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带电粒子在有界磁场中的运动


带电粒子在有界磁场的运动

带电粒子在有界磁场中的运动问题,综合 性较强,解这类问题既要用到物理中的洛 仑兹力、圆周运动的知识,又要用到数学 中的平面几何中的圆及解析几何知识 .但 只要准确地画出轨迹图,并灵活运用几何 知识和物理规律,找到已知量与轨道半径r、 周期T的关系,求出粒子在磁场中偏转的角 度或距离以及运动时间不太难。

一.

带电粒子在单边界磁场中的运动
①粒子的入射角和出射角相等 ②如果与磁场边界成夹角θ进入,则运动轨迹所对 的弦长L=2sinθ

v
A

r
O



B
M

2? ? 2?
θ

B

vr
P

v θ

N

v

1.如图所示,一正离子沿与匀强磁场边界成30? 角的 方向,以速度v0射入磁场,已知其电量为q,质量为 m,若磁场足够大,磁感应强度为B,则此正离子在 磁场中的运动半径多大?在磁场中运动的时间是多少? 离开磁场时速度方向偏转了多少?

mv0 r? qB

回旋角等于偏向角等于3000
0

B

300 5 2?m 5?m t? T? ? 0 360 6 qB 3qB
离开磁场时速度方向偏转了3000

r

r v0
30?

30?

思考:求若粒子射出磁场时的位置与射入磁场中的位置之 mv0 间的距离.

d ?r?

qB

2.一个负离子,质量为m,电量大小为q,以速率v垂直 于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中.磁感应 强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于纸面向里. (1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线 OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是
O

v
2?
P

O’ S

B

mv 2mv d ? 2r ? ⑴ r? Bq qB

vt vt Bq ⑵ 2? ? ? ? t r mv m qB 2? 2?m 2?m qB ? 或 t? ?? ? t 2? qB qB 2m

3.如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、 负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v 射入磁场(电子质量为m,电荷为e),它们从磁场中射 出时相距多远?射出的时间差是多少?
B

mv r? eB

2mv r d ? 2r ? 30 M N eB 0 r r 300 5 2?m 5?m O’ t1 ? T? ? 0 360 6 eB 3eB 0 60 1 2?m ?m 4?m t2 ? T? ? ?t2 ? t1 ? t2 ? 0 360 6 eB 3eB 3eB
r
0



4.如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感 应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为 m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各 个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的 相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区 域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的? A
A.
O M 2R R N 2R

B. 2R
O

B
R 2R

M

N

M
D.
O R M 2R

O

N

C.
O
M 2R 2R

2R N

2R

N

解: 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方 向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动 的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、 以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的运动轨迹 如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示

2R

M

2R

O

R

N

5.水平线MN的下方存在垂直纸面向里的磁感应强度 为B的匀强磁场,在MN线上某点O的正下方与O点相 距为L的质子源S,可在纸面内1800范围内发射质量为 m、电量为e、速度为v=BeL/m的质子,质子的重力 不计,试说明在MN线上多大范围内有质子穿出。
M
O N

BeL m mv m ?L r? ? eB eB

B S

O点左右距离O点L的范围内有质子穿出.

M

O B S

N

6.如图,电子源S能在图示纸面360°范围内发射速 率相同的电子(质量为m,电量为e),M、N是足够 大的竖直挡板,与S的水平距离OS=L,挡板左侧是 垂直纸面向里,磁感应强度为B的匀强磁场。 (1)要使发射的电子能到达挡板, M 电子速度至少为多大? (2)若S发射的电子速率为eBL/m 时,挡板被电子击中的范围有多大?

eBL v? 2m
PQ ? (1 ? 3 ) L

S



L

O

N

7.如图,真空室内存在匀强磁场, 磁场方向垂直于纸面向里,磁感 应强度的大小B=0.60T,磁场内 有一块平面感光板ab,板面与磁 场方向平行,在距ab的距离 L=16cm处,有一个点状的放射 源S,它向各个方向发射α粒子,α 粒子的速度都是v=4.8x106 m/s, 已知α粒子的电荷与质量之比 q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图 纸平面中运动的α粒子,求ab上 被α粒子打中的区域的长度.

