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2015-2016学年福建省三明市a片区高中联校高一(上)期末数学试卷 解析版


2015-2016 学年福建省三明市 A 片区高中联盟校高一 (上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求)

1.求值:

=(



A.tan 38

° B. C. 【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用两角和的正切公式,计算求得结果.

D.﹣

【解答】解:

=tan(49°+11°)=tan60°=



故选:C. 【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题. 2.若 tan α<0,则( ) A.sin α<0 B.cos α<0 C.sin αcosα<0 D.sin α﹣cos α<0 【考点】三角函数值的符号. 【专题】探究型;转化思想;分析法;三角函数的求值. 【分析】直接由 tanα<0,可以判断 sinα 与 cosα 必定异号,从而可得答案. 【解答】解:若 tanα<0,则 sinα 与 cosα 必定异号, ∴sinαcosα 必定小于 0. 故选:C. 【点评】本题考查了三角函数值的符号的判断,是基础题. 3.函数 f(x)=log2(3 ﹣1)的定义域为( ) A.[1,+∞) B. (1,+∞) C.[0,+∞) 【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域. 【解答】解:要使函数有意义, x 则 3 ﹣1>0, x 即 3 >1, ∴x>0. 即函数的定义域为(0,+∞) , 故选:D.
x

D. (0,+∞)

【点评】本题主要考查函数定义域的求法,要求熟练掌握常见函数成立的条件,比较基础.

4.下面各组函数中为相同函数的是( A.f(x)= ,g(x)=x﹣1

) B.f(x)= ,g(x)=

C.f(x)=ln e 与 g(x)=e

x

lnx

D.f(x)=(x﹣1) 与 g(x)=

0

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据相同函数的定义判断两个函数是否是同一函数即可. 【解答】解:对于 A:f(x)=|x﹣1|,g(x)=x﹣1,表达式不同,不是相同函数; 对于 B:f(x)的定义域是:{x|x≥1 或 x≤﹣1},g(x)的定义域是{x}x≥1},定义域不同, 不是相同函数; 对于 C:f(x)的定义域是 R,g(x)的定义域是{x|x>0},定义域不同,不是相同函数; 对于 D:f(x)=1,g(x)=1,定义域都是{x|x≠1},是相同函数; 故选:D. 【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题,考查指数函数、对数函数的性质, 是一道基础题. 5.已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|0<x<a},若 A?B,则实数 a 的范围是( )

A.[3,+∞) B. (3,+∞) C.[﹣∞,3] D.[﹣∞,3) 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合思想;综合法;集合. 【分析】根据集合的包含关系判断即可. 【解答】解:∵集合 A={x|1≤x≤3},B={x|0<x<a}, 若 A?B,则 a>3, 故选:B. 【点评】本题考查了集合的包含关系,考查不等式问题,是一道基础题.

6.实数 a=0.2

,b=log

0.2,c=

的大小关系正确的是(



A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 【考点】对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质;不等关系与不等式. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据指数函数,对数函数和幂函数的性质分别判断 a,b,c 的大小,即可判断.

【解答】 解: 根据指数函数和对数函数的性质, 知 log

0.2<0, 0<0.2

<1,



即 0<a<1,b<0,c>1, ∴b<a<c. 故选:C. 【点评】本题主要考查函数数值的大小比较,利用指数函数,对数函数和幂函数的性质是解 决本题的关键. 7.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那 么水瓶的形状是( )

A. B. C. D. 【考点】函数的图象. 【专题】数形结合. 【分析】本题通过特殊值求解.取横坐标为的点,它的纵坐标对应的值与容器容积的一半进 行比较,从而即可排除一些选项,得到正确的选项. 【解答】解:考虑当向高为 H 的水瓶中注水为高为 H 一半时,注水量 V 与水深 h 的函数关 系. 如图所示,此时注水量 V 与容器容积关系是:V<水瓶的容积的一半. 对照选项知,只有 A 符合此要求. 故选 A.

