = a 3 3 4 a a 2 6

3 2 S表 = πa 2

解法2: 解法 :

A B O D C C 求正多面体外接球的半径

A B O D

求正方体外接球的半径

例4,半球内有一个内接正方体,正方体的 ,半球内有一个内接正方体, 一个面在半球的底面圆内, 一个面在半球的底面圆内,若正方体的一 求半球的表面积和体积. 边长为 6 ,求半球的表面积和体积.
过正方体的与半球底面垂直的对角面作截面α, 过正方体的与半球底面垂直的对角面作截面 , α截半球面得半圆 截正方体得一矩形, 截半球面得半圆, 则α截半球面得半圆,截正方体得一矩形,且 矩形内接于半圆,如图所示. 矩形内接于半圆,如图所示. A1

1 C1 QCC1 = 6 ∴OC = 2 AC = 3 ∴球半径 = OC1 = 3 R
O C

A

故S表 = 27π,V 球 = 18π

1. C

2. C

3. A

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