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知识讲解


正弦、余弦定理在三角形中的应用 编稿:张希勇 【学习目标】 1.进一步巩固正弦定理和余弦定理,并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题; 2.学会用方程思想解决有关三角形的问题,提高综合运用知识的能力和解题的优化意识. 【要点梳理】 要点一、正弦定理和余弦定理的概念 ①正弦定理公式: 审稿:李霞

a b c ? ? ? 2R (其中 R 表示三角形的外接圆半

径) sin A sin B sin C
②余弦定理公式: 第一形式:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
第二形式:

b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab
要点二、三角形的面积公式 ① S ?ABC ? ② S ?ABC

1 1 1 a ? ha ? b ? hb ? c ? hc ; 2 2 2 1 1 1 ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B ; 2 2 2

要点三、利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时,通常选择正弦定理来解三角形;已知两边及夹角或已知 三边时,通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求,尽量避免分类讨论. 在 ?ABC 中,已知 a , b 和 A 时,解的情况主要有以下几类:

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? b sin A ①若 A 为锐角时: ? ?b sin A ? a ? b 二解(一锐,一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?

a ? b sin A
一解

a?b
一解

b sin A ? a ? b
两解 ②若 A 为直角或钝角时: ?

a ? b sin A
无解

?a ? b 无解 ?a ? b 一解(锐角)

要点四、三角形的形状的判定 特殊三角形的判定: (1)直角三角形 勾股定理: a ? b ? c ,
2 2 2 0 互余关系: A ? B ? 90 , cos C ? 0 , sin C ? 1 ;

(2)等腰三角形

a ? b, A? B ;
用余弦定理判定三角形的形状(最大角 A 的余弦值的符号) (1)在 ?ABC 中, 0 ? A ? 90 ? cos A ?
0 0

b2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ? b2 ? c 2 ? a 2 ; 2bc

(2)在 ?ABC 中, A ? 90 ? cos A ?
0

b2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ? b2 ? c 2 ? a 2 ; 2bc

b2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ? b2 ? c 2 ? a 2 ; (3)在 ?ABC 中, 90 ? A ? cos A ? 2bc
0

要点五、解三角形时的常用结论

在 ?ABC 中, A ? B ? C ? 180 ,
0

A? B ?C ? 900 2

(1)在 ?ABC 中 A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B ? cos A ? cos B; (2)互补关系: sin(A+B)=sin(1800 ? C) ? sinC ,

cos(A+B) ? cos(1800 ? C) ? ?cosC , tan(A+B) ? tan(1800 ? C) ? ? tan C ;
(3)互余关系: sin

A? B C C ? sin (900 ? ) ? cos , 2 2 2 A? B C C cos ? cos (900 ? ) ? sin , 2 2 2 A? B C C tan ? tan (900 ? ) ? cot . 2 2 2

【典型例题】 类型一:利用正、余弦定理解三角形 例 1. 在 ?ABC 中,已知下列条件,解三角形. (1) a ? 10 , b ? 5 2 , A ? 45? ; (2) a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 45? . 【思路点拨】 (1)题中利用正弦定理先求 B ,再求 C 和 c ; (2)题中利用余弦定理求 b ;求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理。 【解析】 (1)∵

10 5 2 1 ? ? sin B ? , o sin 45 sin B 2

0 0 法一:∵ b ? a ,∴ B ? A ,即 0 ? B ? 45 ,

∴ B ? 30? , C ? 105? , c ? 5( 3 ?1) . 法二:∵ 0 ? B ? 180 , ∴ B ? 30? 或 B ? 150? ,
0 0

①当 B ? 30? 时, C ? 105? , c ? 5( 3 ?1) ; ②当 B ? 150? 时, A ? B ? 180? (舍去). (2)∵ b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B ? (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3?( 6 ? 2)cos45?

? 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) ? 8

∴ b?2 2 法一:∵ cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2?2 2 ?( 6 ? 2)

∴ A ? 60? , C ? 75? 法二:∵ sin A ? sin B ?

a b

2 3 3 ?sin450 ? 2 2 2

又∵ 6 ? 2 ? 2 3 ,即 a ?c ∴ A ? C ,有 0 ? A? 90 ,
0 0

∴ A ? 60? , C ? 75? . 【总结升华】 ①解三角形时,可以依据题意画出恰当的示意图,然后正确选择正、余弦定理解答; ②解三角形时,要留意三角形内角和为 180° 、同一个三角形中大边对大角等性质的应用。 举一反三: 【变式 1】 △ABC 中,已知 c=1,b= 2 ,∠B=45° ,求∠C 和 a. 【答案】∵

b c ? ? sin B sin C

? 5? 2 1 1 (舍) ? ? sin C ? ? C ? , C ? 6 6 2 2 sin C 2
6? 2 ) ? 2? 3 4

a2 ? 2 ? 1 ? 2 2 cos A ? a2 ? 3 ? 2 2 (?

