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样稿 《三角函数、解三角形》部分易错题提醒


《三角函数、解三角形》部分易错题提醒
(315800 浙江宁波北仑职业高级中学)王瑛 三角函数及解三角形是高中数学的重要内容,也是各地高考的热点.但由于这部分内容公式多、概念 广,解题方法与技巧多样,所以经常会出现遗漏条件、忽视范围及忘记分类等等问题,所以针对该部分常 见错误与遗漏,归纳举例如下,望同学们能从中有所收获.

一、三角函数的概念、同角三

角函数的关系式及诱导公式
1. 因“忽视轴线角、象限角表示中k的讨论”而导致错误 【例 1】已知 ? 为第三象限角,则

? 是第 2

象限角, 2? 是第

象限角.

【解析】?? 是第三象限角,即 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?

? k? ?

?
2

?

?

3 ?,k ? Z 2

3 ? k? ? ? , k ? Z , 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? , k ? Z 2 4

当 k 为偶数时,

? ? 为第二象限角;当 k 为奇数时, 为第四象限角; 2 2

而 2? 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上. 【评注】 k 为整数,故不要忘记分奇数与偶数进行讨论.对于 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? , k ? Z , 不要疏忽终边落在 y 轴的非负半轴上这种特殊情况. 【变式】已知 sin ? ? 2 sin ? , tan? ? 3 tan? ,求 cos? 的值. 提示:若 tan a

0 , tan b
2

0 则 cos? ?

3 sin ? 2 sin ? 2 ? ? cos ? ,∴ cos ? ? cos ? .又因为 2 tan? 3 tan ? 3
2

1 6 ?1 ? ?3 ? sin ? ? sin ? ,所以 ? sin ? ? ? ? cos? ? ? 1 ,∴ cos? ? ? .若 tan ? ? 0 , tan? ? 0 ,即 2 4 ?2 ? ?2 ?

? ? ? ? k? ( k ? Z ).此时 cos ? ? ?1 也满足题意,答案为 cos? ? ?
或?1. 2. 因对“三角函数线的方向搞错”而导致错误 【例2】利用单位圆,求y=lg(1- 2cos x)的定义域. 【解析】由 1- 2cos x>0 得 cos x< 2 .如 图 1 , 2

6 4

π 7π 利 用 余 弦 线 可 知 函 数 的 定义域为: x∈(2kπ+ ,2kπ+ )(k∈ Z) 4 4

图1

【评注】余弦线是以原点为起点,以终边与单位圆交点向x轴所引垂线的垂足为终点的一条有向线段 .余弦线若与x轴正方向一致的为正,反之为负. 【变式】已知 sin ? ? sin ? , 那么下列命题正确的是( A.若 ? 、 ? 是第一象限角,则 cos ? ? cos ? , )

B.若 ? 、 ? 是第二象限角,则 tan ? ? tan ? , C.若 ? 、 ? 是第三象限角,则 cos ? ? cos ? , D.若 ? 、 ? 是第四象限角,则 tan ? ? tan ? , 提示:作单位圆,如图 2,OA、OB 分别为角 ? 、 ? 的终边, ∵OC 为 ? 的余弦线,OD 为 ? 的余弦线,则有 cos ? ? cos ? , 知 A 错, 依次判断知选 D. 3.因“忽略同角三角关系的内在联系”而导致错误 【例 3】 已知 sin? ?
图2

y

A B

0

C D

x

m?3 4 ? 2m ? , cos? ? , ? ? ( , ? ) ,求 m 的取值集合. m?5 m?5 2 3 4 ,cos? ? ,与已知矛盾; 5 5

【解析】∵ sin2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,得 m ? 0 或 m ? 8 .①当 m ? 0 时,sin? ? ? ②当 m ? 8 时, sin? ?

12 5 , cos? ? ? ,符合题意.综上, m ? 8 13 13 【评注】此题求解容易出现只考虑了“第二象限‘正弦为正,余弦为负’”,而忽视了 sin? , cos? 之
【变式】 已知 ? 为钝角,且 sin? ? cos? ?

