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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第八节 曲线与方程课件 理 新人教A版


第八节

曲线与方程

1.曲线与方程
在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的 点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程的实数解建立了如下 的关系:

(1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 ;
(2)以这个方程的解为坐标的点都 在曲线上 .

那么,这个方程叫做曲

线的方程;这条曲线叫做方程的曲 线. 2.曲线的交点
设曲线 C1 的方程为 F1(x,y)=0,曲线 C2 的方程为 F2(x, ? ?F1?x,y?=0, ? y)=0, 则 C1, C2 的交点坐标即为方程组 ? ?F2?x,y?=0的实数解, 若此方程组无解,则两曲线无交点.

1.曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,前者 指曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围).
2. 求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹 性”的影响.

[试一试]
若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的 轨迹为 A.圆 C.双曲线 B.椭圆 D.抛物线 ( )

解析:依题意知,点 P 到直线 x=-2 的距离等于它到点(2,0)的距 离,故点 P 的轨迹是抛物线.

答案:D

1.求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系;
(2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y);

(3)列式——列出动点 P 所满足的关系式;
(4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将 其转化为关于 x,y 的方程式,并化简;
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

2.求轨迹方程的常用方法

(1)直接法: 直接利用条件建立 x, y 之间的关系或 F(x, y)=0;
(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程 ——先根 据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数; (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再 由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

(4)代入转移法:动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0,y0)的变 化而变化,并且 Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用 x,y 的代 数式表示 x0,y0,再将 x0,y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程.

[练一练]
(2013· 中山模拟)平面上有三个点
? y? A(-2, y), B?0,2?, C(x, y), 若 AB ? ?

⊥ BC ,则动点 C 的轨迹方程为________.
? ? y? y? BC =0, 解析:AB =?2,-2?,BC =?x,2?, 由 AB ⊥ BC , 得 AB · ? ? ? ?



? y? y 2x+?-2?·=0, ? ?2

∴动点 C 的轨迹方程为 y2=8x.

答案:y2=8x

1.已知点 O(0,0),A(1,2),动点 P 满足|OP + AP |=2,则 P 点的轨 迹方程是 A.4x2+4y2-4x-8y+1=0 B.4x2+4y2-4x-8y-1=0 C.8x2+8y2+2x+4y-5=0 D.8x2+8y2-2x+4y-5=0 ( )

解析:设 P 点的坐标为(x,y),则 OP =(x,y), AP =(x-1,y -2), OP + AP = (2x-1,2y-2).所以 (2x-1)2+(2y- 2)2=4, 整理得 4x2+4y2-4x-8y+1=0.

答案:A

2.(2014· 深圳调研)已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面 上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q, 且 QP · QF =

FQ ,则动点 P 的轨迹 C 的方程为 FP ·
A.x2=4y C.x2=2y B.y2=3x D.y2=4x

(

)

解析:设点 P(x,y),则 Q(x,-1).∵ QP · QF = FP · FQ , ∴(0,y+1)· (-x,2)=(x,y-1)· (x,-2),即 2(y+1)=x2-2(y -1),整理得 x2=4y,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2=4y.

答案:A

[类题通法]
由曲线方程讨论曲线类型的关键是确定参数的分段值、参 数分段的确定标准,一般有两类:

(1)二次项系数为 0 的值.
(2)二次项系数相等的值.

[典例] (2013· 新课标Ⅰ)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N: (x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.

(1)求 C 的方程;
(2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A, B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

[解]

由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1=1;圆 N

的圆心为 N (1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x , y),半径为 R . (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以 |PM |+|PN |=(R +r1)+(r2-R )= r1+r2=4.

此 式 很 关 键

由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M ,N 为左、右焦点,长 x2 半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外),其方程为 + 4 y2 =1(x ≠- 2). 3

易漏掉x≠-2 的情形!

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R- 2≤2,所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3. 若 l 的倾斜角不为 90° ,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l |QP| R 与 x 轴的交点为 Q,则 = ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l: |QM| r1 |3k| 2 y=k(x+4).由 l 与圆 M 相切得 2=1,解得 k=± 4 . 1+ k

遗漏掉倾斜角为90°的情形!

