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湖北省黄梅一中09-10学年高二上学期期中考试(数学理)


二○○九年秋季高二年级期中考试 数学(理)试题
命题人:项 欣 (本试卷共 150 分
只有一个符合题目要求。 ) 1、经过点 ( 2 , 3 ) ,且方向向量 n ? ( , ) 的直线方程为(
3 3 1 4

审题人:蔡圣兵 考试用时 120 分钟。 )

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分

,共 50 分。在每小题所给出的四个选项中,

) D. x ? 4 y ? 10 ? 0 )

A. 4 x ? y ? 5 ? 0

B. 4 x ? y ? 5 ? 0
2 2

C. x ? 4 y ? 14 ? 0

2、已知动点 P ( x , y ) 满足 5 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 3 x ? 4 y ? 11 ,则 P 点的轨迹是( A.直线 B.抛物线 3、在直角坐标系中,方程 ? x ? y ? 1 ? 3 ? 2 x ? x A.一条直线和一个圆 C.一条直线和半个圆
2 2

?

C.双曲线
2

? y ? 0 所表示的曲线为(

?

D.椭圆 )

B.一条线段和一个圆 D.一条线段和半个圆

4、 能够使得圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上恰好有两个点到直线 2 x ? y ? c ? 0 的距离等于 1 的一个 C 值为( A.2
x a
2 2

) B. 5
y b
2 2

C.3
5 4

D. 3 5

5、若双曲线
x 9 ?

?

? ? 1 的离心率为
x 16 y 9

,则两条渐近线的方程为(
x 3 y 4


x 4 y 3

A.

y 16

? 0
2 2

B.
x a y b
2 2

?

? 0

C.

?

? 0

D.

?

? 0

6、设 F1 , F 2 是椭圆

?

?1

( a ? b ? 0 ) 的两个焦点,以 F 1 为圆心,且过椭圆中心

的圆与椭圆的一个交点为 M ,若直线 F 2 M 与圆 F 1 相切,则该椭圆的离心率是(
3 2 2 2



A. 2 ?

3

B. 3 ? 1

C.

D.

7、过双曲线 x ?
2

y

2

? 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A , B 两点,若 AB ? 3 ,则这样

2

的直线 l 有( A.1

)条。 B.2 C.3 D.4

8、设双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0 ) 的半焦距为 c ,直线 L 过 ( a , 0 ), ( 0 , b ) 两点,已知原

点到直线 L 的距离为

3 4

c ,则双曲线的离心率为(



A. 2

B. 2 或

2 3 3

C. 2

D.

2 3

3

9、已知关于 t 的方程 t ? tx ? y ? 0 有两个绝对值都不大于 1 的实数根,则点 P ( x , y ) 在坐
2

标平面内所对应的区域的图形大致是(



A 10、抛物线 y
2

B

C
2 3

D
? ,弦 AB 中点 M 在

? 4 x 的焦点为 F ,点 A , B 在抛物线上,且 ? AFB ?
| MM ? | | AB |

准线 l 上的射影为 M ?, 则

的最大值为(



A.

4 3 3

B.

3 3

C.

2 3 3

D. 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、直线 l : x ?
a 2a
2

?1

y ? 1 ? 0 ( a ? R ) 的倾斜角 ? 的取值范围是



12 、 已知 直线 l 1 : x ? y ? 2 ? 0 , l 2 : 7 x ? y ? 4 ? 0 , 则 l 1 与 l 2 夹 角 的平 分线 方程 为 13、过函数 y= ? 线的条数共有
2 2


4x ? 9 x? 2

的图象的对称中心,且和抛物线 y ? 8 x 有且只有一个公共点的直
2

条. .

14、已知圆 ( x ? 3 ) ? y ? 4 和直线 y ? mx 的交点分别为 P , Q 两点, O 为坐标原点,则
OP ? OQ

的值为

15、设 A ? ?( x , y ) | y ? ? x ? 3 ? , B ? ?( x , y ) | y ? 2 x ? b , b 为常数 (1)b 的取值范围是 .

?, A ?

B ? ? ,则

(2)设 P ( x , y ) ? A ? B ,点 T 的坐标为(1, 3 ) ,若 OP 在 OT 方向上投影的最小值为
? 5 3 ,则 b 的值为



二○○九年秋季高二年级期中考试数学(理)试 题 答 题 卡
二、填空题 11、 12、 13、

14、 15、 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明或演算步骤) 16、若直线 l 过点 P(2,3)并与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1 相切,求直线 l 的方程.
2 2

17、已知双曲线 x ?
2

y

2

? 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两

2

点,并且 A 为线段 PQ 的中点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由.

