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函数(二)


函数(二)

函数的定义 一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种对 应法则f,对于集合A中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么这样 的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f) 叫做从集合A到集合B的一个函数。 映射的定义 一般地,设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包 括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做从集合 A到集合B的映射.

函数与映射的关系:特殊与一般
函数是一种特殊的映射——A,B都是非空数集 映射是函数概念的拓广。 函数定义: 如果A,B都是非空数集,那么A到B的映射 f:A→B就叫做A到B的函数,记作 y=f(x), 其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x) 的定义域,象的集合C叫做函数y=f(x)的值域, 显然C ? B.

多对一、一对一的对应是映射; 多对一、一对一的映射是函数。

一类特殊的映射:请看以下映射 A B a b c d m n

p
q

此映射的特点?
如何定义这类映射?

下定义的另一种方法: 多对一、一对一的对应是映射。 A 面积 B y= 2x+1
?1 ?3 ?4

y= 2x+1
1 2 3 4 3 5

?2

1

1 2

3 5 7 9

4

3 4

7
9 10

?5

9

集合A中不同的元素, 在集合B中有不同的象;

集合B中每一个 元素都有原象。

说明:在映射f:A→B中,象的集合C≠B时的映射不是一一 映射,也就是说,C=B是一一映射的必要条件。

试定义这一类特殊的映射: A B a b c d m n

p
q

特点:
1.集合A中不同的元素,在集合B中有不同的象;

2.集合B中每一个元素都有原象。

一一映射
一般地,设A,B是两个集合,f:A B 是集合A到集合B的映射,如果在这个映 射下,对于集合A中的不同元素,在集合 B中有不同的象,且B中每一个元素都有 原象,那么这个映射叫做A到B上的一一 映射。

小结:

1. 映射:一般地,设A,B是两个集合,如果按
照某种对应法则f,对于集合A中的任何元素,在 集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的 对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫 做集合A到集合B的映射,记作:f:A→B 2.一一映射:一般地,设A,B是两个集合,f:A → B是 集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对 于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象, 且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做 A到B上的一一映射。

例1 下列对应是否是从集合是集合A到集合B的映射:

(1)A=R, B={x| x>0且x∈R}, x∈A, f: x →|x|; (2)A=N,B=N*,x∈A,f:x→|x-1|;
(3)A={x|x>0且x∈R},B=R,x∈A,f:x→x2. 答 (1)0∈A,在法则f 下,0→|0|=0?B,故该 对应不是集合A到集合B的映射。 (2) 1∈A,在法则f 下,1→|1-1|=0 ?N*,故该 对应不是集合A到集合B的映射。 (3)对任意 x∈A,依法则f :x→x2 ∈B,故该对 应是集合A到集合B的映射。

例2.画图表示集合A={a、b}到集合 B={1、2}的所有映射.
解:

a b

1 2

a b

2 1

a b

1 2

a b

1 2

例3、设f:A ? B是从A到B的映射,A ? B ? { (x,y ) x、y ? R }, f:(x,y) ? ( x ? y,x ? y )那么A中元素( 2, 3)的象是 (5,-1) ,B中元素( (3,1) 。 __________ 4, 2)的原象是__________

分析: 将x ? 2,y ? 3代入x ? y,x ? y

得(2, 3)的象是( 5, ?1 ) ?x ? y ? 4 又? ?x ? y ? 2
? x ? 3,y ? 1 ? (4, 2)的原象是( 3, 1)

二、函数的表示法 函数有三种表示方法: 1、解析法 2、列表法 3、图象法

1、解析法

一次函数: y ? kx ? b, (k ? 0)

二次函数: y ? ax2 ? bx ? c, (a ? 0)
1 f ( x) ? x ? 1, S ? ? ? r , S ? g ? t 2 2
2

把两个变量的函数关系,用一个等式来表示, 这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.

