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初等数学研究数系分析


第2章 数系分析
数是人类利用定量的方法研究现实世界的最早工具.随着人类认识自然的不 断深入,数的概念也在不断地发展,形成了不同类型的数系。在人们的现实生活 中,数是应用最广泛的数学知识。通过对社会数学应用意识的调查发现,认为数 学知识中最有用的就是数,达到了 100%。可见,数是学生学习最早的也是学习 时间最长的数学知识。 本章主要讨论数系及其发展、 数论初步、向量代

数初步以及中学数系教学中常见 问题的分析。

2.1 数系及其发展
数系是随着社会发展而逐步扩展起来的一个多层次家族.这些数的含义及其 运算是学生最熟悉的内容。 但要从整体上研究数的性质和特点,还需要了解数系 及其发展的进程,以及相关的理论。本节先从历史的角度,介绍数系的发展,进 而对数系的逻辑扩充作概要的介绍。 2.1.1 数系扩充的历史 人们对数的认识是个逐渐发展的过程。在远古时代,人类在捕鱼、狩猎和采 集果实的劳动中,有时有收获,有时无收获。这样,逐渐形成了“多”和“少” 的概念.由于生产的发展,劳动收获增加了,人们有了计数的需求,如:一个羊 倌看着他的羊群,同时用手指数着他的羊,如果他的手指头不够用,他采用“记 账”的手段,在他的赶羊棒上刻下一些道道,尽管他还有十个手指头数数,但在 不知不觉中,他已不受“十”这个数的限制了。后来人们认识到用标记表示数的 作用。在做标记的过程中,究竟牵涉到的是什么物体并不重要,只要他们能够告 诉我们数的某些性质,也就是能够说明数量的多少,就可以实现标记的目的。做 标记的实质是把事物联系起来形成一个概念,其方法就是我们熟知的映射思想。 当你数数的时候, 你让一个手指确切地代表一个词,你不会让两个手指代表同一 个词,或是掰着同一个手指说出两个词。这就是一对一的方法,每个手指对应着 一个数词,而且仅有一个,数学上称之为一一映射。这是我们计数过程的关键所 在。数的概念最初不论在哪个地区 1、2、3、?这样的自然数开始的,只是记数 的符号不同。 随着生产生活的需要,人们发现,仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分 配猎物时,5 个人分 4 件东西,每个人该得多少呢?于是分数就产生了,形成了 正有理数。在西方,一个典型的事例是由线段的度量问题引出整数比的问题,使 人们获得了对分数的认识,人类完成了数的概念的第一次扩充。 零的使用并不是直觉的概念。 数学问题开始于真实的问题与抽象的问题两个 方面。在古代,数学被想象成为具体的事物。这与今天抽象的数字概念是不相同 的。从五匹马到“五个事物” ,然后再抽象至概念“五”的过程是个很大的飞跃。 直到公元 650 年左右印度的数学家才把 0 当做一个数字,引进数 0,把自然数集 扩充成为扩充成为扩大的自然数集,即非负整数集。这可以看作是数概念的第二 次扩充。 历史上负数的引进颇费一番周折,我国早在公元前的《九章算术》中就已在 非常自然的情况下明确使用了负数,其原因与早期使用的计算工具——算筹有 关。 在国外最早引入负数的是印度人婆罗摩笈多(Brahmagupta)。 他在公元前 628 年左右用正数表示财产,负数表示负债,并提出负数的四则运算,并且有了“正