间的内在联系—满足平方关系.

7 ,求 tan ? 的值. 5

提示:将已知式两边平方得 1 ? 2 sin? cos? ?

49 12 3 4 ,即 sin? cos? ? ? .解方程得 sin? ? , cos? ? ? , 25 25 5 5

3 即 tan? ? ? . 4 4.因“忽视对角终边位置的讨论”而导致错误
【例4】若 ? 的终边所在直线经过点 P(cos

3? 3? ,sin ) ,则 sin ? ? 4 4


3? 2 ? , 4 2

【解析】 ∵直线经过二、 四象限, 又点P在单位圆上, 若 ? 的终边在第二象限, 则 sin ? ? sin

若 ? 的终边在第四象限,∴ sin ? ? ?

2 2 ,综上可知 sinα = ? . 2 2

【评注】角的终边为一射线,故当角的终边落在某直线上时,需要我们进行分类讨论.此外,对于角 终边上点的坐标含有参数,求三角函数值的问题,也要注意分类讨论正、负、零. sinx |cosx| tanx 【变式】函 数 y= + + 的 值 域 是 ( ) |sinx| cosx |tanx| A. {- 1, 1} B. {1, 3} C. {1, - 3} D. {- 1, 3} 提示:由条件知终边不能落在坐标轴上,故要分四种情况讨论:(1)当x的终边分别落在第一、二、 三、四象限时,上述函数的值域为{-1,3}.故选D. 5.因对“诱导公式中的符号看象限理解不对”而导致错误 【例5】若 sin ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ?



A. ?

7 9

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

7 9

【解析】 cos?

? ? ? 7 ? 2? ? ? 2? ? = cos[ ? ? ( ? 2? )] =— cos( ? 2? ) =—1+2 sin 2 ( ? ? ) =— .故选 A. 3 3 6 9 ? 3 ?

π 【评注】三角函数的诱导公式可简记为:“奇变偶不变,符号看象限”.这里的“奇、偶”指的是 的 2 倍数的奇偶;“变与不变”指的是三角函数的名称变化;“符号看象限”的含义是:在该题中把整个角

p p ( - 2a ) 看作锐角时, p - ( - 2a ) 所在象限的相应余弦三角函数值的符号. 3 3
【变式】记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? ( )

A.

1? k2 k

B.-

1? k2 k

C.

k 1? k2

D.-

k 1? k2

提示:∵sin80° =

1 ? cos 2 80? ? 1 ? cos 2 (?80? ) =

1? k 2 ,

∴tan100° =-tan80° =-

1? k 2 sin 80? sin 80? - = - .故答案为:B. ? k cos80? cos(?80? )

6.因“忽视由函数值对角大小的精确估值”而导致错误

1 ,求 cos 2? 的值. 3 8 1 【解析】∵ sin ? ? cos ? ? ,两边平方得, sin 2? ? ? 因为 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos? ? 0 ,所以 9 3
【例6】已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos ? ?

?
2

?? ?

3? 3? , ? ? 2? ? , 4 2

8 17 cos 2? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? . 9 9

【评注】求角的大小时,可以根据由三角函数值估算出角的较精确的取值范围,并不断缩小角的范 围. 这样可以有效避免对角的范围进行讨论, 这充分体现了“函数问题, 范围先行 (尤其是三角函数问题) ” 的解题基本原则. 【变式】已知 sin x ? sin y ? ? 2 ,cos x ? cos y ? 2 ,且 x, y 为锐角,则 tan( x ? y) ? ______. 3 3 提示:两 式 平 方 相 加 得 :

cos ? x ? y ? ?

5 x ? s iyn? , ∵ x, y 为 锐 角 , s i n 9

0∴ ,

x? y ,

2 14 s i n? x ? y ? ? 9 2 14 , ∴ 2 14 . sin ? x ? y ? ? ? 1 ? cos ? x ? y ? ? ? t an? x ? y ? ? ? ?? 5 9 cos? x ? y ? 5 9
2

7.因“不理解含 k 区间的意义”而导致错误 【例 7】 求函数 y ? 4 ? x 2 ? lg(2 sin x ? 1) 的定义域.