2、列表法

以年份为自变量 x, 升学率为函数值 y
年份 1995 1996 91% 1997 92% 1998 93% 1999 95% 2000 95% 2001 95% 2002 97% 2003 98% 2004 99%

升学率 90%

列表法: 列出表格来表示两个变量的函数关系

3、图象法
气温?C
35 30 25 20 15 10 5

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

时间/ 小时

图象法: 就是用函数图象表示两个变量之间的关系

各函数表示法的特点
常用表示法 解析法 列表法 图像法





函数关系清楚,容易从自变量的值 求出其对应的函数值,便于用解析 式来研究函数的性质. 不用计算就可以知道自变量所对应 的函数值.

直观形象的表示出自变量的变化, 相应的函数值变化的情况.

例1:某种笔记本每个五元,买x( x∈{1,2,3,4}) 个笔记本的钱数记为y(元)。试写出以x为自变 量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象。 解:函数的定义域是集合{1,2,3,4}, 函数解析式为:
y

y=5x,x∈{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点(1,5), (2,10),(3,15), (4,20)组成

20 15
10

5
0

.
1

.
2

.
3

.
4

x

例2 国内投寄信函(外埠) ,邮资按下列规则计算 1、信函质量不超过 100g时,每20g付邮资80分,即 信函质量不超过 20g付邮资80分,超过20g而不超过 40g付邮资 160分,依此类推; 2、信函质量大于 100g且不超过200g时,每100g付邮 资200分,即信函质量超过 100g但不超过200g付邮资 (A ? 200 )分(A为质量等于 100g的信函的邮资),信 函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A ? 400 )分, 依此类推; 设一封xg(0 ? x ? 200 )的信函应付邮资为 y(单位:分) : 试写出以x为自变量的函数 y的解析式,并画出这个 函数的 图象。

解:这个函数的定义域 是0 ? x ? 200, 函数解析式为: ( 0 ,20 ] ?80 ,x ? ?160,x ? ( 20 , 40 ] ? ? ( 40 , 60 ] ?240,x ? y?? ( 60 , 80 ] ?320,x ? ?400,x ? ( 80 , 100 ] ? ? ?600, x ? (100,200] 它的图象是6条线段(不包括左 端点),都平行于x轴, 如图 .

y
640 560 480 400 320 240 160 80

0

20 40 60 80 100

200

x

提高.

y
6

? 10

?4

0

4

10

x

y
6

?P

? 10

?4

0

4

10

x

解:取水池的一个柱截 面(如图) 设点P( x, y)是抛物线上任意一点

由已知可得: ?a1 ( x ? 10)(x ? 2),?10 ? x ? 0 y?? ?a2 ( x ? 10)(x ? 2),0 ? x ? 10
当x ? 0时, y ? 10 3

当x ? 4时,y ? 6;当x ? ?4时,y ? 6 1 1 所以a1 ? ? ; a2 ? ? 6 6

10 所以装饰物的高度为 cm 3

例4画出下列函数的图象: ( 1 )y ?| x | (2) y ? 2 x 2 ? 4 x ? 3, 0? x?3

? x,x ? 0 解:( 1 ) ? y ?| x |? ? ?? x,x ? 0 y ?图象是折线 .

试比较y ? x 与y ? x的图象.
-1

1 o 1 x

画出函数y ?| x ? 1 | 的图象:
解 : 因为函数
2 ? ? x ? 1, x ? 1或x ? ?1 y?? 2 ? 1 ? x , ?1 ? x ? 1 ?

2

y 1

?其图象如右 :

试比较y ? x ? 1 与y ? x ? 1的图象.
2

2

-1

0

1

x

-1

(2) y ? 2 x 2 ? 4 x ? 3,0 ? x ? 3
∵0≤x<3 ∴函数y=2(x-1)2-5的图象 是抛物线的一部分。 写出此函数的值域。

y

3 2 1 o -1 1 2 3 x

试画出y ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 , 0? x?3 并写出此函数的值域。

-2 -3 -4 -5

练习P56: 2、画出下列函数的图象

?1, x ? (0,??) (1) f ( x) ? 2 x, x ? Z , | x |? 2; (2) y ? ? ?? 1, x ? (??,0]
y
4 2
? 2 ?1 0

?

?

?2

?

?
1

?
2

y

1

?
1

x

? 2 ?1 0 ?1

2

x

?4

作业:
1.习题2.2 1、2、3、4、6
2.画出函数y ? x ? 2 x ? 3的图象
2


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