【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

8.在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 A. B. 【考点】向量加减混合运算及其几何意义. 【分析】本题要求字母系数,办法是把 一致,即用 和

=2 C.﹣



=

,则 λ=( D.﹣



表示出来,表示时所用的基底要和题目中所给的

表示,画图观察,从要求向量的起点出发,沿着三角形的边走到终点,

把求出的结果和给的条件比较,写出 λ. 【解答】解:在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点 ∵ =2 , = ,

∴ = , ∴λ=, 故选 A. 【点评】 经历平面向量分解定理的探求过程, 培养观察能力、 抽象概括能力、 体会化归思想, 基底给定时,分解形式唯一,字母系数是被基底唯一确定的数量.

9.为了得到函数 y=

sin3x 的图象,可以将函数 y=

sin(3x+

)的图象(



A.向右平移

个单位 B.向右平移

个单位

C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】 通过化简函数 y= 即可达到目标. 【解答】解:由于函数 y= sin (3x+ ) 的表达式, 只需把函数的图象向右平移 个单位,

sin(3x+

)=

sin[3(x+

)]的图象向右平移

个单位,

即可得到 y= sin[3(x+ ﹣ )]= sin3x 的图象, 故选:A. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象平移变换,属于中档题.

10.设 sin( +θ)=,则 sin2θ=( ) A.﹣ B.﹣ C. 【考点】二倍角的余弦;三角函数的恒等变换及化简求值.

D.

【专题】计算题. 【分析】 根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件, 然后两边平方利 用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简,即可 sin2θ 的值.

【解答】解:由 sin( +θ)=sin cosθ+cos sinθ= (sinθ+cosθ)=, 两边平方得:1+2sinθcosθ=,即 2sinθcosθ=﹣, 则 sin2θ=2sinθcosθ=﹣. 故选 A 【点评】 此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、 两角和与差的正弦函数公式及特殊 角的三角函数值化简求值,是一道基础题. 11.已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x﹣2 的 零点为 b,则下列不等式中成立的是( ) A.a<1<b B.a<b<1 C.1<a<b D.b<1<a 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】数形结合;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数与方程之间的关系转化为函数 y=e 与 y=2﹣x,y=lnx 与 y=2﹣x 交点的横 坐标的大小问题,利用数形结合进行比较即可. x x 【解答】解:由 f(x)=e +x﹣2=0 得 e =2﹣x, 由 g(x)=lnx+x﹣2=0 得 lnx=2﹣x, x 作出计算 y=e ,y=lnx,y=2﹣x 的图象如图: x ∵函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b, x ∴y=e 与 y=2﹣x 的交点的横坐标为 a,y=lnx 与 y=2﹣x 交点的横坐标为 b, 由图象知 a<1<b, 故选:A.
x x

【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用函数转化为两个图象的交点问题,结合数形 结合是解决本题的关键. 12.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA, 终边为射线 OP,过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】抽象函数及其应用. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】在直角三角形 OMP 中,求出 OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐 角三角函数的定义即可得到 f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确 选择. 【解答】解:在直角三角形 OMP 中,OP=1,∠POM=x,则 OM=|cosx|, ∴点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x)=OM|sinx| =|cosx||sinx|=|sin2x|, 其周期为 T= ,最大值为,最小值为 0, 故选 C. 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时 考查二倍角公式的运用. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. m 13.已知函数 f(x)=x 过点(2, ) ,则 m= ﹣1 . 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】将(2, )代入函数 f(x) ,求出 m 的值即可. 【解答】解:将(2, )代入函数 f(x)得: =2 , 解得:m=﹣1; 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题,是一道基础题. 14.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[﹣1,1)时,f(x)
m

=

,则 f()= 1 .