.
s

a
L

b

解:粒子带正电,故在磁场中 沿逆时针方向做匀速圆周运 动,用R表示轨道半径,有

L

a

mv r? ? 16cm qB
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨 迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在 图中ab上侧与ab相切,则此切点P1 就是该粒子能打中的上侧最远点. 再考虑ab的下侧.任何α粒子在运动中 离S的距离不可能超过2R,以2R为半径、 S为圆心作圆,交ab于ab下侧的P2点,此 即下侧能打到的最远点.

P1

s

N

P P2 ? r ? 2r cos30 0 ? 43.7cm 1

P2

b

8.如图所示,虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交 线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向 垂直纸面向外的匀强磁场。O是MN上的一点,从O点可 以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v的 粒子,粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向,已 知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇,P 到O的距离为L,不计重力和粒子间的相互作用。
(1)求所考察的粒子在磁场中 的轨道半径; (2)求这两个粒子从O点射入 磁场的时间间隔。
M

O

P

N

解:作出粒子运动轨迹如图。 质点在磁场中作圆周运动, 半径为:R=mv/qB
周期为:T=2πm/qB 从O点射入到相遇,粒子1、2的 路径分别为: ORP、OKP 由几何知识: cosθ=L/2R 得:θ=arccos(L/2R) 粒子1运动时间: t1=T/2+T(2θ/2π) 粒子2运动时间:t2=T/2-T(2θ/2π) 故两粒子运动时间间隔: △t=t1 -t2=2Tθ/π=

M

v1
O
θ θ

v2


o1
2θ 2θ



o2

Q1
P

Q2
N

4m .arccos(LBq ) 2mv Bq

二.带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
Q P B P Q Q

v
S
圆心在磁场 原边界上

v
S S

v

圆心在过入射点跟 圆心在过入射点跟跟速 边界垂直的直线上 度方向垂直的直线上
①速度较小时,作圆周运动通过射入点;②速 度增加为某临界值时,粒子作圆周运动其轨迹 与另一边界相切;③速度较大时粒子作部分圆 周运动后从另一边界飞出

①速度较小时,作半圆 运动后从原边界飞出; ②速度增加为某临界值 时,粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切;③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出

量变积累到一定程度发生 质变,出现临界状态.

(1)偏向角(回旋角)θ

v
B

d sin ? ? r
(2)侧移距离y

r

r

r ? d ? (r ? y )
2 2

2

θ

d

(3)时间t

? 2?m m? t? ? 2? Bq Bq

r? m? t? ? v Bq

注意区分“电偏转”和“磁偏转”

1.如图所示,一束电子(电量为e)以速度v垂直射 入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中,穿透磁 场时速度方向与电子原来射入方向的夹角是30? ,则 电子的质量是多大?穿透磁场的时间是多少?

v2 qvB ? m r

r ? 2d

v
B
300

2qBd m? v 2?m 4?d T? ? qB v
30 0 1 4?d ?d t? T? ? 0 360 12 v 3v

r

r

d

2.如图所示,一质子和一α粒子从a点同时以相同的动 能沿垂直于磁场边界,垂直于磁场的方向射入磁场宽度 为d的有界磁场中,并都能从磁场的右边界射出则 · · ·· A、质子和α粒子同时射出 v a ·· · B、质子和α粒子从同一位置射出 C、质子和α粒子不同时射出 · · ·· D、质子和α粒子从不同位置射出 · · ·· 解:先分析两者半径是否相同

p r? ? qB r1 m1 ? r2 m2

m ? qB q q2 1 2 ? ? ?1 q1 4 1

2mE k

(2)再分析两者运动时间是否相同

? ? 2?m m? m t? T? ? ? 2? 2? qB qB q
t1 m1 q2 1 2 1 ? ? ? ? t 2 m2 q1 4 1 2

3.在真空中宽d的区域内有匀强磁场B,质量为m, 电量为e,速率为v的电子从边界CD外侧垂直射入 磁场,入射方向与CD夹角θ,为了使电子能从磁场 的另一侧边界EF射出,v应满足的条件是: A.v>eBd/m(1+sinθ) B C E B.v>eBd/m(1+cosθ) v C.v> eBd/msinθ θ O D.v< eBd/mcosθ ?


