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湖北省监利一中2011届高三第一次月考(数学理)


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湖北省监利县第一中学 2011 届高三第一次月考

数学试题(理)
时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的。 1.用数学归纳法证明等式:1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 2n ? n ? (2n ? 1) 时,当 n=1 时的左边等于( A.4
n ??



B.3
n ??

C.2

D.1 ( D.不存在 ( ) ) ) )

2.数列{ an }满足 lim [( 2 n – 1 ) an ] = 2,则 lim ( n an )= A.
1 2

B.

1 3

C.1

3.y = x -ln(1+x) 的单调增区间是 A.(-1 ,0 ) B.( -1 ,+ ? ) x 4.y=x- e 的极大值为 A.1 B. -1

C.(0 ,+ ? ) C. 0

D.(1 ,+ ? ) ( D.不存在
?y 为( ?x

5.在曲线 y ? x 2 ? 1 的图像上取一点(1 ,2)及邻近一点(1+Δ x ,2+Δy ) ,则 A. ?x ?
1 ?2 ?x

B. ?x ?

1 ?2 ?x

C.Δ x +2

D. ?x ?

1 ?2 ?x

6.抛物线 y ? x 2 上点 A 处的切线与直线 3x-y +1= 0 的夹角为 A.(-1,1)
1 1 B. ( , ) 4 16

? ,则点 A 的坐标为( 4
1 1 D.(-1,1)或 ( , ) 4 16



C.(1, 1)

7.函数 y ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? ?2 ? x ? 2 ? 有 A.极大值 5,极小值-27 B.极大值 5,极小值-11 C.极大值 5,无极小值 D.极小值-27,无极大值 8.函数 f (x) 在 x = x0 处连续是 f (x)在 x = x0 处有定义的_____ 条件 ( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要





lim[1 ? (
9.若
n ??

q n ) ] ?1 q ?1 ,则 q 的取值范围为
B.q>-1 1 q?? 2 D.





A.q<-1 C.q>0
x2 ? x ? a 5 ? 2 10.若 x?2 x ? x ? 2 3 ,则 a 的值可以是 lim


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? A.2? B.-2? C.-6? D.6? 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11.猜想 1=1, 1-4 = - (1+2), 1-4+9 = 1+2+3,…… 的第 n 个式子为 。
x2 ? 1 的不连续点是 . x 2 ? 3x ? 2 f ?( x) 13.设函数 f (x) = e2x-2x, 则 lim x ? ___________. x?0 e ? 1

12.函数 y ? f ( x) ?

(ax2 ?

1 x

)4

14.设常数 a>0,

3 lim (a ? a 2 ? ? ? a n ) ? 展开式中 x 的系数为 2 , 则 n?? ____.
3

15.已知函数 f (x) = x3+ax2+bx+a2 在 x = 1 处有极值为 10,则 f (2) = _____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16. (12 分)是否存在自然数 m ,使得 f (n) = (2n+7)· n+ 9 对于任意 n ? N * 都能被 m 整除,若存 3 在,求出 m (如果 m 不唯一,只求 m 的最大值);若不存在,请说明理由。

17. (12 分)已知各项为正数的等比数列 {an } 的首项为 1,公比为 x,前 n 项和为 S n ,设
f ( x) ? lim
n??

Sn ,求 f (x ) 的解析式。 Sn ? 1

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18. (12 分)已知 a>0,函数 f ( x) ?
M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 L,

2 1 ? ax , x ? (0,??) 设 0< x1 < ,记曲线 y= f (x ) 在点 a x

(1)求 L 的方程 (2)设 L 与 x 轴交点为 ( x 2 ,0) ,证明:① 0 ? x2 ?
1 1 1 ; ②若 x1 ? ,则 x1 ? x2 ? 。 a a a

19. (12 分)已知等比数列 {xn } 的各项为不等于 1 的正数,数列 { yn } 满足
yn ? logxn a ? 2, (a ? 0, x ? 1) ,设 y 4 ? 17, y 7 ? 11。

①求数列 { yn } 的前多少项的和最大,最大值是多少? ②设 bn ? 2 y n , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 lim
n??

Sn 的值. 225

20. (13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ?

3 . a
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(1)讨论函数 f (x) 的单调性; (2)若曲线 y ? f (x) 上两点 A.B 处的切线都与 y 轴垂直,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求 实数 a 的取值范围.

21.(14 分)函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f (x) 上的点 P(1, f (1) ) 的切线方程为
y ? 3x ? 1 . (1)若 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x)的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f (x) 在 [?3 , 1] 上最大值; (3)若函数 y ? f (x) 在区间 [?2, 1] 上单调递增,求 b 的取值范

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参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 C 6 D 7 C 8 A 9 D 10 C

二、填空题: 11. 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ? ? (?1) n?1 n 2 ? (?1) n?1 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) 12.x=1, x=2 13.4 14.1 15.11,18 三.解答题: 16.解 f (1) ? 36, f (2) ? 108, f (3) ? 360 .猜想 m 的值应为其最大公约数 36. ① n ? 1 显然正确. ② 设 n=k 时命题正确,即 f (k) = (2k+7)· k+ 9 能被 36 整除. 3 则 n ? k ?1 时 , f (k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 7]· 3k ?1 ? 9 ? 3[(2k ? 7)· 3k ? 9] ? 27 ? 2· 3k ?1 ? 9
? 3[(2k ? 7) ? 3k ? 9] ? 18[(2 ? 1)k ?1 ? 1] 能被 36 整除,

即 n=k+1 时,命题正确。 综合上述,命题对于一切自然数 n(n∈N)均成立。 17.解:当 x=1 时, S n ? n, f ( x) ? lim 当 x>1 时, S n ?

n ? 1, n ?? n ? 1

1? xn ,故 f ( x) ? 1; 1? x
n??