数的平凡根有两个,一正一负” , “负数没有平方根”等结论。但是印度人并不是 毫无保留地接受负数。他们不接受负数是方程的解。在西方至 17 世纪,负数仍 没有得到数学界的广泛承认, 说负数是荒谬的数。 直至在数轴上赢得了几何表示, 数学家才承认负数是数。这是数概念的第三次扩充。 公元前 5 世纪, 毕达哥拉斯学派的西帕索斯发现了“正方形的边长与对角线 不可公度”这一事实。边长与对角线在结构上并没有什么区别,我们可以把对角 线插在边长的延长线上,这样就会发现,不管把距离分成多少等分,在直线上总 是有一些永远接近不了的点, 就是说有理数的全体无法穷竭直线上的点。这样就 造出许多无理数。 无理数的定义出自于 19 世纪德国数学家戴德金(R.Dedekind)。 他阐述了有理数的有序性、 稠密性(任意两个有理数之间存在无限多个数)和戴德 金分割(每个有理数都将全部有理数分为两类,使得第一类中每个数都小于第二 类中的任一个数,做出这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中)。利用这 个分割方法可以得到无理数的定义。 所有负有理数和平方小于 2 的正有理数的组 成在 2 左边的数轴上,所有平方大于 2 的正有理数的组成在 2 右边的数轴上, 这两个有理数集定义了无理数 2 。由此定义了无理数。由所有有理数和无理数 共同组成的数集叫实数集。这是数的概念的第四次扩充。 复数最初是在解二次方程的过程中出现的, 我们知道正正得正, 负负也得正。 这就是说永远不可能出现某个数的平方得负数。那么取-1 的平方根呢?它的平 方根肯定不可能是正数,也不可能是负数。在很多世纪中,数学家都把它们放在 一边。但人们会遇到解方程 x2 +1=0 的问题。这是一个相当简单的多项式方程, 它的两个解就是-1 开平方根,我们称之为负数方根。如果我们根本不承认 -1 , 那么这个多项式方程是无解的, 而且这种类型的问题有很多。对任何一个正实数 r, 若有多项式方程: x2 +r=0 ,则必定会出现-r 的平方根。 于是就创造出一种新数, 这种新数被命名为“虚数单位” 。著名的数学家欧拉建议用符号“i”来表示这个 数,于是有 -1=i ,复数便被创造出来了。 在过去的很多世纪中, 数学家们根本不理会负数开方问题,如果多项式方程 仅有负数方根, 那么数学家们就会断言说方程无解。最先考虑把负数的平方根作 为多项式方程解的是阿贝尔(H.N.Abel)。在 17 世纪几乎没有别的人同意他的这 种做法,直到代数与几何得到重大改造时,这个问题才得以解决。笛卡尔 (R.Descartes)提供了必要的工具——笛卡尔坐标系。 高斯(K.F.Gauss)给出了最后 的解答。 高斯使用笛卡尔坐标系,将水平方向的 X 轴指定为实数轴,经原点垂直于 X 轴的叫做虚轴(用实数乘 i 表示)。由此可知,2i 是在虚轴上以原点向上两个单 位的点,而-i 就是在虚轴上以原点向下一个单位的点。复平面上的每个点都能 找到一实数对与其一一对应, 即坐标系上每个点都可用两个数 a 和 b 表示。这两 个数定义了一个复数 a ? bi ,其中 a 是它的实数部分,b 是它的虚数部分。高斯 用这种方法定义了复数,实数只是复数的一个子集,是虚部为 0 的复数。这是数 的第五次扩充。

由于虚数和复数表示的量在现实生活中长期得不到应用, 使人们感到虚数有 些“虚无缥缈” 。这就是“虚数”名称的来源。随着科学的发展,虚数在水力学、 地图学、航空学等领域已有广泛的应用,从此,虚数不在“虚”了。 数的概念发展到复数以后, 在很长一段时间内,数学家认为数的概念已经十 分完善了。知道 1828 年,哈密顿(W.R.Hamilton)开始考虑将复数的思想推广到三 围空间。1843 年 10 月 16 日,他又提出了“四元数”的概念,所谓四元数,就 是一种形如 n+xi+yj+zk 的实数四元组。它是由一个标量 ( 实数 ) 和一个向量 xi+yj+zk(其中 x,y,z 为实数)组成的,且有下列等式成立:

i 2 ? j 2 ? k 2 ? ?1
ij ? ? ji ? k , jk ? ?kj ? i, ki ? ?ik ? j , ijk ? ?1

哈密顿的四元数使代数学家认识到,通过适应的改变代数中的基本运算规 则,则可以扩展得出新的数。因此,四元数理论标志着现代抽象代数的开始。数 系的发展并没有到此结束,由于科学技术发展的需要,向量、张量、矩阵、群、 环、域等概念不断产生,把数系研究推向一个新的高峰。尽管人们对数的归类法 还有些分歧,但在承认数的概念还会不断发展这一点上是完全一致的。 2.1.2 数的运算 人们由数数开始逐渐认识到了自然数。根据数数原理可以定义加法,将相同 的加数的简便运算定义为乘法。 自然数的加法和乘法受着某些算律的支配。以下 是我们熟知的五个算术定律: 加法交换律: a ? b ? b ? a 乘法交换律: ab ? ba 加法结合律: a ? ?b ? c ? ? ? a ? b? ? c 乘法结合律: a ? bc ? ? ? ab ? c 乘法对加法的分配率: a ?b ? c ? ? ab ? ac 在两个整数加法定义的基础上,可以定义数的减法。数 b 可以通过数 a 加上 第三个数 c 得到,即,或记作。它定义了减法运算。加法和减法互为逆运算。整 数零用记号“0”表示,则对于任意一个整数 a,规定 a+0=a,a-a=0.减去一个正 数等于加上这个正数的相反数,这样就能保证减法在正、负整数中总能实施,负 数相乘的运算法则是人们很难理解的问题。我们从负数基本定义出发作如下说 明: 由负数概念可知: ? a ? a ? 0 两边都乘上 b: b ? ?a ? a ? ? b 0=0 应用乘法分配律: b ? ?a ? ? ba ? 0 两边减去 ba: b ? ?a ? ? ? ?ba ? 于是有定义法则: 一个正数乘以一个负数等于这样两个数的绝对值的乘积且 符号取负号。由此也可以推出乘法运算法则:正正得正;正负得负;负正得负;

负负得正。 负整数和零引入后, 使整数对于加法运算封闭封闭。对于乘法的逆运算除法 来说,分数的引入使除法运算总能够实施。由方程 ax=b 得两个整数 a 和 b 的商 a a x= ,仅当 a 是 b 的因子时,才存在整数解 x,否则,记号 称为分数。它满足 b b a a a( )=b,从而 是方程 ax=b 的解,但应注意 0 不能做除数。 b b 对于乘方的逆运算开方来说,例如 x 2 ? 2 的方程,它在有理数系中无解,这 就引出无理数,在实数系中方程的解存在。 在实数系范围内二次方程不一定有解,如一个简单的方程: x2 ? ?1 就没有 实数解,因为任何实数的平方总不为负数,因此,要么此方程不可解,要么扩充 数的概念。引入新数使此方程有解,而通过定义 i?=﹣1,引入新的符号 i,记为 “虚数单位” ,进而定义复数 a+bi,于是可以解决诸如 x2 ? ?1 的方程。 数系扩充是从最初正整数集出发,经过漫长的过程引入负数和分数,以便使 减法和除法总能进行,进而扩充到有理数系,对于算数的四则运算来说,这个数 系是完备的。 由于增加了乘方和开方两种新的运算,这自然需要将有理数系扩充 到复数系,对于代数的六种基本运算来说,这个数系也是完备的。现在,我们可 以在加、减、除、乘方和开方这六种基本运算当中,随意进行任何一种运算,不 管按哪种次序进行多少次都不会超过这个数系的范围。 2.1.3 数系的逻辑补充 1.代数体系及群、环、域的一些基本概念 1)代数运算与代数体系 数学中运算是最基本、最普通的概念和方法。如数的运算、多项式的运算、 向量的运算、矩阵的运算、线性变换的运算等。代数体系是具有运算的集合,代 数运算则是它的决定性的因素,因此我们首先给出代数运算的概念。 定义 1 设 A 是一个非空集合,A×A 到 A 的一个映射“ ”称为 A 的一个 代数运算。 整数集 Z,有理数集 Q,复数集 C,对通常的加法、减法,乘法分别都是 Z、 Q、R、C 的代数运算作为一个有机整体来看,引进代数系统的定义。 定义 2 设 A 为任意集合, 为 A 上的一个代数运算。 把 A 及其代数运算 作 为一个整体记作(A, ),称(A, )为有一个代数运算的代数体系。 1 、 2 是 A 上的 两个代数运算, 把 A 及其代数运算 1 、 2 作为一个整体记作(A, 1 ,
2

), 称(A, 1 , 2 )

为具有两个代数运算的代数体系。 设(A, )是一个代数体系,若 A 中存在元素 e,使对 ? a ? A,都有 e a=a, 则称元素 e 是代数体系(A, )中的一个左恒等元素;如果 A 中存在元素 e,使对 ? a ? A,都有 a e=a,则称元素 e 是代数体系(A, )中的一个右恒等元素。 当 ? e ? A,而且 e 是一个左恒等元素,同时也是一个右恒等元素时,称 e 是 (A, )中的一个恒等元素。 即有 e ? A 是(A, )的恒等元素 ? e a=a=a e( ? a ? A)。 设 e 为代数体系(A, )中的恒等元素。对 a ? A,有元素 a ? ? A,使 a a ? =e,