【考点】函数的值. 【专题】计算题. 【分析】由函数的周期性 f(x+2)=f(x) ,将求 f()的值转化成求 f()的值. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, ∴ =1. 故答案为:1. 【点评】本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查,学生在计算时只要计算正确,往 往都能把握住,在高考中,属于“送分题”. 15.已知奇函数 f(x)的定义域为[﹣2,2],且在定义域上单调递减,则满足不等式 f(1 ﹣m)+f(1﹣2m)<0 的实数 m 的取值范围是 [﹣,] . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可. 【解答】解:∵函数奇函数 f(x)的定义域为[﹣2,2],且在定义域上单调递减, ∴不等式 f(1﹣m)+f(1﹣2m)<0 等价为 f(1﹣m)<﹣f(1﹣2m)=f(2m﹣1) ,



,即

,得﹣≤m≤,

故答案为:[﹣,] 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关 键.注意定义域的限制.

16.对于集合 M,定义函数

对于两个集合 A,B,定义集合

A△ B={x|fA(x)fB(x)=﹣1}.已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用 列举法写出集合 A△ B 的结果为 {1,6,10,12} . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】新定义. 【分析】在理解题意的基础上,得到满足 fA(x)fB(x)=﹣1 的 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈B 且 x?A},分别求出两个集合后取并集. 【解答】解:要使 fA(x)fB(x)=﹣1, 必有 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈B 且 x?A} ={6,10}∪{1,12}={1,6,10,12,}, 所以 A△ B={1,6,10,12}. 故答案为{1,6,10,12}.

【点评】本题是新定义题, 考查了交、 并、补集的混合运算, 解答的关键是对新定义的理解, 是基础题. 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17(1)计算: (﹣

) +lne﹣

0

+8

+log62+log63; ,π) ,求 cosθ 的值.

(2)已知向量=(sinθ,cosθ) ,=(﹣2,1) ,满足∥,其中 θ∈(

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;根式与分数指数幂的互化及其化简运算;三角 函数的化简求值. 【专题】计算题;规律型;函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】 (1)利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可. (2)利用向量共线列出方程,然后求解三角函数值. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解析: (1)原式=1+1﹣5+2+1=0; …(6 分) (2)∵向量=(sinθ,cosθ) ,=(﹣2,1) ,满足∥, ∴sinθ=﹣2cosθ,①…(9 分) 又 sin θ+cos θ+=1,② 2 由①②解得 cos θ=,…(11 分) ∵θ∈( ,π) ,∴cosθ=﹣ . …(12 分) 【点评】 本题考查对数运算法则以及三角函数的化简求值, 向量共线的应用, 考查计算能力.
2 2

18.已知向量,满足||=1,||=2,与的夹角为 120°. (1)求及|+|; (2)设向量+与﹣的夹角为 θ,求 cosθ 的值. 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;向量法;综合法;平面向量及应用. 【分析】 (1)根据数量积的计算公式即可求出 ; (2)同理可以求出 的值,而可求出 ,从而 ,而由 即可求出

根据向量夹角余弦的计算公式即可求出 cosθ. 【解答】解: (1) ∴ ∴ ; = = ; ;

(2)同理可求得

; ;



=

. 求 的方

【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式,根据 法,以及向量夹角余弦的计算公式.

19.已知二次函数 f(x)=x +2bx+c(b,c∈R) . (1)若函数 y=f(x)的零点为﹣1 和 1,求实数 b,c 的值; (2)若 f(x)满足 f(1)=0,且关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(﹣ 3,﹣2) , (0,1)内,求实数 b 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据根与系数的关系列方程组解出; (2)根据 f(1)=0 得出 b,c 的关系,令 g(x)=f(x)+x+b,根据零点的存在性定理列 方程组解出.

2

【解答】解: (1)∵﹣1,1 是函数 y=f(x)的零点,∴ (2)∵f(1)=1+2b+c=0,所以 c=﹣1﹣2b.

,解得 b=0,c=﹣1.

令 g(x)=f(x)+x+b=x +(2b+1)x+b+c=x +(2b+1)x﹣b﹣1, ∵关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2) , (0,1)内,

2

2



,即

.解得<b<,

即实数 b 的取值范围为(, ) . 【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系,零点的存在性定理,属于中档题.

20.已知=( sinx,cosx) ,=(sinx,sinx) ,设函数 f(x)=﹣ . (1)写出函数 f(x)的周期,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求 f(x)在区间[π, ]上的最大值和最小值. 【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.

