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开封市2011届高三第二次模拟考试(数学理)


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河南省开封市 2011 届高三年级第二次模拟考试

数学试题(理科)
注意事项: 1.本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.请将第 I 卷选择题的答案填写在答题

卷的答题卡上,第 II 卷将各题答在答题卷指定 位置。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S ? 4?R 2 其中 R 表示球的半径 如果事件 A、B 相互独立,那么 球的体积公式 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
k P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n?k

V ?

4 ? R3 3

其中 R 表示球的半径

第I卷
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设全集 U ? R, M ? {x || x |? 2}, N ? {x | A.[1,2] B. (1, 2]

x?3 ? 0}, 则(CU M ) ? N = x ?1
C. (1,2) D. [1, 2)





2.若复数 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi, 其中a, b ? R, i 是虚数单位,则 | a ? bi | = A.





3 ? 3.已知命题 p : ?x ? R , 有 sin x ? cos x ? ;命题 q : ?x ? (0, ), 有x ? sin x ;则下列命 2 2
题是真命题的是 A. p ? q B. p ? (?q) C. p ? (?q) D. (?p) ? q ( )

1 ?i 2

B. 5

C. 5
2

D.

5 4

4.若一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形,且其体积为 视图可以是

1 ,则该几何体的俯 2
( )

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5.已知 tan ? ? 4, 则 A. 4 3 6.函数 f ( x) ?

1 ? cos 2? ? 8sin 2 ? 的值为 sin 2?
B.

( D. 2 3
3



65 4

C.4

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是 | x|





7.已知不同的平面 ? 、 ? 和不同的直线 m、n,有下列四个命题 ①若 m//n, m ? ? , 则n ? ? ; 其中正确命题的个数是 A.4 个 C.2 个 B.3 个 D. 1 个 ②若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ; ( ) ③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n, 则m / / n ,





8.已知等差数列 {an } 的各项均为正数,观察程序框图;若 n=3 时,

S?

3 9 ; n ? 9 时, S ? ,则数列的通项公式为( 7 19
B.2n D.2n+2



A.2n—1 C.2n+1

9.已知平面直角坐标系内的两个向量 a ? (1, 2), b ? (m,3m ? 2) , 且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c ? ? a ? ?b(?, ?为实数) , m 的取值范 则 围是 A. (??, 2)
2

( B. (2, ??) C. (??, ??)
2 2



D. (??, 2) ? (2, ??)

10.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 1) 的焦点 F 恰为双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, 2 a b 且两曲线的交点连线过点 F,则双曲线的离心率为 ( )
A. 2 B. 2 ? 1 C.2 D. 2 ?

2
( )

11.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (0,1)

2 的零点所在的可能区间是 x
C. (2,3) D. (3,4)

B. (1,2)

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12.已知 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? x ? ax ?
2

a ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( 2
C. (0, ??) D. (0,4)



A. (0,2)

B. (2, ??)

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 13. (ax ?

1 x

2 )6 的展开式中 x 的系数为 70,则 a=



14.已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 的顶点都在球面上,若 AA1=2,BC=1,∠BAC=150°, 则该球的体积是 。
??2 x ? y ? 2 ? 0 15.已知平面区域 ?2 x ? y ? 6 ? 0 内有一个圆,向该区域内随机投点,将点落在圆内的概率 ? ?y ? 0 ?

最大时的圆记为⊙M,此时的概率 P 为 16.下面给出的四个命题中:



①对任意的 n ? N * , 点P (n, an )都在直线y ? 2x ? 1 上是数列 {an } 为等差数列的充分 n 不必要条件; ②“m=—2”是直线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与“直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互 垂直”的必要不充分条件; ③ 设 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0) 与 坐 标 轴 有 4 个 交 点
2 2 2 2

A( x1 ,0), B( x2 ,0), C(0, y1 ), D(0, y2 ), 则有 x1 x 2 ? y1 y2 ? 0
④将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移

? ? 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象。 6 3

其中是真命题的有 。 (填序号) 三、解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题 12 分)已知等差数列 {an }满足a3 ? 2, a6 ? 8 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? ( 2) n , 求数列 an bn } 的前 n 项和。 {
a

18. (本小题 12 分)如图:正四面体 MBCD 的棱长为 2, AB⊥平面 BCD,AB=

6 . 3

(1)求点 A 到平面 MBC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值; 19. (本小题 12 分)为了解高一年级学生身高情况,某校按 10%的比例对全校 700 名高一 学生按性别进行抽样检查,测得身高频数分布表如下: 表 1:男生身高频数分布表

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身 高 (cm) 频数 身 高 (cm) 频数

[160,165)
2

[165,170)
5

[170,175)
14

[175,180)
13

[180,185)
4

[185,190)
2

表 2:女生身高频数分布表

[150,155)
1

[155,160)
7

[160,165)
12

[165,170)
6

[170,175)
3

[175,180)
1

(1)求该校高一男生的人数; (2)估计该校高一学生身高(单位:cm)在 [165,180) 的概率; (3)在男生校本中,从身高(单位:cm)在 [180,190) 的男生中任选 3 人,设 ? 表示所 选 3 人中身高(单位:cm)在 [180,185) 的人数,求 ? 的分布列 和数学期望。

20. (本小题 12 分)设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,过 a 2 b2

A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于 Q 点,且 2F F2 ? F2Q ? 0. 1 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F2 三点的圆恰好与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 的直线交椭圆于 M、N 两点,点 P(4,0) ,求△ PMN 面积的最大值。 21. (本小题 12 分) 设函数 f ( x) ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1). (1)求 f ( x ) 的极小值; (2)若 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 2ax 成立,求实数 a 的取值范围。 请理科考生在 22、23 题任选一道作答。 22. (本小题 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 C 点在⊙O 直径 BE 的延长线上,CA 切⊙O 于 A 点,CD 是∠ACB 的平面分线交 AE 于点 F,交 AB 于点 D。 (1)求∠ADF 的度数; (2)若 AB=AC,求

????? ???? ?

AC 的值。 BC

23. (本小题 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设对于任意实数 x,不等式 | x ? 7 | ? | x ? 1|? m 恒成立。 (1)求 m 的取值范围; (2)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式: | x ? 3 | ?2 x ? 2m ? 12.
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