18、 已知椭圆 G 的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上,离心率为
2 2

3 2

, 两个焦点分别为 F 1 和 F 2 ,

椭圆 G 上一点到 F 1 和 F 2 的距离之和为 12,圆 C k : x ? y ? 2 kx ? 4 y ? 21 ? 0 ( k ? R ) 的 圆心为点 A k . (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ? A k F1 F 2 的面积.

19、过双曲线 C: x ? y
2

2

? 1 的右焦点 F 2 的直线与右支交于 A、B 两点,且线段 A F 2 、

B F 2 的长度分别为 m、n.求证: m ? n ? 2 mn .

20、已知椭圆 C:

x a

2 2



y b

2 2

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 e,直线 l:

y=ex+a 与 x 轴,y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关 于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (1)证明:λ=1-e2; (2)若 ? ?
3 4

,△ PF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程;

(3)确定 λ 的值,使得△ PF1F2 是等腰三角形.

21、已知直线 l : y ? kx ? k ? 1 ,抛物线 C : y ? 4 x ,定点 M(1,1) .
2

(1)当直线 l 经过抛物线焦点 F 时,求点 M 关于直线 l 的对称点 N 的坐标,并判断点 N 是 否在抛物线 C 上; (2)当 k ( k ? 0 ) 变化且直线 l 与抛物线 C 有公共点时,设点 P(a,1)关于直线 l 的对称点 为 Q(x0,y0) ,求 x0 关于 k 的函数关系式 x 0 ? f ( k ) ;若 P 与 M 重合时,求 x 0 的取值范围。

二○○九年秋季高二年级期中考试数学(理)试 题 参 考 答 案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 C 5 C 6 B 7 B 8 D 9 A 10 B

二、填空题 11、 [
?
4 , 3 4

?]

12、 6 x ? 2 y ? 3 ? 0 15、 b ? ? 3 -10

13、2

14、5 三、解答题 16、 (10 分)

解 : 1 ) 若 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 为 l : y ? 3 ? k ( x ? 2) , 因 为 直 线 l 与 圆 (
( x ? 1) ? ( y ? 2 )
2 2

? 1 相切,所以

|5? k | k
2

? 1 .所以 k ?

12 5

. 所以 直 线 l 的 方 程 为

?1

y ?3 ?

12 5

( x ? 2) ,

即 12 x ? 5 y ? 9 ? 0 ………………………………………………………………………6 分 (2)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l: x ? 2 也符合要求. 所以直线 l 的方程为 12 x ? 5 y ? 9 ? 0 或 x ? 2 .………………………………10 分 17、(12 分) 解:设符合题意的直线 l 存在,并设 P ( x 1 , x 2 ) 、 Q ( x 2 , y 2 )
? 2 y1 ? 1 (1) ? x1 ? ? 2 ? 2 y2 ? 2 x ? ? 1 (2) ? 2 2 ?
2





1



? (2)



( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ?

1 2

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ( 3 ) ………3 分

因为 A(1,1)为线段 PQ 的中点, 所以 ?

? x1 ? x 2 ? 2 ( 4 ) ? y1 ? y 2 ? 2 (5 )
k ?

, 将(4)、(5)代入(3)得

x1 ? x 2 ?

1 2

( y1 ? y 2 )

, 则 直 线 l 的 斜 率

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? 2

所 以

y ? 2 x ? 1 ……………8 分

?y ? 2x ?1 ? 2 2 得2x ? 4x ? 3 ? 0 ? 2 y x ? ?1 ? 2 又?







? ? ?8 ? 0

,











线





在。…………………………………………………………12 分 18、(12 分)(1)设椭圆 G 的方程为:
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0 )半焦距为 c;

? 2a ? 12 ? a ? 6 ? 2 2 2 ? 则? c , 解得 ? , ? b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a


x
2


?1.





G











?

y

2

……………………………………………………6 分

36

9

(2 )点 A K 的坐标为 ? ? K , 2 ?
S ?A
F1 F 2

K

?

1 2

? | F1 F 2 | ? 2 ? 6 3

…………………………………………………………

…12 分 19、 (12 分) ① 当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , A (
2 ,1 ) , B ( 2 , ? 1 ),

∴m=n=1∴ m ? n ? 2 mn ……………2 分 ②当直线 AB 的斜率存在时,记双曲线的右准线为 l,作 AA 1 ? l 于 A 1 ,作 BB 1 ? l 于 B 1 , 作 BK ? AA 1 于 K,又记 BK 交 x 轴于 M 点,l 交轴于 C, y B
B1

o

C

M

F
F2

x

A1

K

A

在△ ABC 中

BF BA

2

?

MF AK

2

?

BF BA

2

?

CF

2

? CM

AA 1 ? A 1 K AF

?

CF

2

? BB 1

AA 1 ? BB 1 2 2

①…………………6 分

又由双曲线第二定义有

BF

2

? e ?

2 ?

2

BB 1

AA 1

? BB 1 ?

n , AA 1 ?

