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河南省南阳市2012-2013学年高一上学期期终质量评估数学试题


参考答案
一、选择题 BDCDB 二、填空题 13.19 三、解答题 17.(10 分) 解: (1) a ? BABCD BD

2 14、 ?1,?

15、

2 3 3

16、 ?

? 5 3? ,? ? 12 4 ?

3 ?1

? 时, A ? ? ,4 ? ,? B ? {x | 0 ? x ? 1} , 2 ?2 ?

? A ? B ? ?0,4? ;-------------------------------------------------5 分
(2)? A ? B=? (1)当 A=? 时,有 2a+1 ? a-1 ? a ? -2 (2)当 A ? ? 时,有 2a+1 ? a-1 ? a>-2 又? A ? B ? ? ,则有

1 1 2a+1 ? 0或a-1 ? 1 ? a ? - 或a ? 2 ??2 ? a ? - 或a ? 2 2 2 1 由以上可知 a ? ? 或a ? 2 ,即所求的范围为 2 1 (-?,- ] ? [2,+?).-----------------------------------------10 分 2
18.(12 分) 解: (1)因为 f (?2) ? f (4) , f ( x) max = 2 所以设 f ( x) ? a( x ? 1) ? 2, a ? 0
2

由 f (?2) ? a(?2 ? 1) ? 2 ? ?16 得 a ? ?2
2

所以 f ( x) ? ?2( x ? 1) ? 2 ? ?2 x ? 4 x
2 2

即求函数 y ? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ?2 x ? 4 x ---------5 分
2

即 (2)①当 t ? 1 ? 1 t ? 0时 y ? f ( x) 在 ? t , t ? 1? 单调递增
所以 f ( x) max ? f (t ? 1) ? ?2(t ? 1 ? 1) ? 2 ? ?2t ? 2 -------7 分
2 2

时 ②当 t ? 1 y ? f ( x) 在 ? t , t ? 1? 上单调递减
所以 f ( x) max ? f (t ) ? ?2(t ? 1) ? 2 ? ?2t ? 4t -----------9 分
2 2

③当 t ? 1 ? t ? 1即 0 ? t ? 1 y ? f ( x) 在 ? t ,1? 上单调递增,在 ?1, t ? 1? 上单调递 时 增 所以 f ( x) max ? f (1) ? ?2(1 ? 1) ? 2 ? 2 ---------------------11 分
2

综上所述

f ( x) max
19.(12 分)

? ?2t 2 ? 2, t ? 0 ? ? ?2, 0 ? t ? 1 ? 2 ------------------12 分 ??2t ? 4t , t ? 1

( 1 ) 证 明 : 在 ? ABC 中 , 由 A C ? 3, A B 5 , BC ? 4, ? ABC 为 直 角 三 角 形 , ? ?

? AC ? BC
又? CC1 ? 面ABC ? CC1 ? AC , CC1 ? BC ? C

?

AC ? 面BCC1 ? AC ? BC1 --------------------4 分

(2)证明:连结 B1C 交 BC1 于点 E,则 E 为 BC1 的中点,连结 DE,则在 ? ABC1 中,

DE // AC1 ,又 DE ? 面CDB1 ,
则 AC1 // 面B1CD -------------------------------8 分 (3)在 ? ABC中过C作CF ? AB垂足为F ,由面ABB1 A1 ? 面ABC 知 CF ? 面ABB1 A1

?VA1 ? B1CD ? VC ? A1DB1

S? DA1B1 ?
CF ?

1 1 A1B1 ?AA1 ? 5 ? 4 ? ? 10 2 2

AC ?BC 3 ? 4 12 ? ? AB 5 5 ----------------------12 分 1 12 ?VA1 ? B1CD ? ? 10 ? ? 8 3 5
20.(12 分) 解:由题意知 1 ? x ? 80且x ? N -------------------------1 分 当 1 ? x ? 30 时 y ? 900 x ? 15000 -------------------3 分 当 30 ? x ? 75 时 y ? [900 ? ( x ? 30) ?10]x ? 15000

? ?10 x2 ? 1200 x ? 15000 --------5 分
当 75 ? x ? 80 时 y=450 x ? 15000 ------------------7 分 所以