【专题】计算题;函数思想;转化法;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 【分析】 (1) 根据向量的数量积的运算以及二倍角公式和两角和差的正弦公式化简得到 ( f x) , 根据周期和函数的单调性的定义即可求出, (2)根据函数的单调性即可求出 f(x)在区间[π, ]上的最大值和最小值.

【解答】解: (1)∵=(
2

sinx,cosx) ,=(sinx,sinx) ,

∴f(x)=﹣ ﹣

=

sin x+sinxcosx﹣ ) , =π, ≤2kπ+

=

(1﹣cos2x)+sin2x﹣

=



cos2x+sin2x

=sin(2x﹣

∴函数的周期为 T= 由 2kπ﹣ ≤2x﹣

(k∈Z)解得 kπ﹣ ,kπ+ ) , ],

≤x≤kπ+



∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ (2)由(1)知 f(x)=sin(2x﹣ 当 x∈[π, ∴﹣ ]时,2x﹣ ∈[

], (k∈Z) ;



≤sin(2x﹣

)≤1,

故 f(x)在区间[π, ]上的最大值和最小值分别为 1 和﹣ . 【点评】本题考查向量的数量积的运算,三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正 弦函数的单调性,考查计算能力,此类题目的解答,关键是基本的三角函数的性质的掌握熟 练程度,属于中档题.

21.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(

)=f(x1)﹣f(x2) .

(1)求 f(1)的值; (2)若当 x>1 时,有 f(x)<0.求证:f(x)为单调递减函数; (3)在(2)的条件下,若 f(5)=﹣1,求 f(x)在[3,25]上的最小值. 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用赋值法进行求解. (2)根据函数单调性的定义进行证明. (3)根据函数单调性和抽象函数的关系进行转化求解即可. 【解答】解: (1)令 x1=x2>0,

代入得 f(1)=f(x1)﹣f(x1)=0, 故 f(1)=0.…(4 分)

(2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1>x2,则

>1,

由于当 x>1 时,f(x)<0,所以 f(

)<0,

即 f(x1)﹣f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2) , 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.…(8 分) (3)因为 f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数, 所以 f(x)在[3,25]上的最小值为 f(25) .

由 f(

)=f(x1)﹣f(x2)得,

f(5)=f( )=f(25)﹣f(5) ,而 f(5)=﹣1, 所以 f(25)=﹣2. 即 f(x)在[3,25]上的最小值为﹣2.…(12 分) 【点评】 本题主要考查抽象函数的应用, 利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关 键. 22.已知函数 f(x)=2|x﹣2|+ax(x∈R) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)当 f(x)有最小值时,求 a 的取值范围; (3)若函数 h(x)=f(sinx)﹣2 存在零点,求 a 的取值范围. 【考点】分段函数的应用;函数的最值及其几何意义;函数零点的判定定理. 【专题】分类讨论;转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)当 a=1 时,求出函数 f(x)的表达式,判断函数的单调性即可求 f(x)的最 小值; (2)当 f(x)有最小值时,利用分段函数的性质建立不等式关系即可求 a 的取值范围; (3)利用换元法,结合函数与方程之间的关系进行转化,求 a 的取值范围.

【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=2|x﹣2|+x= 所以,f(x)在(﹣∞,2)递减,在[2,+∞)递增, 故最小值为 f(2)=2; …(4 分)

…(2 分)

(2)f(x)=

,…(6 分)

要使函数 f(x)有最小值,需



∴﹣2≤a≤2,…(8 分) 故 a 的取值范围为[﹣2,2]. …(9 分) (3)∵sinx∈[﹣1,1],∴f(sinx)=(a﹣2)sinx+4, “h(x)=f(sinx)﹣2=(a﹣2)sinx+2 存在零点”等价于“方程(a﹣2)sinx+2=0 有解”,

亦即

有解,



,…(11 分)

解得 a≤0 或 a≥4,…(13 分) ∴a 的取值范围为(﹣∞,0]∪[4,+∞)…(14 分) 【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质, 是解决本题的关键.


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