当 0 ? x ? 1 时, lim S n ? 所以 f ( x) ?

1 1 2? x , lim ( S n ? 1) ? ?1 ? , n ?? 1? x 1? x 1? x

1 2? x

?1, ( x ? 1) ? 综上所述 f ( x) ? ? 1 ? 2 ? x , (0 ? x ? 1) ?
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18.解:⑴ 易知, f ?( x) ? ?

1 ? ax1 1 1 ,由此得切线的方程: y ? ? ? 2 ( x ? x1 ) ; 2 x1 x1 x

⑵证明:依题意,在切线 L 的方程中,令 y=0,得
x2 ? x1 (1 ? ax1 ) ? x1 ? x1 (2 ? ax1 ) , 其中 0< x1 <

2 , a

① 由 0< x1 < 所以 0 ? x2 ? ② 当 x1 ?

2 1 1 , x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ,有 x 2 ? 0 及 x2 ? ?a( x1 ? ) 2 ? , a a a

1 1 1 ,当且仅当 x1 ? 时, x2 ? 。 a a a

1 时 ax1 ? 1 , a

1 1 ,所以 x1 ? x2 ? a a 19.解:①易知 { yn } 为等差数列且由已知得 y n ? 25? 2n ,令 y n ? 0 且 yn?1 ? 0 得

因此, x2 ? x1 (2 ? ax1 ) > x1 ,且由①, x2 ?

23 25 故 { yn } 的前 12 项和最大, S12 ? 144 ?n? 2 2

Sn 1 1 为公比的等比数列,所以 lim 25 ? 。 n ?? 2 4 3 2 20.解:由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 3ax( x ? ) . a
② {bn } 是以 223 为首项,以 令 f ?( x) ? 0得x1 ? 0, x 2 ? 当(i)a>0 时, 若 x ? (??,0) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (??,0) 上是增函数;
2 2 若 x ? (0, ) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (0, ) 上是减函数; a a 2 2 若 x ? ( ,??) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 ( ,??) 上是增函数; a a 2 . a

(i i)当 a<0 时,
2 2 若 x ? (??, ) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (??, ) 上是减函数; a a 2 2 若 x ? ( ,0) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 ( ,0) 上是增函数; a a 若 x ? (0,??) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (0,??) 上是减函数. (2)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线 y ? f (x) 上的两点 A.B 的纵坐标为函数的极值,且

函数 y ? f (x) 在 x ? 0, x ?

2 4 3 2 3 处分别是取得极值 f (0) ? 1 ? , f ( ) ? ? 2 ? ? 1 . a a a a a

因为线段 AB 与 x 轴有公共点,所以 f (0) ? f ( ) ? 0 .

2 a

(a ? 1)(a ? 3)(a ? 4) 3 3 ? 0. ? 1)(1 ? ) ? 0 .所以 a a a a3 故 a (a ? 1)(a ? 3)(a ? 4) ? 0, 且a ? 0 .
即 (?
4
2

?

解得 -1≤a<0 或 3≤a≤4.
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即所求实数 a 的取值范围是[-1,0)∪[3,4]. 21.解: (1) 由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 求导数得 f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 2

过 y ? f ( x)上点P(1, f (1)) 的切线方程为:

y ? f (1) ? f ' (1)( x ? 1)即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)( x ? 1)
故?

?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0(1) 即? ?a ? b ? c ? 2 ? 1 ?a ? b ? c ? 3(2)

(2) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 3x ? 4 x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2)
2 2

x
f ?(x) f (x)

-3

(?3, ?2)
+

-2 0 极大 13

2 (?2, ) 3

2 3

2 ( ,1) 3
+

1



0 极小

8

4

f ( x) 极大 ? f (?2) ? (?2) 3 ? 2(?2) 2 ? 4(?2) ? 5 ? 13

f (1) ? 13 ? 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 4

? f ( x)在[?3,1] 上最大值为 13
(3) y ? f ( x)在区间 ?2,1] 上单调递增 [
2 又 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b,由(1)知2a ? b ? 0

? f ?( x) ? 3x 2 ? bx ? b
2

依题意 f ?( x)在[?2,1]上恒有f ?( x) ? 0,即3x ? bx ? b ? 0在[?2,1] 上恒成立.

b ? 1时, f ?( x) 小 ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0 ? b ? 6 6 b ②在 x ? ? ?2时, f ?( x) 小 ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ?b ? 6
①在 x ? ③在 ? 2 ?

b 12b ? b 2 ? 1时, f ?( x) 小 ? ?0 6 12

则0 ? b ? 6.

综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是:b≥0

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