B

F D d ? r (1 ? cos? ) v2 思考:求电子在磁场中运动的 ? qvB ? m 最长时间是多长? r eBr eB d 2? ? 2? 2?m 2(? ? ? )m ?v ? ? t? ? m m (1 ? cos? ) 2? eB eB

4.如图所示,相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂 直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场 方向射入,已知粒子速率一定,射入时速度方向与OM 间夹角的范围为0<θ<90? ,不计粒子的重力,则: A.θ越大,粒子在磁场中运动的时间可能越短 B.θ越大,粒子在磁场中运动的路径一定越长 C.θ越大,粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离 一定越小 D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与θ无 M 关 P

ACD

θ v0
O N Q

M

P

O

N

Q

三.带电粒子在矩形边界磁场中的运动

v
o

B

d

圆心在磁场原边界上

①速度较小时粒子作半圆 ①速度较小时粒子作部分圆周运动 运动后从原边界飞出;② 后从原边界飞出;②速度在某一范 速度在某一范围内时从侧 围内从侧面边界飞;③速度较大时 面边界飞出;③速度较大 粒子作部分圆周运动从另一侧面边 时粒子作部分圆周运动从 界飞出。 对面边界飞出。 量变积累到一定程度发生质变,出现临界状态(轨迹与边界相切)

θ v a

B

圆心 在过 入射 点跟 跟速 c 度方 向垂 直的 直线 上

b

1.如图所示,正方形区域abcd中充满匀强磁场,磁 场方向垂直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着 既垂直于ad边又垂直于磁场的方向,以一定速度射入 磁场,正好从ab边中点n射出磁场。若将磁场的磁感 应强度变为原来的2倍.其他条件不变,则这个氢核射 出磁场的位置是 C A.在b、n之间某点 n B.在n、a之间某点 a b C.a点 D.在a、m之间某点 m v B
d c

2.如图所示.长为L的水平极板间,有垂直纸面向内的 匀强磁场,磁感强度为B,板间距离也为L,板不带电, 现有质量为m,电量为q的带正电粒子(不计重力),从左 边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲 使粒子不打在极板上,可采用的办法是: AB A.使粒子的速度v<BqL/4m; O2 B.使粒子的速度v>5BqL/4m; r2 C.使粒子的速度v>BqL/m; v D.使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。 r2
O1 +q

v

粒子擦着上板从左边穿出时,圆 L 心在O1点,有

O2

r1 ?

r2
r2
O1 +q

v qvB ? m r qBr qBL ? v ? qBL 1 v1 ? ? 4m m 4m
2 2 2

4

v

2

v

粒子擦着上板从右边穿出时,圆心在O2点,有

粒子不打在极板上可能从左端穿出,也可能从右端穿出,必须全面分析问题.

5L L 2 r2 ? r ? L ? (r ? ) 4 2 qBr2 5qBL 5qBL v2 ? ? ?v m 4m 4m

rc : rd ? 2a : a ? 2 : 1 ?c : ? d ? : ? ? 1 : 2 2 2 qBr v v? ?r qvB ? m m r qvB d ? 2?m t ? ?v T ?? a ? T? m 2? qB

3.如图,正方形容器处在匀强磁场中,一束电子从a孔垂直于 磁场射入容器中,其中一部分分别从c、d孔射出,则: A.从两孔射出的电子速率之比为vc:vd=2:1 ABD B.从两孔射出的电子在容器中运动所用的时间之比为tc:td=1:2 C.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比为 ac:ad= 2:1 D.从两孔射出的电子在容器中运动的半径之比为rc:rd=2:1 ? a· v b

B

c

思考:要想使电子从射到ad边上,电子的速度应满 足什么条件?射到cd边上呢?