则称 a ? 是 a 的一个右逆元素;若对 a ? A,有元素 a ? ? A,使 a’ a=e,则称 a ? 是 a 的一个左逆元素。 当 a ? 是 a 的右逆元素,同时也是 a 的左逆元素,则称 a ? 是 a 的一个逆元素。 亦即 a ? 是 a 的逆元素 ? a a ? =e= a ? a (Z,+),(Z,-),(Z,×);(Q,+),(Q,-),(Q,×);(R,+),(R,-),(R,×);(C,+), (C,-), (C,×)等均为有一个代数运算的代数体系, 而(Z,+,×), (Q,+,×), (R,+,×), (C,+,×)等都是有两个代数运算的代数体系。 2)同态与同构 我们要考查有代数运算的集合,讨论代数体系之间的映射,就需要再引进同 态和同构的概念。 定义 3 设(A, ),( A , )是任意两个代数体系, ? 是从 A 到 A 的一个映射, 若对 ? a,b ? A, 有 ? (a b)= ? (a) ? (b), 即 ? 是保持代数运算的, 则称 ? 是从(A, ) 到( A , )的一个同态映射,当 ? 是单射时,称 ? 是单同态。当 ? 是满射时,称 ? 是 满同态。此时也称(A, )与( A , )同态。 定义 4 设(A, ),( A , )是任意两个代数体系,若 ? 是从 A 到 A 的一个双射, 且使得 ? a,b ? A,有 ? (a b)= ? (a) ? (b),则称 ? 是(A, )到( A , )的一个同构映 射。此时,也称(A, )与( A , )同构。 对代数体系(Z,+),映射 ? :n ? -n 是 Z 到自身的一个双射,且 ? 保持加法运 算,即有 ? n,m ? Z,

? (n+m)=-(n+m)= ? (n)+ ? (m)
故 ? 是 Z 到自身的一个同构映射。 一般地,把一个代数体系到自身的同构映射叫做该代数体系的一个自同构。 3)半群与群 定义 5 设 S 是一个非空集合,在 S 上规定一个代数运算“ ”叫做乘法。若 ? a,b,c ? S 有(a b) c=a (b c),即“ ”满足结合律,则称(S, )是一个半群。 若半群(S, )的运算还满足交换律,即 ? a,b ? S 有 a b=b a,则称(S, )是一个 交换半群。 例 (Z, )与(Z,+)均为半群, 且都是交换半群。 同理(Q,+), (Q, ), (R,+), (R, ), (C,+),(C, )也都是半群,且是交换群。 定义 6 设(G, )是一个有单位元的半群,若 G 中每一个元素皆为可逆元,则 称(G, )是一个群。 等价地,设(G, )中的运算“ ”是一个代数体系,若满足一下条件: ①结合律成立: ? a,b,c ? G 有(a b) c=a (b c);

②存在元素 e ? G,使对 ? a ? G 有 e a=a e=a; ③ ? a ? G,都存在 a -1 ? G,使 a a -1 =a -1 a=e。 则称(G, )是一个群,简记为 G。 若群(G, )中的运算还满足交换律,即 a,b ? G 有 a b=b a,则称(G, )是一个 交换群或阿贝尔群。 一般地,把群(G, )的运算“ ”称为乘法。对于某些交换群,按惯例或根据 实际情况,将其运算叫做加法,记作“+” ,同时称(G,+)为加法群。加法群中的 单位元又称为零元,记为 0。任意元素 a 的逆元又称为 a 的负元,记作﹣a。 (Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)都是加法群,而( Q ,+),( R ,+),( C ,+)都是阿贝 尔群。其中 Q , R , C , Z 分别为非零有理数,非零实数,非零复数,非零整数组成 的集合。 4)环与域 定义 7 带有两个二元运算(一个叫做加法,另一个叫做乘法,分别用“+” 和“ ”表示)的代数系(R,+, )如果满足: ①(R,+)是一个加群; ②(R, )是一个半群; ③乘法对加法的左右分配律都成立,即对 ? a,b,c ? R,有 a (b+c)=a b+a c(左分配律) (b+c) a=b a+c a(右分配律) 成立,则称(R,+, )是一个环。在不会引起误解时也可记为 R。 (Z,+, ),(Q,+, ),(R,+, ),(C,+, )都是环,由于它们都是数集关于数的加 法、乘法作成的环,因此称其为数环。 定义 8 设(R,+, )是一个至少含有两个元的环,若其一切非零元所成集合 R* 关于 R 的乘法作成一个群,则称 R 是一个除环(体)。 一个交换的除环叫做一个域。 Q,R,C 都是域,它们都是数域。 整数集 Z 作成一个环,而不作成域。如果在 Z 上再添加所有整数作成的商, 就得到一个包含 Z 的有理数域 Q。 2.自然数集 N 的半群构造 利用自然数“后继”的概念,在 N 中定义两个代数运算:加法和乘法。 加法定义如下:设 m 是任一自然数 (1)m+0=m; (2)假如对任一自然数 n,m+n 已经定义,那么规定 m+ n ? = (m ? n)? 由于 m+1= m? ( m? 为 m 的“后继”),根据数学归纳法,该定义对所有自然数 m,n 都适用。 下面证明加法满足结合律:对任意三个自然数 a,b,c,都有 (a+b)+c=a+(b+c) (1.1.1) ①当 c=0 时, (a+b)+c=(a+b)+0=a+b=a+(b+0)=a+(b+c)