900x ? 15000,1 ? x ? 30, 且x ? N ? ? y ? ?1200 x ? 10 x 2 ? 15000,30 ? x ? 75, 且x ? N -----9 分 ?450 x ? 15000, 75 ? x ? 80, 且x ? N ?
当 x ? 60或80时 时, ymax ? 21000 元------------10 分 答:旅行团人数是 60 或 80 人时,旅行社利润最大是 21000 元。---12 分 21. (12 分) 解: (1)∵ f ( x) 是 R 上的偶函数, ∴ f (?1) ? f (1) , 又因为 f (?1) ?

e ?1 a 1 1 ? a 2e 2 ? ?1 ? ? a?e ? , a e a?e a ?e

f (1) ?

e a e 2 ? a 2 a 2 ?e 2 ? ? ? a e a ?e a ?e
2

比较两式得, a ? 1 .又 a ? 0, 故a ? 1 . ---------4 分 (2)设 0 ? x 1 ? x 2 ,

f ( x 2 ) ? f ( x 1) ? e x 2 ? ? e x 2 ?e x 1 ?

1 1 ? (e x 1 ? x 1 ) x2 e e

1 1 ? x1 x2 e e 1 ? (e x 2 ?e x 1 )(1 ? x 1 ? x 2 ) e

? e ? 1, 0 ? x 1 ? x 2 , ?e ? e
x2

? e x1 , e

x1?x 2

? 1, 1
x1?x 2

1
x1? x 2

? 1,?1 ?

? (e x 2 ?e x 1 )(1 ?

e 1

?0

e x1? x 2 ? f ( x 2 ) ? f ( x 1) ? 0 ? f ( x 2 ) ? f ( x 1)

)?0

所以 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数 .------------------8 分 (3)? e ?

1 ? f (1),? 不等式可化为f (2 x ? 1) ? f (1) , e

由(2) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,又 f ( x) 是 R 上的偶函数, ,

? f (x) 在 (??,0) 上单调递减,
解得 ? 2 x ? 1 ? ?1, 或2 x ? 1 ? 1, x ? 0, 或x ? 1 , 即所求的解集为 (??,0) ? (1,??) .-----------------12 分 22(12 分) 解: (1)设⊙C 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,则由题得,
2 2 2

?(4 ? a) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ? (?1 ? a) ? (3 ? b) ? r ? a 2 ? (2 3 ) 2 ? r 2 ?
? a ?1 ? a?5 ? ? 解得, ? b ? 0 ,或 ? b ? 4 (与 r ? 5 矛盾,舍去) ?r ? 13 ?r ? 37 ? ?

?⊙C 的方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 13 .------------------------------5 分
(2)? PQ 的斜率为 k ?

3 ? (?2) ? ?1 ,设直线 l 的方程为 y ? ? x ? m ,代入 ?1? 4

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 13 ,得 2 x 2 ? (2m ? 2) x ? m 2 ? 12 ? 0 , (*)
则 ? ? (2m ? 2) ? 8(m ? 12) ? ?4m ? 8m ? 92 ? 0 (※)--------7 分
2 2 2

? x1 ? x 2 ? m ? 1 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 为(*)的根,? ? , m2 x1 ? x 2 ? ?6 ? 2 ?

?以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点 O? OA ? OB ? k OA ? k OB ? ?1
? y1 y 2 ? ? ?1 ,即 x1 ? x2 ? y1 y 2 ? 0 ,-------------------------------9 分 x1 x 2

? x1 ? x2 ? (? x1 ? m)(? x2 ? m) ? 0

? x1 ? x 2 ? m ? 1 ? 即 2 x1 ?x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? 0 ,将 ? 代入得 m2 x1 ? x 2 ? ?6 ? 2 ?
2

m 2 ? 12 ? m(m ? 1) ? m 2 ? 0 , 即 m 2 ? m ? 12 ? 0 , 解 得 m ? 4, 或m ? ?3 ,
----------------------------------------------------------11 分 它们均满足(※) ? m ? 4, 或m ? ?3 均满足题意, ,

?直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0, 或x ? y ? 3 ? 0 .----------------------12 分


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