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高中数学常见不等式典型例题解析


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一.不等式的性质: 1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若 a ? b ,c ?d ,则 a ? c ? b ? d (若 ,但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ) 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但 不能相乘:

若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,则

a b ? ) ; c d n n 3. 左右同正不等式: 两边可以同时乘方或开方: 若a ? b ? 0, 则a ? b 或 n a ? n b ; 1 1 1 1 4.若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? ;若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? 。如 a b a b (1)对于实数 a, b, c 中,给出下列命题:
① 若a ? b, 则ac ? bc ;
2 2

② 若ac ? bc , 则a ? b ;
2 2 2

③ 若a ? b ? 0, 则a ? ab ? b ;
2

④ 若a ? b ? 0, 则

1 1 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b
⑤ 若a ? b ? 0, 则 其中正确的命题是______ (答:②③⑥⑦⑧) ; (2)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ (答: 1 ? 3x ? y ? 7 ) ; (3)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则

c 的取值范围是______ a
(答: ? ?2, ? ? )

? ?

1? 2?

二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式) ; 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如 (1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较

1 t ?1 log a t和 log a 的大小 2 2 1 t ?1 ( 答 : 当 a ? 1 时 , log a t ? log a ( t ?1 时 取 等 号 ) ; 当 0 ? a ?1 时 , 2 2 1 t ?1 log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ) ; 2 2 2 1 (2)设 a ? 2 , p ? a ? , q ? 2 ? a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小 a?2 (答: p ? q ) ; (3)比较 1+ logx 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小

(答:当 0 ? x ? 1 或 x ?

4 4 时, 1+ logx 3 > 2log x 2 ;当 1 ? x ? 时, 1+ logx 3 < 3 3

2log x 2 ;当 x ?

4 时,1+ logx 3 = 2log x 2 ) 3

三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到: “一正二定三相等,和定积最大,积定 和最小”这 17 字方针。如 (1)下列命题中正确的是 A、 y ? x ? B、 y ?

1 的最小值是 2 x x2 ? 3

x2 ? 2

的最小值是 2

4 ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x
C、 y ? 2 ? 3 x ? (答:C) ; (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______
x y

(答: 2 2 ) ; (3)正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为______ x y
(答: 3 ? 2 2 ) ;

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右的运算 2 2 1?1 a b 2 2 2 结构选用) ; (2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等 b b?m 号) ; (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。如 a a?m 如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________ (答: ?9, ?? ? )
4.常用不等式有: (1) 五.证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商) 后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出结论。).

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 k ?1 ? k ? ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 2 2 2 2 2 2 如(1)已知 a ? b ? c ,求证: a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca ; 2 2 2 2 2 2 (2) 已知 a, b, c ? R ,求证: a b ? b c ? c a ? abc(a ? b ? c) ; 1 1 x y ? ? (3)已知 a, b, x, y ? R ,且 ? , x ? y ,求证: ; a b x?a y ?b a?b b?c c?a lg ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c ; (4)若 a、 b、 c 是不全相等的正数, 求证: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (5)已知 a, b, c ? R ,求证: a b ? b c ?c a ? abc(a ? b ? c) ;
常用的放缩技巧有:
2 * (6)若 n ? N ,求证: (n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ?

n2 ?1 ? n ;

|a|?|b| |a|?|b| ; ? | a ?b| | a?b| 1 1 1 (8)求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 。 2 3 n
(7)已知 | a |?| b | ,求证: 六.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积, 并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最 大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x ) 的符号变化规律,写出不等式的解集。如 (1)解不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 。 (答: {x | x ? 1 或 x ? ?2} ) ; (2)不等式 ( x ? 2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____ (答: {x | x ? 3 或 x ? ?1} ) ; ( 3 ) 设函数 f ( x ) 、 g ( x) 的定义域都是 R ,且 f ( x ) ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? 2} ,

g ( x) ? 0 的解集为 ? ,则不等式 f ( x)?g ( x) ? 0 的解集为______
(答: (??,1) ? [2, ??) ) ; (4)要使满足关于 x 的不等式 2 x ? 9 x ? a ? 0 (解集非空)的每一个 x 的值至少满
2

足不等式 x ? 4 x ? 3 ? 0和x ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个,则实数 a 的取值范围是______.
2 2

(答: [7,

81 )) 8

七.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子 分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不 等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 (1)解不等式

5? x ? ?1 x ? 2x ? 3
2

(答: (?1,1) ? (2,3) ) ;

(2)关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) ,则关于 x 的不等式 集为____________ 八.绝对值不等式的解法: 1.分段讨论法(最后结果应取各段的并集) :如解不等式 | 2 ? (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合;如解不等式 | x | ? | x ? 1|? 3

ax ? b ? 0 的解 x?2

(答: (??,?1) ? (2,??) ).

3 1 x |? 2? | x ? | 4 2

(答: x ? R ) ;

(答: (??, ?1) ? (2, ??) ) (4)两边平方:如 若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 (答: { } ) 九.含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关 键. ”注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?” 。注意:按参数讨论,最后应按 参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. 如 (1)若 log a

4 3

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是__________ 3

(答: a ? 1 或 0 ? a ? (2)解不等式

2 ) ; 3

ax 2 ? x(a ? R) ax ? 1
1 1 或 x ? 0} ;a ? 0 时,{x | ? x ? 0} a a

(答:a ? 0 时,{ x | x ? 0} ;a ? 0 时,{x | x ?

或 x ? 0} ) 提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2)不等式解集 的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 如 关于 x 的不等式

ax ? b ? 0 的解集为 (??,1) ,则不等式

x?2 ? 0 的解集为__________(答: (-1,2) ) ax ? b

十一.含绝对值不等式的性质: a、 b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; a、 b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | . 如设 f ( x) ? x2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) 十二.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特 征,利用数形结合法) 1).恒成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B 如(1)设实数 x, y 满足 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围是______ (答: ? 2 ? 1, ?? ) ;

?

?

(2)不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____ (答: a ? 1 ) ; (3) 若不等式 2 x ?1 ? m( x ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立, 则 x 的取值范围_____
2

(答: (
n

7 ?1 3 ?1 , ) ) ; 2 2

(?1) n ?1 (4) 若不等式 (?1) a ? 2 ? 对于任意正整数 n 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 n
_____ (答: [ ?2, ) ) ;
2 (5)若不等式 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范

3 2

围. (答: m ? ? 2). 能成立问题 若在区间 D 上存在实数

1 ) 2

x

f ? x ?max ? A ;
若在区间 D 上存在实数

使 不 等 式 f ?x ? ? A 成 立 , 则 等 价 于 在 区 间 D 上 上的

f ? x?m i n? B.如

x 使 不 等 式 f ?x ? ? B 成 立 , 则 等 价 于 在 区 间 D

已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集, 求实数 a 的取值范围____ (答: a ? 1 ) 3). 恰成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D ; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为 D .


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