②假设对 c ? N 时(1.1.1)式成立,则对 c ? N 时(1.1.1)式成立,则对 c’有 (a+b)+ c ? = [ (a+b)+c ]? = [ a+(b+c) ]? =a+ (b ? c)? =a+(b+ c ? ) 所以对任何自然数 a,b,c(1.1.1)式成立。 我们证明加法满足交换律:即对任意自然数 a,b,都有 a+b=b+a。 证 对 ? a ? N,都有 a+0=0+a 成立。对 a 进行归纳法证明: ①当 a=0 时,a+0=0+0=0+a,结论成立。 ②假设对 a ? N 时,有 a+0=0+a,则对于 a’有
a? ? 0 ? (a ? 0)? ? (0 ? a)? ? 0 ? a?

故对任何 a ? N 时,有 a+0=0+a 再证 a+b=b+a。 对 b 进行归纳证明: ①当 b=0 时,已证。 ②假设对 b ? N,有 a+b=b+a,则对 b ? 有 a+ b ? = (a ? b)? ? (b ? a)? ? b ? a? =b+(a+1)=b+(1+a)=(b+1)+a= b ? +a 故对自然数 a,b,有 a+b=b+a 成立。 由上可知,自然数 0 具有特殊性质,对于任意自然数 a,都有 a+0=0+a=a, 即 0 为 N 中对加法的单位元。 由定义 5 可知:(N,+)为有单位元的交换半群。 乘法定义如下:对任意自然数 m,n。 (1)m×0=0; (2)m×n’=m×n+m,显然有 m×1=m。 同样根据归纳法,该定义对所有自然数 m,n 都成立,用类似上述方法,可以 证明自然数乘法满足结合律和交换律。 下面证明乘法对加法满足分配律:即对任意 a,b,c ? N,(a+b) c=a c+b c。 证 对 c 进行归纳证明。 ①当 c=0 时,显然成立。 ②假设对 c ? N。有(a+b) c=a c+b c,则对 c’有 (a+b) c’=(a+b) c+(a+b)=a c+b c+(a+b) =a c+(b c+(a+b))=a c+(b c+(b+a)) =a c+((b c+b)+a)=a c+(b c’+a) =a c+(a+b c’)=(a c+a)+b c’ =a c’+b c’ 故对任意自然数 a,b,c 有(a+b) c=a c+b c。得证。 由上可知,自然数 1 具有特殊性质:对任意自然数 a,都有 1 a=a 1=a,因 此,1 是 N 中对乘法的单位元。 又根据半群的定义 5,(N, )也为有单位元的交换半群。 3.半群(N,+)或(N, )扩充为整数环 我们用严格的逻辑程序来完成数系的第一扩充。