2 2 x2 y2 当 k= 时,将 y= x+ 2代入 + =1,并整理得 7x2 4 4 4 3 +8x-8=0, -4± 6 2 解得 x1,2= .所以|AB|= 7 18 1+k |x2-x1|= . 7
2

2 18 当 k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= . 4 7 18 综上,|AB|=2 3或|AB|= . 7

本例中圆 M,N 方程分别变为“圆 M:(x+4)2+y2=2; 圆 N:(x-4)2+y2=2”其余条件不变,求 C 的方程.
解:设动圆 P 的半径为 r, ∴|PM|=r+ 2,|PN|=r- 2. ∴|PM|-|PN|=2 2,又 M(-4,0),N(4,0), ∴|MN|=8. ∴2 2<|MN|.

由双曲线定义知,P 点轨迹是以 M、N 为焦点的双曲 线的右支. ∵a= 2,c=4, ∴b2=c2-a2=14. x2 y2 ? ? ∴方程为 - =1??x≥ 2??. 2 14

[类题通法]
1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接 写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.

2.定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线,其方程 是什么形式的方程的情况. 利用条件把待定系数求出来, 使问题得 解.

[针对训练]
已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点的椭圆经过 A, B 两点,则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是
2 x A.y2- =1(y≤-1) 48 2 x B.y2- =1(y≥1) 48

(

)

y2 C.x - =1(x≤-1) 48
2

y2 D.x - =1(x≥1) 48
2

解析:由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又∵|AF|+|AC| =|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的下支.又 c=7,a=1,b2
2 x =48,∴点 F 的轨迹方程为 y2- =1(y≤-1). 48

答案:A

x2 y2 [典例] 已知椭圆 + =1 上任一点 P, 由点 P 向 x 轴作垂线 PQ, 4 9 垂足为 Q,设点 M 在 PQ 上,且 PM =2 MQ ,点 M 的轨迹为 C.
(1)求曲线 C 的方程;

借助 此式用点M坐标表示点P 坐标,代入椭圆方程求解!

[解 ] (1)设 M (x , y)是曲线 C 上任意一点,因为 PM ⊥x 轴, PM = 2 MQ ,所以点 P 的坐标为(x,3y). x 2 y2 x 2 3y 2 又点 P 在椭圆 + =1 上,所以 + =1,因此曲线 C 的方程是 4 9 4 9 x2 2 +y =1. 4

x2 y2 [典例] 已知椭圆 + =1 上任一点 P, 由点 P 向 x 轴作垂线 PQ, 4 9 垂足为 Q,设点 M 在 PQ 上,且 PM =2 MQ ,点 M 的轨迹为 C.
(2)过点 D(0,-2)作直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 N 是过
? 4? 点?0,-17?且平行于 ? ?

x 轴的直线上一动点, 满足 ON = OA + OB (O 为

原点),问是否存在这样的直线 l,使得四边形 OANB 为矩形,若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在说明理由.

怎样设直线l的方程?

能否判断四边形 OANB的形状?

[解] (2)当直线 l 的斜率不存在时,显然不满足条件,所以设直 线 l 的方程为 y=kx-2,直线 l 与椭圆交于 A (x 1,y1),B (x 2,y2)两点, y=kx -2, 由 x 2+y2=1, 4 得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0,

16k 12 故 x 1+x 2= , x x = . 1 2 2 2 1+4k 1+4k

为下面判断直 线存在与否提 供依据!

3 3 3 由Δ=162k 2-48(1+4k 2)>0 得 k 2> ,即 k > 或 k <- . 4 2 2 因为 ON = OA + OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形.

假设平行四边形 OANB 是矩形,则 OA · OB =0, 即 x 1x 2+y1y2=x 1x 2+k 2x 1x 2-2k (x 1+x 2)+4 =(1+k 2)x 1x 2-2k (x 1+x 2)+4=0, 所以(1+k 2)· 12 16k 2=4,k =±2. - 2 k · + 4 = 0 , k 1+4k 2 1+4k 2

设 N (x 0,y0),由 ON = OA + OB 得 y0=y1+y2=k (x 1+x 2)-4 16k 2 4 4 = - 4 =- ,即 N 点在直线 y =- 上, 2 17 17 1+4k 故存在四边形 OANB 为矩形,直线 l 的方程为 y=±2x -2.