图3

?? 2 ? x ? 2 ?4 ? x 2 ? 0 ? ? 【解析】由 ? ,如图3,定义域为 ( , 2] , k ? Z ? ?? 5 6 ?2 sin x ? 1 ? 0 ? 6 ? 2k? ? x ? 6 ? ? 2k? ? ? 5 【评注】此题容易造成对 ( ? 2k? , ? ? 2k? ), k ? Z 的理解错误,不理解含 k 区间的意义.要知道这 6 6 是一个“区间集”,是多个(本例为无数多个)区间的统一表达式(如上图3),在解题过程中,同学们 应先将含 k 区间“还原”为数轴上的“区间集”,再进行交并运算.
【变式】 求函数 y ? 9 ? x2 ? lg( 2 cos x ?1) 的定义域;
?9 ? x 2 ? 0 ?? 3 ? x ? 3 ? ? ? ? 提示:由 ? 2 ? ?? ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ,定义域为 (? 4 , 4 ) . ?cos x ? ? 4 ? 4 2 ?

8.因忽视“对字母正负的讨论”而导致错误 π π 【例8】已知函数 f(x)=2asin(2x+ )+a+b 的定义域是[0, ],值域是[-5,1],求 a,b 的值. 6 2 π π π 7 1 π 【解析】∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ π,∴- ≤sin(2x+ )≤1. 2 6 6 6 2 6
? ? ? ? ?b=-5, ?a=2, ?b=1, ?a=-2, ∴(1)当 a>0 时,? 解得? (2)当 a<0 时,? 解得? ?3a+b=1, ?b=-5, ?3a+b=-5, ?b=1. ? ? ? ?

故:a=2,b=-5 或 a=-2,b=1. 【评注】本题中,要注意a的正负不同,最值的表示也是不同的,故应对a分类讨论. 【变式】如函数 f ( x) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为-1,则 a ? ______, b ? _______. 提示:两种情况,分类讨论: a ? 2, b ? 1;或 a ? -2, b ? 1.

二、 三角函数的图象与性质
9.因“忽视三角函数周期公式的适用范围”而导致错误 【例 9】 函数f ?x? ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最小正周期为 A. 2? B. ? C. ( D. )

? 2
? ?

? 4

【解析】利用周期函数的定义求周期,本题直接检验得 f ? x ?

??

? ? f ?x ?, 故T ? 2? 2

?

【评注】此题求周期不易使用公式法,求三角函数周期一般有三种方法: (1)公式法(2)图象法: 对于单个解析式加绝对值的三角函数求周期,多采用画图来确定. (3)定义法: f ( x ? T ) ? f ( x) . 【变式】函数 y ?| sin( 2 x ?

?
3

)?

1 | 的最小正周期是 3

提示:注意别与函数 y ?| sin( 2 x ?

?
3

) 的最小正周期的混淆,采用图象法即可,答案为 ? .

10.因“忽视三角函数中内函数的单调性”而导致错误 【例 10】 y ? 2 sin( A. [ k ?

?
3

? 2 x) 单调增区间为

( B. [k? ?



?

?
12

, k? ?
?
6

5 ? ] , (k ? Z ) 12
] , (k ? Z )

5 11 ? , k? ? ? ] , (k ? Z ) 12 12

C. [ k? ?

?
3

, k? ?

D. [k?

?

?

2 , k? ? ? ] , (k ? Z ) 6 3

π π π 【解析】∵ y=2sin( -2x)=-2sin(2x- ) , 即 求 函 数 y= 2 s i n ( 2 x - 的 )减 区 间 . 3 3 3
故 函 数 y ? 2 s i n( ? 2 x ) 的 增 区 间 为 [k? ?

?

3

5 11 ? , k? ? ? ] , (k ? Z ) .故 选 B . 12 12


【 评 注 求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.


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