1)整数环的定义 定义 9 含有半群 N 的最小环(Z,+, )称为整数环,即(Z,+, )满足 ①(N,+)是(Z,+)的子系统; ②(Z,+, )是环; ③若(Z’,+, )满足上述①、②,则(Z,+, )是( Z ? ,+, )的子系统。 首先应指出,如这样的环(Z,+, )存在,Z 应由全部自然数之差组成,两个自 然数之差暂记为“a-b” ,令 Z ? = ?a ? b a, b ? N? 则( Z ? ,+)为加群。 因为, ? a1-b1,a2-b2,a3-b3 ? Z’(ai,bi ? N,i=1,2,3), [(a1-b1)+(a2-b2)]+(a3-b3)=(a1-b1)+[(a2-b2)+(a3-b3)] 即结合律成立,且 ? a-b ? Z’有 (a-b)+(0-0)=(0-0)+(a-b)=(a-b) 故 0-0 为 Z ? 的单位元,且有 (a-b)+(b-a)=(b-a)+(a-b)=0-0 且 ? a-b ? Z ? ,存在逆元,又交换律成立,所以( Z ? ,+)为加群,又 Z ? 对乘法 满足结合律,可知( Z ? , )为半群。 又由于乘法对加法的左、右分配律也成立,由定义 7 可知(Z,+, )为环。因此 在环 z ? = ?a ? b a, b ? N? 中,任何自然数 a=a-0 ? Z ? ,故 N ? Z ? 。 因此满足条件①、②,而且由 a-b ? Z 知 Z= Z ? 。 显然, 整数环的元素都是自然数的差,但两个自然数的差的具体构作形式并 未规定,可能有这样或那样的构作形式。 我们可以证明这样定义的整数环是存在的,而且在同构的意义下也是唯一 的。 2)整数环的构造 设 M= ?( a, b) a, b ? N? 在 M 中定义加法和乘法对任意(a,b),(c,d) ? M,有 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b) (c,d)=(a c+b d,a d+b c) 由于自然数加法、 乘法满足结合律、 交换律和乘法对加法分配律, 容易验证, 上述序对对加法和乘法也满足结合律、交换律和乘法对加法的分配律。 在 M 中定义关系 : (a,b),(c,d) ? M (a,b) (c,d),当且仅当 a+d=b+c 显然,关系 是自反的,对称的,传递的,因而是等价关系。 考虑商集 Z0,并在 Z0 中定义等价类的加法和乘法,对于任意 ? , ? ? Z0,任意 (a,b) ? ? ,(c,d) ? ? ,且(a+c,b+d) ? V,(ac+bd,ad+bc) ? P。规定 ? +? =V, ? ? =P。

? (a1,b1),(a2,b2) ?? ,则 a1+b2=b1+a2。 ? (c1,d1),(c2,d2)? ? ,则 c1+d2=d1+c2。
则有 (a1,b1)+(c1,d1)=(a1+c1,b1+d1)

(a2,b2)+(c2,d2)=(a2+c2,b2+d2) 而 a1+c1+b2+d2=b1+d1+a2+c2 即 (a1+c1,b1+d1) (a2+c2,b2+d2) 所以类运算的加法与代表元的选择无关, 类似可得类运算的乘法与代表元的 选择也无关。 由序对加法、乘法的运算律知,Z0 中类的加法、乘法满足结合律、交换律和 分配律,且(a,a)所在的类 0 为中 Z0 零元,对任意一类 a ? Z0,若(a,b) ?? ,则(b,a) 在类 ? 是 ? 的负元,故 (a,b)+(b,a)=(a+b,a+b) (0,0) 所以 ? +? =0 ,即 ? =- ? 。 因此,Z0 关于加法构成交换群,又因为 Z0 中乘法满足结合律与交换律,且 对加法满足分配律,故(Z0,+, )是一个交换群。 设 Z= ?a ? b a, b ? N? ,令 f :Z0 ? Z,使对于任意的一个 ? ?Z0,若(a,b) ?? , 则 f ( ? )=a-b 容易验证 f 是 Z0 到 Z 的双射,而 Z0 与 Z 同构。 3)将 N 嵌入到 Z0 记 Z0 中满足(a,b) ?? ,a ? b 的所有类元素所组成的集合为 N1,其余元素所组 成的集合为 N2,于是 Z0=N1 ? N2,令 f :N1 ? N,使对任意 ? ? N1。若(a,b) ?? ,

? =b+c,a,b,c ? N 则 f ( ? )=c。容易证明 f 是(N1,+, )的同构映射,于是 N1 与 N 同
构。 令 Z=N1 ? N2,即将 Z0 中的 N1 取出,将与其同构的 N 嵌入,得到一个新集 合 Z。 下面扩充同构映射 f 。 令

? c, ? ? N1 f (? ) ? ? , (a, b) ? ? , ? ? b ? c. ?? , ? ? N 2
则 f 也是(Z0,+, )到(Z,+, )同构, 整数环 Z 中 N2 的元素 ? , 若其代表元为( ? ,a+c), 当 c ? 0 时,称 ? 为 c 的相反数,记作-c,从而得到通常所说的整数环。 4.将整数环扩充到有理数域 1)有理数域的定义 定义 10 含有整数环(Z,+, )的最小域(Q,+, )称为有理数域, 即 Q 满足如下条 件: ①(Z,+, )是(Q,+, )的子环;

②(Q,+, )是一个域; ③若(Q,+, )满足上述①、②,则(Z,+, )是(Q,+, )的子域。令
a ?a ? Q? = ? a, b ? Z, b ? 0? ,易证 Q? 是域。因为任何整数 a= ? Q’,故 Z ? Q,因此 1 ?b ?

