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同角三角函数的基本关系


同角三角函数的基本关系式
三维目标 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本 关系式进行三角函数的化简与证明. 2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三 角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简 与三角恒等式的证明. 3.通过同角三角函数关系的应用

使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的 能力,树立转化与化归的思想方法. 重点难点 教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 先请学生回忆任意角的三角函数定义, 然后引导学生先计算后观察以下各题的结果, 并 鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式 的值: sin60° sin135° (1)sin290° +cos290° ;(2)sin230° +cos230° ;(3) ;(4) . cos60° cos135° 推进新课 新知探究 提出问题 ①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角 α 应受什么影响? 如图 1,以正弦线 MP、余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形,而且 OP=1.

图1 由勾股定理有 OM +MP =1. 因此 x2+y2=1,即 sin2α+cos2α=1(等式 1). 显然,当 α 的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立. π 根据三角函数的定义,当 α≠kπ+ ,k∈Z 时,有 2 sinα =tanα(等式 2). cosα 这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切. ②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求 出其他的三角函数的值. 活动: 问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系, 然后教师点拨学生 思考这两个公式的用处. 同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件, 及使等式分别有意 义的角的取值范围. 问题②可让学生展开讨论, 点拨学生从方程的角度进行探究, 对思考正确的学生给予鼓 励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”. 应用示例
2 2

4 例 1 已知 sinα= ,并且 α 是第二象限的角,求 cosα,tanα 的值. 5 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题, 明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是 sin2α+cos2α=1,故 cosα 的值最容易求得,在求 cosα 时需要进行开平方运算,因此应根据 角 α 所在的象限确定 cosα 的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题. 解:因为 sin2α+cos2α=1, 4 9 所以 cos2α=1-sin2α=1-( )2= . 5 25 又因为 α 是第二象限角, 所以 cosα<0. 9 3 于是 cosα=- =- , 25 5 sinα 4 5 4 从而 tanα= = ×(- )=- . cosα 5 3 3 8 例 2 已知 cosα=- ,求 sinα,tanα 的值. 17 活动:教师先引导学生比较例 1、例 2 题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边 只能在第二或第三象限. 启发学生思考仅有 cosα<0 是不能确定角 α 的终边所在的象限的,它可能在 x 轴的负半 轴上(这时 cosα=-1). 解:因为 cosα<0,且 cosα≠-1, 所以 α 是 第二或第 三象限 角 .如果 α 是第 二象限 角,那么 sinα = 1-cos2α = 8 15 sinα 15 17 15 1-?- ?2= ,tanα= = ×(- )=- , 17 17 cosα 17 8 8 15 15 如果 α 是第三象限角,那么 sinα=- ,tanα= . 17 8 课堂小结 由学生回顾本节所学的方法知识: ①同角三角函数的基本关系式及成立的条件, ②根据 一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要 注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出). “知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已 知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求 值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题, 并让学生总结本节用到的思想方法.


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