2 2

m

2

∴① 式 即 为

n m ? n

?

2 2

n ? m ? n ? 2 mn ………………………………………12 2 n

? 2

2 2 m ?

2

分 (亦可直接设直线方程计算得到) 20、 (14 分) (1)证:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、 B 的 坐 标 分 别
a e



(?

a e

, 0 ), ( 0 , a ). , a ),



M









( x 0 , y 0 ), 由 AM ? ? AB 得 ( x 0 ?

, y0 ) ? ? (

a e

a ? ( ? ? 1) ?x0 ? 所以 ? 因为点 M 在椭圆上,所以 e ? y ? ?a. ? 0

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

? 1,

[

a e

( ? ? 1 )] a
2

2


4

?
2

(? a ) b
2

2

? 1, 所以
2

(1 ? ? ) e
2

2

?

?

2 2

1? e

? 1.

e ? 2 (1 ? ? ) e ? (1 ? ? ) e
2

? 0,
2





?1? ?
3 4

即 ? ? 1 ? e . …………………………4 分

(2)当 ? ? 所
x
2

时, c ? 以

1 2

,所以 a ? 2 c .
2

由△ MF1F2 的周长为 6,得 2 a ? 2 c ? 6 .
2

a ? 2 , c ? 1, b

? a

?c

2

? 3.











?

y

2

? 1 . …………………………8 分

4

3

(3)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90° +∠BAF1 为钝角,要使△ PF1F2 为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|,即
1 2 | PF 1 | ? c .

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 2

| PF 1 | ? d ?

| e(? c) ? 0 ? a | 1? e
2

?

| a ? ec | 1? e
2

? c,



1? e

2

? e.
2

所以 e 2 ?

1 3

, 于是 ? ? 1 ? e

2

?

2 3

.

1? e

即当 ? ?

2 3

时 , △ PF1F2 为等腰三角形. ……………………………………………………14

分 解法二:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90° +∠BAF1 为钝角,要使△ PF1F2 为等腰三角形,必有 |PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 ( x 0 , y 0 ) ,
1 ? y0 ? 0 ? ? ? e ?x ?c 则? 0 x0 ? c ? y0 ? 0 ? e ? a. ? 2 2 ?
(e
2 2

? e ?3 c, ? x0 ? 2 ? e ?1 解得 ? 2 2 (1 ? e ) a ? y ? . 2 ? 0 e ?1 ?
2

由|PF1|=|F1F2|得 [

? 3)c ?1

? c] ? [
2

2 (1 ? e ) a
2

e

e (e
2 2

2

?1

]

2

? 4c ,
2

两边同时除以 4a ,化简得 即当 ? ?
2 3

2

? 1) ?1

2

? e .
2

2 从而 e ?

1 3

, 于是 ? ? 1 ? e

2

?

2 3

.

e

时,△ PF1F2 为等腰三角形. …………14 分
1 2 ,? l : y ? ? 1 2 x? 1 2

21、 (14 分) (1)由焦点 F(1,0)在 l 上,得 k ? ?
1 ? n ?1 ( )( ? ) ? ? 1 ? m ?1 ? 2 设点 N(m,n)则 有: ? , ?m ?1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 2 2 ?
? 4 5 ? (? 3 5 ) ,
2

1 ? m ? ? 1 3 ? 5 解得 ? , ? N ( ,? ) 5 5 ?n ? ? 3 ? 5 ?

N 点不在抛物线 C 上。 (2)把直线方程 x ?
? 相交 ,? ? ? 16 ( ? k 解得 ?1? 2 5 ? k ?
2

………………………………6 分
1 k ? 1 ( k ? 0 ) 代入抛物线方程得: ky
2

y k

?

? 4 y ? 4 k ? 4 ? 0,

? k ? 1) ? 0 , 5 且 k ? 0.

?1? 2

由对称得

? y0 ? 1 ? k ? ?1 ? ? x0 ? a ? x ? a ? y0 ? 1 ? k 0 ? k ?1 ? 2 2 ?

解得 x 0 ?

a (1 ? k ) ? 2 k
2

2

k

2

?1

(?

1? 2

5

? k ?

?1? 2

5

, 且 k ? 0 ) 。………………12 分

当 P 与 M 重合时,a=1
? f (k ) ? x0 ? 1 ? 3k k
2 2

?1

? ?3 ? k

4
2

?1

(?

1? 2

5

? k ?

?1? 2 .

5

, 且 k ? 0 ),

? 函数 x 0 ? f ( x )( k ? R ) 是偶函数 ?当k ? ?1? 2 x0 ? [? 5?2 5 5 5 时 , ( x 0 ) min ? ?

, 且 k ? 0 时单调递减 5 , lim x 0 ? 1,
k?0

5?2 5

,1 )

? ? ? ?? 14 分


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