Q’满足条件①、②,而且由

a ? Q 知 Q’=Q。这就说明了如果域(Q,+, )存在,则 b

Q 应全由整数之商组成。 2)构造一个具体的有理数域 设 M= ?( a, b) a, b ? Z , b ? 0? 。在 M 中定义加法和乘法: 对任意(a,b),(c,d) ? M,有 (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd) ? M (a,b) (c,d)=(ac,bd) ? M 其中 b ? 0,d ? 0,故 bd ? 0,容易验证上述整数序对的加法和乘法, 满足结合律、 交换律和分配律。 在 M 中定义关系“ ” :(a,b),(c,d) ? M,(a,b) (c,d),当且仅当 ad=bc。 显然,关系“ ”是自反的,对称的,传递的,因而是等价关系。 考虑商集 Q0,并在 Q0 中定义等价类的加法和乘法。 对于任意 ? , ? ? Q0,(a,b) ?? ,(c,d) ? ? ,且(ad+bc,bd) ? V,(ac,bd) ? P,规 定 ? +? =v, ? ? =P 容易证明这样定义的加法和乘法,与代数元的选取无关,且满 足结合律、交换律、分配律。 (0,1)所在的类 0 是 Q0 中零元,(1,1)所在类 1 是 Q0 中单位元,对任意 ? ?Q0, 若(a,b) ?? ,则 ? 的负元是(-a,b),所在的类,记- ? 。 若(a,b) ?? ,a ? 0,则 ? 的逆元是(b,a)所在的类,记为 ? -1 ,因此由定义可知, (Q0,+, )是域,设(Q,+, )是由所有 Z 中整数的商所组成的域:
?a ? Q= ? a, b ? Z, b ? 0? ?b ?

作映射 f :Q0 ? Q,使 f (a,b)=

a ,则 f 是(Q0,+, )到(Q,+, )的同构映射,所以 b

(Q0,+, )与(Q,+, )是同构的。 3)将整数环(z,+, )嵌入 Q0 Q0 即通常意义下的有理数域 记 Q0 中(a,1),a ? Z 所在的类组成的集合为 Q1,其余元素组成的集合为 Q2, 则 Q0=Q1 ? Q2。 作映射 f :Z ? Q1,使得 f (a)=(a,1),则 f 是(Z,+, )到(Q1,+, )的同构映射, 因而(Z,+, )与(Q1,+, )同构。 令 Q=Z ? Q2,Q 中 Z 的元素为整数,Q2 的元素为分数,则即为通常所说的

有理数域。 5.将有理数域 Q 扩充到实数域 R 1)实数域的定义 定义 11 含有有理数域为其子域的连续域 R 成为实数域。 设 R 的任一元素 a 都是某个有理数基本列 ?an ? 的极限, 则 k ? N, 使 ak ? a <1, 从而 a<1+ ak , 因为 1+ ak 是有理数, 且有理数域是阿基米德序域, 故存在 n ? N, 使 n>1+ ak ,故有 n>a,所以 R 是阿基米德序域。 设 R 是实数域,则对于任意 a ? R,n ? N,存在 m1,,m2 ? N,使 m1 m2
1 1 ? 1 ? >-a,从而(﹣m2) <a,因此集合 A= ?m m ? a, m ? R ? 有上界。 n n n ? ?