或由正弦定理得:

2 a 6? 2 ? ? a ? 2sin 75? ? a ? . sin 45? sin105? 2

【变式 2】在 ?ABC 中 a : b : c ? 3 : 7 : 5 , 求角 B ; 【答案】 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 52 ? 32 ? 72 1 ? ? ? ? B ? 120o . 2ac 2 ? 3? 5 2

【变式 3】在 ?ABC 中,若 a ? 2 , b ? 2 2 , c ? 6 ? 2 ,求角 A 和 sin C . 【答案】根据余弦定理: cos A ? ∵ 0 ? A ? 180 ,

b2 ? c 2 ? a 2 8?8?4 3 ?4 3 , ? ? 2bc 2 ? 2 2 ? ( 6 ? 2) 2

∴ A ? 30 , sin C ?

c sin A ( 6 ? 2)sin 30 ( 6 ? 2) 。 ? ? a 2 4

例 2、△ABC 中, a ? 1, b ? 3, ?A ? 30? ,求 c 的值. 【思路点拨】 结合三角形中大边对大角定理以及有解、无解的图形来考虑。 【解析】 解法一:利用正弦定理 由

a b 3 ? , 得 sin B ? ,? B ? 60?或120?. sin A sin B 2

∴C=90° 或 C=30° ,

1 a c ? sin C ? 1或 sin C ? ,由 ? , 得c ? 2或c ? 1. 2 sin A sin C
解法二:利用余弦定理列方程

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? ? c 2 ? (2b cos A)c ? (b 2 ? a 2 ) ? 0, 2bc
即得到关于 c 的一元二次方程,解方程得到 c=2 或 c=1. 【总结升华】 (1)对于求解三角形的题目,一般都可有两种思路.但要注意方法的选择,同时要注意对解的讨论, 从而舍掉不合理的解.此外,有的时候还要对边角关系(例如,大边对大角)进行讨论从而舍掉不合理的解. (2)解题后可进行比较,可以看出思路 2 用余弦定理要简单得多,在解题过程中尽量采用简单方法. 举一反三: 【变式】△ABC 中, c ? 6, A=45° ,a=2,求 b 和 B,C. 【答案】 解法一 :正弦定理 由

a c 2 6 3 ? 得 = ,所以sin C= . sin A sin C sin 45? sin C 2

a 2 sin B ? sin 75? ? 3 ? 1, sin A sin 45? a 2 sin B ? sin15? ? 3 ? 1. 若 C=120° ,则 B=15° ,b ? sin A sin 45?
若 C=60° ,则 B=75° ,b ? 解法二:余弦定理

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A ? b2 ? 6 ? 2 3b ? 4,解得b= 3 ?1,

a 2 ? c2 ? b2 6- 2 若 b ? 3 ?1 ,则 cos B= = ,所以B=75?,C=60? 2ac 4
若 b ? 3 ? 1, 则 cos B= 解法三:正余弦定理

a 2 ? c2 ? b2 6+ 2 = ,所以B=15?,C=120?. 2ac 4

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A ? b2 ? 6 ? 2 3b ? 4,解得b= 3 ? 1
若 b ? 3 ?1 ,则由

a b c 6+ 2 3 = = ,得 sin B= ,sin C= , sin A sin B sinC 4 2

∵b>c>a,所以 B>C>A,所以 B=75° ,C=60° ; 若 b ? 3 ?1 ,则由

a b c 6- 2 3 = = ,得 sin B= ,sin C= , sin A sin B sinC 4 2

∵c>a>b,所以 C>A>B,所以 B=15° ,C=120° . 类型二:正、余弦定理的综合应用 例 3.已知△ABC 中,a=6,b=8,c=9,试判断此三角形的形状。 【思路点拨】 已知三边判断三角形的形状,通常先用勾股定理判断是否为直角三角形,斜三角形再用余弦定理判断 最大边所对角的余弦值的符号。 【解析】因为 a<b<c,所以 A<B<C, 又 cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 19 ? ? 0, 2ab 96

所以C<

? 2

所以三角形是锐角三角形. 【总结升华】 余弦定理用于判定三角形的形状(最大角 A 的余弦值的符号) (1)在 ?ABC 中, 0 ? A ? 90 ? cos A ?
0 0

b2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ? b2 ? c 2 ? a 2 ; 2bc

(2)在 ?ABC 中, A ? 90 ? cos A ?
0

b2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ? b2 ? c 2 ? a 2 ; 2bc b2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ? b2 ? c 2 ? a 2 ; 2bc

0 (3)在 ?ABC 中, 90 ? A ? cos A ?

举一反三: 【变式】判断下列三角形的形状:

(1)a=6,b=8,c=10;(2) a=6,b=8,c=11 【答案】 (1)因为 a2+b2=62+82=100=102=c2,所以三角形为直角三角形. (2)因为 a<b<c,所以 A<B<C, 又 cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 21 ? ? ? ? 0,所以C> , 2ab 96 2

所以三角形是钝角三角形. 例 4.已知△ABC 中 a cos A ? b cos B ,试判断△ABC 的形状. 【思路点拨】 题目中给的是角与边的混合关系式,可用正弦定理化简成单一的角的关系;也可以用正弦定理、余弦 定理化简成单一的边的关系,然后判断. 【解析】 方法一:用余弦定理化角为边的关系 由 a cos A ? b cos B 得 a ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? b? , 2bc 2ac