4. 某同学设计了一个测定带电粒子比荷的实验,实 验装置如图所示。abcd是一个长方形盒子,在ad边和 cd边上各开有小孔f和e,e是cd边上的中点,荧光屏M 贴着cd放置,能显示从e孔射出的粒子落点位置。盒子 内有一方向垂直于abcd平面的匀强磁场,磁感应强度 大小为B。粒子源不断地发射相同的带电粒子,粒子的 初速度可忽略。粒子经过电压为U的电场加速后,从f 孔垂直于ad边射入盒内。粒子经磁场偏转后恰好从e孔 射出。若已知fd=cd=L,不计粒子的重力和粒子之间 的相互作用力。请你根据上述条件求出带电粒子的比 a b 荷q / m。
f

v
e M

d

c

解:带电粒子经电场加速

2qU 1 2 qU ? mv ? v ? m 2
粒子进入磁场后做匀速圆周运动,轨迹如图。 设圆周半径为R ,在三角形ode中 ,有

f

v

R
O R d e

5 L 2 2 ( L ? R) ? ( ) ? R ? R ? L 2 8
2



v2 qvB ? m R

联立求解,得

q 128U ? 2 2 m 25B L

5.如图所示,一足够长的矩形区域abcd内充满方向 垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场,在 ad边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹 角θ=300 、大小为v0的带电粒子,已知粒子质量为 m、电量为q,ab边足够长,ad边长为L,粒子的重 力不计。求:⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大小 范围。⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制, 求粒子在磁场中运动的最长时间。

a
O V0

b

d

c

L L 0 ? r1 (1 ? sin 30 ) r1 ? 2 3

qBr qBL 1 v1 ? ? m 3m

a
600

b
300

r2 ? L

O

θ d

V0

qBr2 qBL v2 ? ? m m qBL qBL ?v? m c 3m
0

300 5 2?m 5?m t? T? ? 0 360 6 qB 3qB

2θ θ
V0



四.带电粒子在圆形边界磁场中的运动
O’

r r
v
O

r
v
2?

r
?
B
O

v
2?

?

v

B 入射速度方向指向匀 强磁场区域圆的圆心, 刚出射时速度方向的 反向延长线必过该区 域圆的圆心.

1.圆形区域内存在垂直纸面的半径为R的匀强磁场, 磁感强度为B,现有一电量为q、质量为m的正离子 从a点沿圆形区域的直径射入,设正离子射出磁场 区域的方向与入射方向的夹角为600,求此离子在 磁场区域内飞行的时间及射出的位置。 y 0
O’

v
y P(x y)

60 1 2?m ?m t? T? ? 0 360 6 qB 3qB 1 0 x ? R cos 60 ? R 2

v

o? O
B

x

3 y ? R sin 60 ? R x 2
0

1 3 P ( R, R) 2 2

2.在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场.从磁 场边缘A点沿半径方向射人一束速率不同的质子,对 这些质子在磁场中的运动情况的分析中,正确的是: A.运动时间越长的,在磁场中通过的距离越长 BC B.运动时间越短的,其速率越大 C.磁场中偏转角越小的,运动时间越短 D.所有质子在磁场中的运动时间都相等

v0
A

?
B

2?m T? ?k qB
O4 O3 O2 O1

mv r? ?v qB
半径越大,偏向角θ越小. 圆心角等于偏向角θ

? t? T ?? 2?

3.在直角坐标系xOy中,有一半径为R的圆形磁场区 域,磁感强度为B,磁场方向垂直xOy平面指向纸内, 该区域的圆心坐标为(R,0)。如图所示,有一个质 量为m、带电量为-q的离子,由静止经匀强电场加 速后从点(0,R/2)沿x轴正方向射入磁场,离子从 射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离,不计重力 影响。求: ⑴.离子在磁场区域经历的时间。⑵.加速 电场的加速电压。 y

60 1 2?m ?m t? T? ? 0 360 6 qB 3qB qBr 2qBR ? r ? 2R v ? m m2
0

R/2 ?
·

B
? O1

O

x
R

r
600 O2

2 1 2 2qB R qU ? mv U ? 2 m

r

4、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度 为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场,与区域边 缘的最短距离为L的O'处有一竖直放置的荧屏MN, 今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO'方向垂 直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之P点,如图 所示,求O'P的长度和电子通过磁场所用的时间
M L

v
A



?
B P

O'

B

N

2 tan( ) A 2eBrmv 2 ? tan? ? ? m 2v 2 ? e 2 B 2 r 2 ? 1 ? tan2 ( ) 2 R 2 2( L ? r )eBrmv O' P ? ( L ? r ) tan? ? 2 2 2 2 2 m v ?e B r

r eBr tan( ) ? ? 2 R mv ?