1 >a, n

又因 A 非空,故 A 有最大数 m ? N;于是, 令 an=

m m 1 m +1 ,即 0 ? a- < 。 ? a< n n n n

m ,则 ?an ? 是有理数基本列,且 C=R ? C2,, lim an=a,即 R 中任意 n→∞ n 数 a 都是有理数基本列的极限,也就是说,如果 R 存在,它应由所有有理数基 本列组成的序域。 若 R1,R2 是两个实数域,则它们的元素都是有理数基本列的极限,作映射

f :R1 ? R2,是对任意 a ? R1,若 lim an=a; ?an ? 是有理数基本列, ?an ? 在 R2 n→∞

中极限为 a ? ,则 f (a)= a ? ,易知 f 是 R1 到 R2 的同构映射,即 R1 与 R2 同构,所 以,符合定义的实数域在同构意义上是唯一的。 2)构造一个具体的实数域 设 M 是所有有理数基本列的集合,在 M 中定义加法和乘法,以及对任意

?an ? , ?bn ? ? M,
① ?an ? + ?bn ? = ?an +bn ? ; ② ?an ? 凵 ?bn ? = ?an 凵 bn ? ; ③ ?an ? < ?bn ? 当且仅当存在有理数 ? >0,及 n0 ? N,使当 n>n0 时,bn-an> ? ,由有理数的 性质知,上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律,所定义的基本 序列的序是全序。 在 M 中定义关系“凵” ,对任意 ?an ? , ?bn ? ? M,?an ? (an-bn)=a,证“凵”为等价关系。 做商集 R0,在其中定义等价类加法、乘法及序如下:对 ? ? , ? , ?an ? ?? , lim ?bn ? ,当且仅当n→ ∞

?bn ? ? ? 。
①若 ?an ? bn ? ? V,则规定 ? +? =V; ② ?an 凵 bn ? ? P,则规定 ? 凵 ? =P; ③ ?an ? < ?bn ? ,则规定 ? < ? 。 易证这样定义的运算及序与代数元的选择无关,且 R0 中的加法乘法满足结 合律、交换律和分配律。 常数列 ?0? 所在的类为 R0 的零元 0 , ?1? 所在的类为 R0 的单位1 。 若 ?an ? ?? ,则 ?-an ? 所在的类为 ? 的负元记为 -? 。

?1? 若 ?an ? ? 0 (an ? 0),则 ? ? 所在的类为 ? 的逆元,记 ? -1 。 ? an ?
若 ? >0 称 ? 为正元,? <0 称 ? 为负元,对任两正元 ? 、 ? ,存在 n ? N,使 n ? > ? ,因此 R0 为阿基米德序域。 3)嵌入 设 R1 是 R0 所有有理常数列 ?a? 所代表的集合, R2 是 R0 中其余类所组成的集 合,则 R0=R1 ? R2。 作映射 f :R1 ? Q,使 f ??a?? =a,则为 R1 到 Q 的同构映射,即 R1 与 Q 同构, 作集合 R=Q ? R2,则 R 即为通常所说的实数域。 6.将实数域 R 扩充到复数域 C 1)复数域的定义 定义 12 含有实数域 R 和 i(i 具有性质 i 2 ? ?1 )的最小域 C,称为复数域。即 ①域(R,+,*)是(C,+,*)的子域; ② i i 2 ? ?1 ? C; ③若(C,+,*)满足上述①、②,则(C,+,*)是( C ? ,+,*)的子域。 令 C ? = a ? bi a, b ? R,i 2 ? ?1 ,易证 C ? 为域,且任意实数 a=(a+0i) ? C ? ,故 R ? C。因此 C ? 满足上述条件①,②,而且由 a+bi ? C 知 C ? =C。 而且易证所有在此定义下的复数域 C 是同构的。 2)构造一个具体的复数域 作 C0= ?(a, b) a, b ? R ? , 在 C0 中定义加法和乘法, 对任意实数(a,b), (c,d) ? C0,

?

?

?

?

规定
(a, b) ? (c, d ) ? (a ? c, b ? d ) (a, b) ? (c, d ) ? (ac ? cd , ad ? bc)

易证(C;+;*)是域。 3)嵌入 令 C0=C1 ? C2, 其中 C1= ?(a, 0) a ? R ? , C2 由 C1 中其余元素组成。 作映射 f : R ? C1 , 使对每一 a ? R, 都有 f (a)=(a,0), 易证 f 是 R 到 C1 的同构映射, 故(R,+,*) 是(C,+,*)的子域 在传统的中学数学课程中, 代数运算的对象是数,同时数也是中学生知识范 围内所接触到的数学模型的中心对象。但是,现代数学与传统数学的一个重要区 别就是现代数学把数学研究的对象,从“空间形式”与“数量关系”扩充为“模 式与秩序” 。而传统的中学教学缺少这方面的教学内容,难以适应现代科学与文 化发展的需求。新颁布并已开始连续实验实施的《普通高中数学课程标准》里, 在选修系列中增加了这方面的内容。因此,作为中学数学教师,群、环、域的理 论应当是必备的。


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