整理得 a2 (b2 ? c2 ? a2 ) ? b2 (a2 ? c2 ? b2 ) , 即 (a2 ? b2 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 0 , 当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为等腰三角形;
2 2

当 a ? b ? c ? 0 即 a ? b ? c 时,则 ?ABC 为直角三角形;
2 2 2 2 2 2

综上: ?ABC 为等腰或直角三角形。 方法二:用正弦定理化边为角的关系

a b ? ? 2R sin A sin B 即 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B
由正弦定理得: ∵ a cos A ? b cos B , ∴ 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B 即 sin 2 A ? sin 2 B

B? (0 ,?) ∵ A、
∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ? 故 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形。 【总结升华】 (1)要判断三角形的形状特征,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等?是否三边相等?

?
2

是否符合勾股定理?还要研究角与角的大小关系:是否两个角相等?是否三个角相等?有无直角或钝角? (2)解题的思想方法是:从条件出发,利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算,找出边 与边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断。 (3)一般有两种转化方向:要么转化为边,要么转化为角。 (4)判断三角形形状时,用边做、用角做均可。一般地,题目中给的是角,就用角做;题目中给的 是边,就用边做,边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理。 (5) sin ? ? sin ? ? ? ? ?或? ? ? ? ? ,不要丢解。 举一反三: 【变式 1】根据下列条件,试判断△ABC 的形状. (1)bcosA=acosB; (2)a=2bcosC 【答案】 (1)解法一:正弦定理 由 bcosA=acosB 得 2RsinBcosA=2RsinAcosB, 即 sin(B-A)=0,于是 B=A, ∴△ABC 为等腰三角形. 解法二:余弦定理 由 bcosA=acosB 得 b ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ?a? ,即 a2=b2, 2bc 2ac

所以 a=b,△ABC 为等腰三角形. (2)解法一:正弦定理 由 a=2bcosC 得 2RsinA=4RsinBcosC,有 sin(B+C)=2sinBcosC,得出 sin(B-C)=0, 即 B=C,△ABC 为等腰三角形; 解法二:余弦定理 由 a=2bcosC 得 a ? 2b ?

a 2 ? b2 ? c2 ,得 b2=c2, 2ab

即 b=c,△ABC 等腰三角形. 【变式 2】在△ABC 中,根据下列条件决定三角形形状. (1) sin A ? 【答案】

sin B ? sin C 2 2 2 2 ;(2) (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin( A ? B) . cos B ? cos C

sin B ? sin C b ? c a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ? ? (1)由 sin A ? cos B ? cos C a 2ac 2ab
? a 2 ? b2 ? c 2 ? A ? 90? ,

则该三角形为直角三角形; (2)∵ (a2 ? b2 )sin( A ? B) ? (a2 ? b2 )sin( A ? B) , ∴ 2a sin B cos A ? 2b sin A cos B ,
2 2

由正弦定理得: sin A sin B cos A ? sin B sin A cos B ,
2 2

∵ ?ABC 中, sin A ? 0 , sin B ? 0 , ∴ sin A ? cos A ? sin B ? cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B , ∴ 2 A=2B 或 2 A? ? ? 2 B ,即: A=B 或 A ? B ? ∴ ?ABC 是等腰三角形或直角三角形. 例 5.锐角 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边。 (1) (2) 若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c), 求 ?A 的大小

? , 2

y ? 2sin 2 B ? sin(2B ? ) 取最大值时,求 ?B 的大小 6

?

【思路点拨】在(1)中,将所给边的关系式化简变形后,根据结构形式可判断出应该用余弦定理。 【解析】 (1)∵ (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c), , ∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? bc. , 故由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2
?
2

∵A 是锐角三角形的内角,所以 0 ? A ? ∴ A?

?
3

(2) y ? 2sin 2 B ? sin(2B ?

?
6

) = 1 ? cos2B ? sin 2B cos

?
6

? cos2B sin

?
6

1 3 ? ? 1 ? cos 2 B ? sin 2 B ? 1 ? sin(2 B ? ) 2 2 6
当且仅当 B ? ∴B?

?
3

时取等号

?
3

【总结升华】 对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角 或边之间的函数关系,利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题 举一反三: 【变式】在 ?ABC 中,三内角满足的方程 (sin B ? sin A) x2 ? (sin A ? sin C ) x ? (sin C ? sin B) ? 0

有两个相等的根。 (1) 求证:角 B 不大于

?
3

(2) 当角 B 取最大值时,判断 ?ABC 的形状 【答案】 (1)由韦达定理得

sin C ? sin B ? 1, 即 2sin B ? sin A ? sin C , sin B ? sin A

由正弦定理,有 2b=a+c

a 2 ? c2 ? b 2 由余弦定理得 cos B= ? 2ac ?
∴0? B?

a 2 ? c2 ? (

a ? c) 2 ) 3(a 2 ? c2 ) ? 2ac 6ac ? 2ac 1 2 ? ? ? 2ac 8ac 8ac 2

3

(2)当角 B 取最大值时, B ?

?
3

,且 a=c,易知 ?ABC 为正三角形


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