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2.6.3数列通项及求和


数 列 的 方法总结

专题一 数列通项公式的求法
专题讲座
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数列的通项公式:是一个数列的第n 项(即an)与项数n之间的函数关系
注: ① 有的数列没有通项公式,如:3,π,e, 6;②有的数列有多个通项公式,如:

an ? ?? 1? ? cosn?
n

③数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数.

下面我就谈一谈数列通项公 式的常用求法:
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一、观察法(又叫猜想法,不完全归 纳法):
观察数列中各项与其序号间的关系,分解各 适合写 项中的变化部分与不变部分,再探索各项中 通项公 变化部分与序号间的关系,从而归纳出构成 式 规律写出通项公式

例1:数列9,99,999,9999,……
解:变形为:101-1,102―1,103―1, 104―1,…… n ∴通项公式为: an ? 10 ? 1
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例2,求数列3,5,9,17,33,…… 解:变形为: 21+1,22+1,23+1, 24+1, 25+1,…… n ∴通项公式为: n

a ? 2 ?1

可见联想与转化是由已知认识未知的两种有 效的思维方法。 注意:用不完全归纳法,只从数列的有限项 来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠 n 的,如2,4,8,……。可归纳成 a n ? 2 或 2 者an ? n ? n ? 2两个不同的数列( a 4 便不同)
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二、迭加法(又叫加减法,累加法)
形 如 an?1 ? an ? f (n)型 可 用
当n ? 2时 an ? an-1 ? f (n - 1)
f(n)可以是关于 n的一次,二次, 指数,分式, 复合型等

an ?1 ? an-2 ? f (n - 2) an ?2 ? an-3 ? f (n - 3)
?
以上 式子 相加 得

a4 ? a3 ? f (3) a3 ? a2 ? f (2) a2 ? a1 ? f (1) 迭加后转化为求和问题
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注意:验证 n=1是否符合? 不符合,则an 应分段书写

an ? a1 ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1)

例3:已知数列{an}中:a1=1 且an-an-1=n(n>1),求这个数列的通项公式
解: a2

a3 ? a2 ? 3 变式:已知数列 {an}中:a1=1且an+1a4 ? a3 ? 4 n-n,求这个数列的通项公式. ana =3 5 ? a4 ? 5
an ? an ?1 ? n
……

? a1 ? 2

an ∴两边相加得:
1 即 an ? n(n ? 1) 2

? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n
1 ? an ? n(n ? 1) 当n=1时,符合。 2
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三、迭积法(累积法)
an ? f ( n ? 1) an ?1 an ?1 ? f (n ? 2) an ? 2

an ?1 形如 ? f (n)型可用 an
注意:验证 n=1是否符合? 不符合,则an 应分段书写

以上 式子 a2 ? f (1) 相乘 迭乘后转化为求积问题 1 得 an ? f (a n ? 1) ? f (n ? 2) ? ?? f (2) ? f (1)

a3 ? f (2) a2

?

a1

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an ?1 ? 3 an , a1 ? 2 , 例4、已知数列 {an } 中, 求通项公式 a n 。 a n n ?1 n ? 3 an ?1 ? 3 an ,得:a 解:由已知 a1 ? 2, n 把1,2,…,n-1分别代入上式得:
n

a a a2 n ?1 n 2 3 1 ? 3 ?3 ?3 an ?1 a2 a1 把上面n-1条式子左右两边同时相乘得:
?

an 1? 2 ? 3??? ( n ?1) ?3 ?3 a1 当n=1时,符合。

n??n ?1? 2

? an ? 2 ? 3
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n ( n ?1) 2

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四、公式法:
(1)利用等差或等比数列通项公式 ( 2 )已知数列的前 n 项和公式,求通项 公式的基本方法是: (n ? 1) ?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2) 注意:要先分n=1和 n ? 2两种情况分别进 行运算,然后验证能否统一。
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} 例5.已知下列两数列 {an 的前 n项和Sn的公式, { an } 求 的通项公式。 2 2 (1) S n ? 2n ? 3n (2) S n ? n ? 1 解: (1) a1 ? S1 ? ?1,当 n ? 2时
an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ? 3n) ? [2(n ? 1) ? 3(n ? 1)] ? 4n ? 5
2 2

由于 a1 也适合于此等式 ∴ an ? 4n ? 5
an ? S n ? S n ?1 ? (n ? 1) ? [( n ? 1) ? 1] ? 2n ? 1
2 2

a1 ? S1 ? 0 ,当 n ? 2 时 (2)

由于 a1 不适合于此等式 ∴

(n ? 1) ?0 an ? ? ?2n ? 1 (n ? 2)

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五、构造辅助数列法 (整体换元法):
当给出递推关系求通项公式时,主要掌握换 元引进辅助数列能转化成等差或等比数列的 形式。

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例6.已知数列{an }的递推关系为 an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 4 , a2 ? 3 ,求通项公式 a n 。 且 a1 ? 1 , 解:∵ an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 4 (an ? 2 ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? 4 ∴
令 bn ? an ?1 ? an ,则数列{bn}是以4为公差的等差数列 ∴ bn ? an ?1 ? an ? 4n ? 2 ∴ a2 ? a1 ? 4 ? 1 ? 2 an ? a1 ? 4[1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)] a4 ? a3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 2(n ? 1) a3 ? a2 ? 4 ? 2 ? 2 2 即an ? 2n ? 4n ? 3 …… an ? an ?1 ? 4 ? (n ? 1) ? 2 当n=1时,符合。
两边分别相加得:
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又b1 ? a2 ? a1 ? 2 ?bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 4n-2

? an ? 2 n ? 4 n ? 3
2
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例7.

