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1.4.3正切函数的性质与图象


1.4.3 正切函数的性质与图象
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象;2.用正切 函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法;2.理解用函数 图象解决有关性质问题的方法; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 教学过程: 一、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的? 切线:

2、练习:画出下列各角的正

. 下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?
? ? ? ? tan ? x ? ? ? ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? , 2 ? ?
? ∴ ? 是 y ? tan x ? ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 的一个周期。 ? 2 ?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判

断。
? ?? 3 .作 y ? tan x , x ? ? ?? , ? 的
? 2 2?

图象

说明: (1)正切函数的最小正 周期不能比 ? 小,正切函数的 最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得 到正切函数
y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。

y
y

3 ? ? 2

?

?
2

? 2
O

?

3 ? 2

x
x

??

0

(3) 正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? ? k ? Z ? 所隔开的无
2

?

穷多支曲线组成的。 4.正切函数的性质 (1)定义域: ? ?x | x ?
?

引导学生观察,共同获得:
?
? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
2
2

( 2)值域: R
tan x ?? ? ??

? 观察:当 x 从小于 k? ? ? ?k ? z ? , x ? ?? k? ? 时,

当 x 从大于 ?
tan x ? ?? ?? 。

2

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

? k?

时,

(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;
? (5)单调性:在开区间 ? ??
? 2 ? k? ,

?

? ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ?

5.讲解范例: 例 1 比较 tan? ?? 解 :
0? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ? a
王新敞
奎屯 新疆

? 13? ? ? tan? ? ? ? ?t ? 4 ?

? n 4

, 单

2? ? 17? ? tan? ? ? ? ? tan 5 ? 5 ?

, ,

?
4

?

2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 5 ? 2? ? tan









? tan

?
4

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

例 2:求下列函数的周期:
?? (1)y ? 3tan ? ?x? ?
? 5?

T ?? 。 答:

?? (2)y ? tan ? ? 3x ? ?
? 6?

答:

T?

?
3


? . ?

说明:函数 y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0? 的周期 T ?

?? 例 3:求函数 y ? tan? ? 3x ? ? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶
? 3?

性、单调性, 解 : 1 、 由 3x ?
?
3 2 k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ? ? k? ?

?

得 x?

k? 5? ? ,所求定义域为 3 18

2、值域为 R,周期 T ? 3、在区间 ? ?

?

3



k? ? k? 5? ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?

思考 1:你能判断它的奇偶性吗? (是非奇非偶函数) ,
? ?? 练习 1:求函数 y ? tan? ? x ? ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
?2 3? ? 略解:定义域: ? ? x | x ? R且x ? k? ? , k ? z ? ? 4 ?

?

值域:R 单调性:在 (k? ?

奇偶性:非奇非偶函数
3? ? , k? ? ) 上是增函数 4 4
王新敞
奎屯 新疆

练习 2:教材 P45 面 2、3、4、5、6 题 解:画出 y=tanx 在(- , )上的图象,在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围为:0<x<
? 2

? 2

? 2

结合周期性,可知在 x∈ R,且 x≠kπ+ 上满足的 x 的取值范 围为(kπ,kπ+ )(k∈Z) 思考 2:你能用图象求函数 y ? tan x ? 3 的定义域吗? 解:由 tan x ? 3 ? 0 得 tan x ? 3 ,利用图象知,所求定义域为
y y
T

? 2

? 2

3

3
? ?

? ?? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? , ? 3 2? ?

亦可利用单位圆求解。

四、小结:本节课学习了以下内容: 1.因为正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? R, x ? k? ? , k ? Z } , 所以它
2 3 的图象被 x ? ? ,? ? ,......等相互平行的直线所隔开,而在相邻平 2 2

?

?

行线间的图象是连续的。 2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π/2,π /2)的区间内的函数的图象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每 次移动的距离是π个单位,就可以得到整个正切函数的图象。 五、作业


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