?

M

L

v



?
B P

O'

B

R

N

2eBrmv ? ? arctan( 2 2 2 2 2 ) m v ?e B r
?R

O1

m 2eBrmv t? ? arctan( 2 2 2 2 2 ) v eB m v ?e B r

5.一匀磁场,磁场方向垂直于xy平面,在xy平面上,磁场分 布在以O为中心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷 量为q的带电粒子,由原点O开始运动,初速为v,方向沿x 正方向.后来,粒子经过y轴上的P点,此时速度方向与y轴 的夹角为300,P到O的距离为L,如图所示.不计重力的影 响.求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半 径R. 2
解:

v qvB ? m L ? 3r r mv 3mv ?B ? ? qr qL
0

300 y

P L
r r

A
vR

3 R ? 2r cos30 ? L 3

0

6.如图所示,一个质量为m、电量为q的正离子,在小 孔S处正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。 圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度的大 小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点 射出,求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内 壁碰撞时无能量和电量损失,不计粒子的重力。
解:粒子经过与圆筒发生n(n=2,3,4……) 次与圆筒碰撞从原孔射出,其在圆筒磁场 中运动的轨迹为n+1段对称分布的圆弧, 每段圆弧的圆心角为
B R
O . v
0
·

2? ? ?? ? (n ? 1)

正离子在磁场中运动的时间

2? ?? ? (n ? 1) 2?m (n ? 1)?m t ? (n ? 1) T ? (n ? 1) ? 2? 2? qB qB

S

n?2

n ?1 2? ? ?? ? (n ? 1)

r ? R tan

?
R

B

r
O’

O . v
0
·

?

r

2? ?总 ? n ? 1)(? ? ( ) ? (n ? 1)? n ?1

S

t?

?总r
v

?

(n ? 1)?R tan v

?
n ?1
n?2

7.如图所示,在半径为R的圆筒内有匀强磁场,质量 为m、带电量为q的正离子在小孔S处,以速度v0向着 圆心射入,施加的磁感应强度为多大,此粒子才能在 最短的时间内从原孔射出?(设相碰时电量和动能均 无损失) B
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒 碰撞从原孔射出,其运动轨迹具 有对称性.当发生最少碰撞次数 n=2时 0 R

r
O’

O . v
0
·

r ? R cot 30 ? 3R v2 mv0 mv0 qvB ? m B? ? r qr 3qR 1 ?m 3?R t ? 3? T ? ? 6 qB v0
0

? ? 60

?

r

S

当发生碰撞次数n=3时

? ? 90
r' ? R

B

0

R

v qvB ? m r

2

r

O . v
0
·

mv0 mv0 B' ? ? qr' qR

O’

r

S

1 2?m 2?R t' ? 4 ? T ' ? ? ?t 4 qB' v0
可见发生碰撞次数越多,所用时间越长,故当n=2时所用 时间最短

r ? R cot 30 0 ? 3R

B
R

v qv0 B ? m r mv0 mv0 B? ? rq 3Rq
2?m 2 3?R T? ? qB v0

2 0

r
O’

O . v
0
·

?

r

S

思考:求碰撞次数n=2时粒子在磁场中运动的时间.

1 1 2 3?R 3?R t ? 3? T ? ? 6 2 v0 v0

8.一带电质点,质量为m,电量为q,重力忽略不计, 以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入.如图中第一 象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂 直于ox的速度射出,可在适当的地方加一垂直于xy平 面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一 个圆形区域内,求这圆形磁场区域的最小半径.

v qvB ? m r
mv r? qB

2

y

a
O

v
b
O’

x

2r 2mv R? ? 2 2qB

v


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