P69题6
式 。

已 知 数 列 {an }中 , a1 ? 5, a2 ? 2, an ? 2an?1 ? 3an?2 (n ? 3) 求 出 这 个 数 列 的 通 项 公

an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ? 2 )( n ? 3) an ? 3an ?1 ? ?(an ?1 ? 3an ? 2 )( n ? 3)

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数 列 的 方法总结

专题二 数列求和的常用方法
专题讲座
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一、公式法:
等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
2 2 2 2

等比数列的前n项和公式 当q≠1时,

a1 ? anq a1 (1 ? q ) Sn ? Sn ? 1? q 1? q
n

当q=1时,

Sn ? na1

1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6
?1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3 3
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2

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二、分组求和法 将不熟悉的问题转化问熟悉问题 转化思想
如 教 材 P61习 题 2.5题4求 和(1 ( ) 2)
?1 ?2 ?n

(1)(2 ? 3 ? 5 ) ? (4 ? 3 ? 5 ) ? ? ? (2n ? 3 ? 5 )

(2) S n ? (a ? 1) ? (a ? 2) ? ? ? (a ? n)
2 n
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三、并项求和法 在求和过程中,将某些项合并后 转化为特殊数列再求和,有时要 对项数讨论。 转化思想
( 2( )已 知 数 {+ an 3-4+5-6+ } 中, an ? …+ (?199-100 ) n , 1 ) S列 =1-2
n 2

求 数 列 {an } 的 前 n项 和 Sn
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四、倒序求和法
(1) S ? cos 1 ? cos 2 ? ? ? cos 89 2 ? 2 ? 2 ? S ? cos 89 ? cos 88 ? ? ? cos 1
2 ? 2 ? 2 ?

4 (2) f ( x) ? 4 , f ( x) ? f (1 - x) ? ? 4 ?2 1 2 2013 倒序相加法:将数列的顺序倒过来排列,与原数列两式 求S ? f ( )? f ( ) ??? f ( ) 2014 2014 2014 相加,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,这 2013 2012 1 样的数列可用倒序相加法求和。 S ? f( )? f ( ) ??? f ( ) 2014 2014 2014

x

1

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五、错位相减法
适用于一个等差数列{an}与一个等比数列{bn} 的乘积构成的新数列{an· bn}的前n项和。 技巧:找准相
邻两项的关系

方法:等式两边同乘以一个公比,将次数相 同的对齐,再相减整理转化成熟悉问题
注意:
①消去规律,哪些数消掉了,哪些数没有 ②注意讨论

(这个数列是否为等比数列,若是还要注意公比是否为1)
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已 知 数 列 {an }前n项 和 S n , a1 ? 1, an ?1 ? 2 S n ( 1) 求 an (2) 求 数 列 {nan }前n项 和 Tn
(n ? 1) ?1 an ? ? n?2 (n ? 2) ?2 ? 3

注意 检验

1 1 n ?1 Tn ? ? (n ? )3 2 2
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六、裂项相消法
所谓”裂项法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻 的两 项彼此相消,就可以化简后求和.

1 1 适用于求cn ? ,或cn ? an ? an?1 an ? an?1 (其中数列 {an }为等差数列)的数列 {cn }的前n项和。

裂项技巧:先裂开再还原观察多了(少了)哪些数,再修正。 分母有理化 注意消去规律:在相消过程中注意哪些数消掉了, 哪些数保留了(前后多写几项)
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求和

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3n ? 2)(3n ? 1)

1 1 1 1 ? ( 提示: 变 式(3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 ? 3n ? 1) 1 1 1 1 已 知 数 列 中 , an ? 2 ,求 其 前 n项 和 Sn . ? {a? ? ? n} ∴ 4 n 4 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2 )( 3n ? ?1 )n?3
1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 ?a [( 1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ( ? )] ? ? ) 3n ? 1 n 3 4 4 7 3n ?(5 3n ? ? 2 3n ? 2

(2n ? 1)( 2n ? 3) 4 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 3 3n ? 1 3n ? 1
转变观念

2n ? 3

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七、通项公式法
根据通项公式特点寻找适合的办法即可

(1)求S n ? 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 4) ?(1 ? 2 ? 4 ? 8) ? ? ? (1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 )
n ?1

2 ?1 3 ?1 4 ?1 (n ? 1) ? 1 (2)求S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 ?1 3 ?1 4 ?1 (n ? 1) ? 1
2 2 2 2
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