[类题通法]
代入法也叫坐标转移法,是求轨迹方程常用的方法,其题目特征 是:点 P 的运动与点 Q 的运动相关,且点 Q 的运动有规律(有方程), 只需将 P 的坐标转移到 Q 的方程中,整理即可得 P 的轨迹方程.

[针对训练]
x2 y2 P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐 a b 标原点, OQ = PF1 + PF2 ,则动点 Q 的轨迹方程是________.
解析:由 OQ = PF1 + PF2 ,又 PF1 + PF2 = PM =2 PO =-2OP ,设
? x y? 1 1 Q(x,y),则 OP =- OQ =- (x,y)=?-2,-2?, 2 2 ? ?

即P

? x y? 点坐标为?-2,-2?,又 ? ? ? x? ?- ?2 ? 2? ? y? ?- ?2 ? 2?
2

P 在椭圆上,
2

则有

a2



b2

2 2 x y x y =1,即 2+ 2=1. 答案:4a2+4b2=1 4a 4b

[ 课堂练通考点]
1.(2013· 洛阳模拟) 设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴 和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点, 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点.若 BP =2 PA,且 OQ · AB =1,则点 P 的轨迹 方程是 ( )

3 2 A. x +3y2=1(x>0,y>0) 2 3 2 C.3x - y =1(x>0,y>0) 2
2

3 2 B. x -3y2=1(x>0,y>0) 2 3 2 D.3x + y =1(x>0,y>0) 2
2

解析:设 A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由 BP =2 PA,得(x,y 3 -b)=2(a-x,-y),即 a= x>0,b=3y>0.点 Q=(-x,y), 2 故由 OQ · (-a,b)=1,即 ax+by=1.将 a, AB =1,得(-x,y)· 3 2 b 代入 ax+by=1 得所求的轨迹方程为 x +3y2=1(x>0, y>0). 2

答案:A

2. (2013· 合肥模拟)如图所示,A 是圆 O 内一定点,B 是圆周上一 个动点, AB 的中垂线 CD 与 OB 交于 E, 则点 E 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 B.椭圆 D.抛物线 )

解析:由题意知,|EA|+|EO|=|EB|+|EO|=r(r 为圆的半径)且 r >|OA|,故 E 的轨迹为以 O,A 为焦点的椭圆,故选 B .

3. (2013· 佛山模拟 ) 在△ ABC 中, A 为动点, B, C 为定点,
? a ? ?a ? B?-2,0?,C?2,0?(a>0),且满足条件 ? ? ? ?

1 sin C-sin B= sin A, 2

则动点 A 的轨迹方程是________.
|AB| |AC| 1 |BC| 解析:由正弦定理: - = × , 2R 2R 2 2R 1 a 即|AB|-|AC|= |BC|,故动点 A 是以 B,C 为焦点, 为实轴长 2 4 的双曲线右支. 16x2 16y2 答案: 2 - 2 =1(x>0 且 y≠0) a 3a

x y 4 .直线 a + = 1 与 x , y 轴交点的中点的轨迹方程是 2-a __________.

x y 解析:直线a+ =1 与 x,y 轴的交点为 A(a,0),B(0, 2-a a a 2-a),设 AB 的中点为 M(x,y),则 x= ,y=1- ,消 2 2 去 a,得 x+y=1.∵a≠0 且 a≠2,∴x≠0 且 x≠1.
答案: x+y=1(x≠0 且 x≠1)

5. 已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动 圆的圆心为点 C.
(1)求动点 C 的轨迹方程;
(2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于 P, Q 两点, 交直线 l1 于点 R, 求 RP · RQ 的最小值.

解:(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x2=4y.

(2)由题意知, 直线 l2 的方程可设为 y=kx+1(k≠0), 与抛物线方程 联立消去 y,得 x2-4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k, x1x2=-4. 2 又易得点 R 的坐标为(-k,-1), 2 2 RQ =(x1+k,y1+1)· ∴ RP · (x2+k,y2+1) 2 2 =(x1+k)(x2+k)+(kx1+2)(kx2+2)

2 4 =(1+k )x1x2+(k+2k)(x1+x2)+ 2+4 k
2

2 4 =-4(1+k )+4k(k+2k)+ 2+4 k
2

1 =4(k + 2)+8. k
2

1 ∵k + 2≥2,当且仅当 k2=1 时取等号, k
2

RQ ≥4×2+8=16,即 RP · RQ 的最小值为 16. ∴ RP ·


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